Siła ciężkości i siła nacisku

„Ważę 70 kilo” – mówi Marcin. Wszyscy wiedzą, o co mu chodzi, a mimo to fizyk uniósłby brwi. Kilogram jest jednostką masy, a nie siły, a gdy Marcin stoi na wadze, naciska na nią siłą, którą mierzy się w niutonach. W domu na podłodze to tylko gra słów, ale w windzie albo na Księżycu już nie.

Masa i siła ciężkości

Masa m wyraża, jak bardzo ciało opiera się zmianie prędkości. Mierzy się ją w kilogramach i nie zależy od tego, gdzie ciało się znajduje. Marcin ma masę 70 kg w domu, w samolocie i na Księżycu.

Siła ciężkości $\overrightarrow{F_g}$ to siła, z jaką ciało przyciąga Ziemia. Jest skierowana pionowo w dół, a jej wartość obliczamy jako

$$F_g=m\cdot g,$$

gdzie g ≈ 9,81 m/s² to przyspieszenie ziemskie. W polskich podręcznikach siłę ciężkości nazywa się też ciężarem ciała. Jednostkę m/s² możemy czytać również jako N/kg, bo N = kg·m/s². Przyspieszenie ziemskie mówi więc zarazem, że Ziemia przy powierzchni ciągnie każdy kilogram siłą 9,81 N. Ciało o dwa razy większej masie Ziemia ciągnie dwa razy mocniej.

Dla Marcina wychodzi

$$F_g=70\mathrm{kg}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 687\mathrm{N}.$$

Na Księżycu przyspieszenie grawitacyjne wynosi tylko około 1,62 m/s², mniej więcej sześć razy mniej. Księżyc ciągnie więc Marcina siłą

$$F_g=70\mathrm{kg}\cdot 1,62{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 113\mathrm{N}.$$

Siła ciężkości zmalała do jednej szóstej, masa została 70 kg. Na Księżycu Marcin podskoczyłby znacznie wyżej, ale gdyby chciał rozpędzić albo zatrzymać załadowany wózek, musiałby się przyłożyć tak samo jak w domu. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki to masa określa, ile siły wymaga zmiana prędkości, a ta się nie zmieniła. A kopnięcie w głaz bolałoby na Księżycu tak samo.

Siła reakcji podłoża i siła nacisku

Marcin stoi w domu na wadze. Ziemia ciągnie go w dół, a mimo to nie spada, bo waga pcha go w górę siłą reakcji podłoża $\overrightarrow{F_N}$. Marcin się nie porusza, wypadkowa jest zerowa, więc obie siły mają tę samą wartość, F_N = F_g ≈ 687 N.

Skąd bierze się siła reakcji podłoża? Podłoga i płyta wagi nieznacznie uginają się pod Marcinem, podobnie jak sprężyna, i starają się wrócić do pierwotnego kształtu. Im mocniej na nie naciska, tym bardziej się uginają i tym mocniej pchają z powrotem. Podłoże samo wytwarza więc dokładnie tyle siły, ile potrzeba, ale tylko do pewnej granicy: cienki lód na stawie albo zbutwiała deska tego nie wytrzymają.

Siła reakcji podłoża działa na Marcina. Zgodnie z zasadą akcji i reakcji Marcin naciska na wagę w dół siłą o tej samej wartości. Siłę, z jaką ciało naciska na podłoże, nazywamy siłą nacisku. Tak samo traktujemy siłę, z jaką ciało ciągnie zawieszenie. Siłę ciężkości i siłę nacisku łatwo pomylić, bo w spoczynku mają tę samą wartość i obie są skierowane w dół. Różnica polega na tym, na co działają:

• siła ciężkości działa na ciało, ciągnie je Ziemia,
• siła nacisku działa na podłoże albo zawieszenie, naciska na nie albo je ciągnie ciało.

Z zawieszeniem jest tak samo. Plecak o masie 8 kg na wieszaku Ziemia ciągnie siłą ciężkości około 78 N, a haczyk trzyma go siłą o tej samej wartości skierowaną w górę. Plecak ciągnie przy tym haczyk w dół, również siłą 78 N.

Siła nacisku ma zawsze tę samą wartość co siła, z jaką podłoże albo zawieszenie działa na ciało, bo razem tworzą parę akcji i reakcji. Z siłą ciężkości równa być jednak nie musi, jak za chwilę zobaczymy.

Nawiasem mówiąc, siły ciężkości nie czujemy. Ciągnie tak samo każdy kawałek ciała, ręce, żołądek i głowę, i nic nie ma jak jej wyczuć. Czujemy dopiero to, jak od spodu pcha nas podłoga albo krzesło i jak ciało trochę się pod tym naciskiem ściska. To właśnie siła reakcji podłoża odpowiada temu, co zwykle uważamy za odczucie tego, ile ważymy.

Co pokazuje waga łazienkowa

Waga łazienkowa ma w środku sprężynę albo sprężysty metalowy pasek, który ugina się pod obciążeniem. Mierzy więc siłę, z jaką na nią naciskasz, czyli twoją siłę nacisku, i jest właściwie siłomierzem. Na wyświetlaczu nie ma jednak niutonów, tylko kilogramy. Producent założył, że będziesz stać na wadze w spoczynku na Ziemi, gdzie naciskasz na nią siłą m · g. Zmierzoną siłę dzieli więc przez przyspieszenie ziemskie:

$$\frac{687\mathrm{N}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 70\mathrm{kg}$$

Gdy więc Marcin mówi „ważę 70 kilo”, ma na myśli swoją masę, a ta rzeczywiście wynosi 70 kg. Fizycznie ściśle powiedziałby, że ma masę 70 kg, a na wagę naciska siłą 687 N. W domu wychodzi na to samo, bo waga przelicza jedno na drugie zawsze tą samą liczbą.

Gdyby Marcin zabrał tę samą wagę na Księżyc, naciskałby na nią siłą tylko 113 N. Waga posłusznie dzieliłaby przez 9,81 m/s² i pokazałaby

$$\frac{70\mathrm{kg}\cdot 1,62{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 11,6\mathrm{kg}.$$

Marcin nie schudł przy tym ani o gram, waga po prostu zakłada, że stoi on na Ziemi. Błędem byłoby więc napisać, że na Księżycu ma masę 11,6 kg. Masę na Księżycu poprawnie wyznaczyłaby tylko waga szalkowa, która porównuje ciało z odważnikiem, bo Księżyc ciągnie obie szalki tak samo słabo.

Waga w windzie

Marcin wsiada do windy na parterze, staje na wadze i jedzie w górę. Działają na niego dwie siły: siła ciężkości w dół i siła reakcji wagi w górę. Dodatni zwrot wybierzemy w górę, więc wypadkowa wynosi F_N − F_g i zgodnie z drugą zasadą dynamiki równa się m · a:

$$F_N-m\cdot g=m\cdot a$$

Dodajemy m · g i wyłączamy masę przed nawias:

$$F_N=m\cdot (g+a)$$

Winda rusza i ma przyspieszenie 2 m/s² w górę. To naprawdę żwawa winda: zwykłe ruszają z mniej więcej o połowę mniejszym przyspieszeniem, żeby pasażerom nie było nieprzyjemnie. Podstawiamy:

$$\begin{array}{rl}{F}_N& =70\mathrm{kg}\cdot (9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\\ & \approx 827\mathrm{N}\end{array}$$

Waga podzieli siłę przez 9,81 m/s² i pokaże około 84 kg. Marcin przytył na wyświetlaczu 14 kilo. W rzeczywistości waga musi go nie tylko nieść, ale jeszcze rozpędzać w górę, i dlatego pcha mocniej. Ten mocniejszy nacisk Marcin poczuje w nogach jako dodatkowe obciążenie, mówi się, że wzrósł jego ciężar pozorny. Siła ciężkości przy tym się nie zmieniła, Ziemia ciągnie go nadal siłą 687 N.

Gdy tylko winda jedzie ze stałą prędkością, przyspieszenie jest zerowe i F_N = m · g. Waga znów pokazuje 70 kg, a Marcin z zamkniętymi oczami nie poznałby, czy jedzie, czy stoi. Prędkości nie czujemy, czujemy tylko przyspieszenie.

Przed docelowym piętrem winda hamuje. Prędkość jest skierowana w górę, ale maleje, więc przyspieszenie jest skierowane w dół, a = −2 m/s²:

$$\begin{array}{rl}{F}_N& =70\mathrm{kg}\cdot (9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2-2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\\ & \approx 547\mathrm{N}\end{array}$$

Waga pokaże około 56 kg, a Marcin przez chwilę ma wrażenie, że jest lżejszy.

W animacji winda chwilę stoi, potem rusza w górę, jedzie ze stałą prędkością, hamuje i się zatrzymuje. Niebieska siła ciężkości ma cały czas tę samą długość. Zielona siła reakcji podłoża i zielony słupek po prawej, który pokazuje wskazanie wagi, przy ruszaniu się wydłużają, a przy hamowaniu skracają. Czarna strzałka obok kabiny pokazuje zwrot przyspieszenia. Szara przerywana linia oznacza wskazanie w spoczynku, wyświetlacz nad słupkiem pokazuje wskazanie w kilogramach.

W drodze w dół jest odwrotnie. Przy ruszaniu w dół przyspieszenie jest skierowane w dół i waga pokazuje mniej, przy hamowaniu przed parterem jest skierowane w górę i waga pokazuje więcej. Decyduje zwrot przyspieszenia, a nie kierunek jazdy:

Można liczyć też od końca. Waga w windzie pokazuje 77 kg, jakie przyspieszenie ma winda? Waga zmierzyła siłę F_N = 77 kg · 9,81 m/s². Ze wzoru na siłę reakcji podłoża wyznaczamy przyspieszenie, równanie dzielimy przez masę i odejmujemy g:

$$a=\frac{F_N}{m}-g=\frac{77\mathrm{kg}\cdot g}{70\mathrm{kg}}-g=0,1\cdot g$$

Winda ma przyspieszenie około 0,98 m/s² w górę. Albo rusza w górę, albo hamuje w drodze w dół, tego waga nie rozróżni.

Spadająca winda i nieważkość

A co, jeśli lina się zerwie? Prawdziwą windę zatrzymałyby hamulce bezpieczeństwa, które wgryzają się w prowadnice, ale przemyślmy to do końca. Winda i Marcin spadają wtedy tylko pod wpływem siły ciężkości, tak samo jak w spadku swobodnym, i mają przyspieszenie g w dół, czyli a = −g:

$$F_N=m\cdot (g-g)=0\mathrm{N}$$

Waga pokazuje zero. Marcin i waga spadają dokładnie tak samo, Marcin w ogóle na nią nie naciska, a ona nie pcha go w górę. Gdyby wypuścił z ręki klucze, zawisłyby w powietrzu obok niego, bo spadają tak samo jak on i kabina. Nazywa się to stanem nieważkości. Siła nacisku jest zerowa, nic nie naciska na podłoże ani nie ciągnie zawieszenia.

Siła ciężkości zerowa jednak nie jest. Ziemia ciągnie Marcina nadal siłą 687 N i właśnie dlatego spada. Nieważkość nie oznacza, że grawitacja zniknęła, tylko że od spodu nic jej nie równoważy. Bezpiecznie mogą jej spróbować pasażerowie specjalnego samolotu, który przez mniej więcej dwadzieścia sekund leci tak, żeby mieć przyspieszenie dokładnie g w dół. Ludzie w środku przez cały ten czas unoszą się w powietrzu. Słabszą wersję tego samego przeżyjesz w samochodzie, który szybko przejeżdża przez szczyt wzniesienia. Przez chwilę ma przyspieszenie w dół, fotel naciska słabiej, a żołądek podchodzi do gardła.

Przeciążenie wyrażone siłami

Przeciążenie mówi, ile razy mocniej pcha nas podłoże niż wtedy, gdy stoimy w spoczynku. Teraz umiemy je zapisać za pomocą sił. To stosunek siły reakcji podłoża do siły ciężkości:

$$\frac{F_N}{m\cdot g}=\frac{m\cdot (g+a)}{m\cdot g}=\frac{g+a}{g}$$

Masa się skróciła, przeciążenie od niej więc nie zależy. Ciężki i lekki pasażer w tej samej windzie odczują to samo przeciążenie. Przy ruszaniu w górę wychodzi

$$\frac{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 1,2,$$

czyli przeciążenie 1,2g. Przy hamowaniu to 0,8g, w spoczynku i przy stałej prędkości 1g, a w spadającej windzie 0g. Przeciążenie to więc to samo, co pokazuje waga, tylko podzielone przez to, co pokazywałaby w spoczynku: 84 kg do 70 kg to znów 1,2.

Do tej pory badaliśmy, co robi siła, która działa cały czas. A co, jeśli uderzy tylko na ułamek sekundy, na przykład przy zderzeniu albo kopnięciu piłki? Tym zajmie się następny artykuł, Pęd i popęd siły.