Forza peso e peso apparente

«Peso 70 chili», dice Marco. Tutti sanno che cosa intende, eppure un fisico alzerebbe un sopracciglio. Il chilogrammo è un’unità di massa, non di forza, e quando Marco sale sulla bilancia, preme su di essa con una forza che si misura in newton. A casa, sul pavimento, è solo una questione di parole, ma in un ascensore o sulla Luna non più.

Massa e forza peso

La massa m esprime quanto un corpo si oppone al cambiamento di velocità. Si misura in chilogrammi e non dipende da dove si trova il corpo. Marco ha una massa di 70 kg a casa, in aereo e sulla Luna.

La forza peso $\overrightarrow{F_P}$ è la forza con cui la Terra attira il corpo. È diretta verticalmente verso il basso e il suo modulo si calcola come

$$F_P=m\cdot g,$$

dove g ≈ 9,81 m/s² è l’accelerazione di gravità. L’unità m/s² possiamo leggerla anche come N/kg, perché N = kg·m/s². L’accelerazione di gravità dice quindi anche che vicino alla superficie la Terra attira ogni chilogrammo con una forza di 9,81 N. Un corpo di massa doppia la Terra lo attira con una forza doppia.

Per Marco risulta

$$F_P=70\mathrm{kg}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 687\mathrm{N}.$$

Sulla Luna l’accelerazione di gravità è solo di circa 1,62 m/s², all’incirca sei volte minore. La Luna attira quindi Marco con una forza di

$$F_P=70\mathrm{kg}\cdot 1,62{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 113\mathrm{N}.$$

La forza peso si è ridotta a un sesto, la massa è rimasta 70 kg. Sulla Luna Marco salterebbe molto più in alto, ma se volesse spingere o fermare un carrello carico, dovrebbe fare la stessa fatica che fa a casa. Per il secondo principio della dinamica, quanta forza serve per cambiare la velocità lo stabilisce la massa, e quella non è cambiata. E dare un calcio a un masso sulla Luna farebbe male esattamente come sulla Terra.

Forza normale e peso apparente

Marco sta a casa sulla bilancia. La Terra lo tira verso il basso, eppure non cade, perché la bilancia lo spinge verso l’alto con la forza normale $\overrightarrow{F_N}$. Marco è fermo, la risultante è nulla, quindi le due forze hanno lo stesso modulo, F_N = F_P ≈ 687 N.

Da dove viene la forza normale? Il pavimento e il piatto della bilancia sotto Marco si incurvano impercettibilmente, come una molla, e cercano di tornare alla forma originale. Più Marco preme, più si incurvano e più forte spingono indietro. L’appoggio produce così da solo esattamente la forza che serve, ma solo fino a un certo limite: il ghiaccio sottile di uno stagno o un’asse marcia non reggono.

La forza normale agisce su Marco. Secondo il principio di azione e reazione, Marco preme sulla bilancia verso il basso con una forza di pari modulo. La forza con cui un corpo preme sull’appoggio o tira il filo la chiamiamo peso apparente. La forza peso e il peso apparente si confondono facilmente, perché a riposo hanno lo stesso modulo ed entrambi sono diretti verso il basso. La differenza sta in ciò su cui agiscono:

• la forza peso agisce sul corpo, è la Terra che lo attira,
• il peso apparente agisce sull’appoggio o sul filo, è il corpo che preme sull’appoggio o tira il filo.

Con un filo funziona allo stesso modo. Uno zaino di 8 kg appeso a un attaccapanni è attirato dalla Terra con una forza peso di circa 78 N e il gancio lo regge con una forza di pari modulo verso l’alto. Lo zaino, intanto, tira il gancio verso il basso con il suo peso apparente, anch’esso di 78 N.

Il peso apparente ha sempre lo stesso modulo della forza con cui l’appoggio o il filo agisce sul corpo, perché formano una coppia azione-reazione. Con la forza peso però non deve per forza coincidere, come vedremo tra poco.

A proposito, la forza peso non la sentiamo. Tira allo stesso modo ogni pezzetto del corpo, mani, stomaco e testa, e non c’è nulla che possa accorgersene. Sentiamo soltanto il pavimento o la sedia che ci spingono da sotto e il corpo che sotto questa spinta si comprime un poco. È proprio la forza normale a corrispondere a ciò che di solito consideriamo la sensazione del nostro peso.

Che cosa mostra la bilancia del bagno

La bilancia pesapersone nasconde una molla o una lamina elastica che sotto carico si incurva. Misura quindi la forza con cui premi su di essa, cioè il tuo peso apparente, ed è in fondo un dinamometro. Sul display però non si accendono i newton, ma i chilogrammi. Il costruttore ha supposto che sulla bilancia tu stia fermo sulla Terra, dove premi con una forza m · g. Perciò divide la forza misurata per l’accelerazione di gravità:

$$\frac{687\mathrm{N}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 70\mathrm{kg}$$

Quando Marco dice «peso 70 chili», intende la sua massa, e questa è davvero 70 kg. In termini fisicamente precisi direbbe che ha una massa di 70 kg e un peso apparente di 687 N. A casa torna lo stesso, perché la bilancia converte l’uno nell’altra sempre con lo stesso numero.

Se Marco portasse la stessa bilancia sulla Luna, premerebbe su di essa con una forza di soli 113 N. La bilancia dividerebbe diligentemente per 9,81 m/s² e mostrerebbe

$$\frac{70\mathrm{kg}\cdot 1,62{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 11,6\mathrm{kg}.$$

Marco però non è dimagrito neanche di un grammo, la bilancia dà semplicemente per scontato che lui si trovi sulla Terra. Sarebbe quindi un errore scrivere che sulla Luna ha una massa di 11,6 kg. La massa sulla Luna la determinerebbe correttamente solo una bilancia a due bracci, che confronta il corpo con delle masse campione, perché la Luna attira i due piatti con la stessa debole forza.

La bilancia in ascensore

Marco entra nell’ascensore al piano terra, sale sulla bilancia e va su. Su di lui agiscono due forze: la forza peso verso il basso e la forza normale della bilancia verso l’alto. Scegliamo il verso positivo verso l’alto, perciò la risultante è F_N − F_P e per il secondo principio è uguale a m · a:

$$F_N-m\cdot g=m\cdot a$$

Aggiungiamo m · g e raccogliamo la massa:

$$F_N=m\cdot (g+a)$$

L’ascensore parte con un’accelerazione di 2 m/s² verso l’alto. È un ascensore bello scattante: quelli normali partono con un’accelerazione di circa la metà, per non dare fastidio ai passeggeri. Sostituiamo:

$$\begin{array}{rl}{F}_N& =70\mathrm{kg}\cdot (9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\\ & \approx 827\mathrm{N}\end{array}$$

La bilancia divide la forza per 9,81 m/s² e mostra circa 84 kg. Sul display Marco è ingrassato di 14 chili. In realtà la bilancia non deve soltanto reggerlo, ma anche spingerlo verso l’alto, e per questo preme più forte. Questa pressione maggiore Marco la sente nelle gambe come un peso in più. La forza peso intanto non è cambiata, la Terra lo attira sempre con 687 N.

Appena l’ascensore viaggia a velocità costante, l’accelerazione è nulla e F_N = m · g. La bilancia mostra di nuovo 70 kg e Marco a occhi chiusi non capirebbe se si muove o sta fermo. La velocità non la sentiamo, sentiamo solo l’accelerazione.

Prima del piano di arrivo l’ascensore frena. La velocità è diretta verso l’alto, ma diminuisce, quindi l’accelerazione è diretta verso il basso, a = −2 m/s²:

$$\begin{array}{rl}{F}_N& =70\mathrm{kg}\cdot (9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2-2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\\ & \approx 547\mathrm{N}\end{array}$$

La bilancia mostra circa 56 kg e per un attimo Marco ha la sensazione di essere più leggero.

Nell’animazione l’ascensore sta fermo per un po’, poi parte verso l’alto, procede a velocità costante, frena e si ferma. La forza peso blu resta sempre della stessa lunghezza. La forza normale verde e la colonna verde a destra, che mostra la lettura della bilancia, si allungano alla partenza e si accorciano in frenata. La freccia nera accanto alla cabina indica dove è diretta l’accelerazione. La linea grigia tratteggiata segna la lettura a riposo, il display sopra la colonna mostra la lettura in chilogrammi.

In discesa succede il contrario. Alla partenza verso il basso l’accelerazione è diretta verso il basso e la bilancia mostra meno, in frenata prima del piano terra è diretta verso l’alto e la bilancia mostra di più. Conta il verso dell’accelerazione, non quello del moto:

Si può anche calcolare all’indietro. La bilancia nell’ascensore mostra 77 kg: che accelerazione ha l’ascensore? La bilancia ha misurato la forza F_N = 77 kg · 9,81 m/s². Dalla formula della forza normale ricaviamo l’accelerazione: dividiamo l’equazione per la massa e sottraiamo g:

$$a=\frac{F_N}{m}-g=\frac{77\mathrm{kg}\cdot g}{70\mathrm{kg}}-g=0,1\cdot g$$

L’ascensore ha un’accelerazione di circa 0,98 m/s² verso l’alto. O sta partendo verso l’alto o sta frenando in discesa, la bilancia non lo distingue.

L’ascensore in caduta e l’assenza di peso

E se il cavo si spezza? Un ascensore vero sarebbe fermato dai freni di sicurezza, che si inseriscono nelle guide, ma ragioniamoci fino in fondo. L’ascensore e Marco cadono allora per effetto della sola forza peso, come in caduta libera, e hanno un’accelerazione g verso il basso, cioè a = −g:

$$F_N=m\cdot (g-g)=0\mathrm{N}$$

La bilancia mostra zero. Marco e la bilancia cadono esattamente allo stesso modo, Marco non preme per niente su di essa e lei non preme su di lui. Se lasciasse andare le chiavi, resterebbero sospese in aria accanto a lui, perché cadono come lui e come la cabina. Questa si chiama assenza di peso o imponderabilità. Il peso apparente è nullo, niente preme sull’appoggio né tira il filo.

La forza peso invece nulla non è. La Terra attira Marco sempre con 687 N ed è proprio per questo che cade. L’assenza di peso non significa che la gravità sia sparita, ma solo che da sotto niente la contrasta. In sicurezza la provano i passeggeri di un aereo speciale che per una ventina di secondi vola in modo da avere un’accelerazione esattamente g verso il basso. Le persone all’interno fluttuano per tutto il tempo. Una versione più debole la vivi in un’auto che supera in fretta la sommità di un dosso. Per un attimo ha un’accelerazione verso il basso, il sedile spinge meno e lo stomaco fa un salto.

La forza g espressa con le forze

La forza g dice quante volte più forte ci spinge l’appoggio rispetto a quando stiamo fermi. Ora sappiamo scriverla con le forze. È il rapporto tra la forza normale e la forza peso:

$$\frac{F_N}{m\cdot g}=\frac{m\cdot (g+a)}{m\cdot g}=\frac{g+a}{g}$$

La massa si è semplificata, quindi la forza g non dipende da essa. Un passeggero pesante e uno leggero nello stesso ascensore sperimentano la stessa forza g. Alla partenza verso l’alto risulta

$$\frac{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 1,2,$$

cioè una forza g di 1,2g. In frenata è 0,8g, a riposo e a velocità costante 1g e nell’ascensore in caduta 0g. La forza g è quindi ciò che mostra la bilancia, diviso per ciò che mostrerebbe a riposo: 84 kg su 70 kg è di nuovo 1,2.

Finora abbiamo studiato che cosa fa una forza che agisce di continuo. E se colpisce solo per una frazione di secondo, per esempio in un urto o in un calcio al pallone? Lo vedremo nel prossimo articolo, Quantità di moto e impulso.