Paino ja näennäinen paino

”Painan 70 kiloa”, sanoo Matias. Kaikki tietävät, mitä hän tarkoittaa, ja silti fyysikko kohottaisi kulmiaan. Kilogramma on massan yksikkö, ei voiman, ja kun Matias seisoo vaa'alla, hän painaa sitä voimalla, joka mitataan newtoneina. Kotona lattialla tämä on pelkkää saivartelua, mutta hississä tai Kuussa ei enää.

Massa ja paino

Massa m kertoo, kuinka paljon kappale vastustaa nopeuden muutosta. Se mitataan kilogrammoina eikä se riipu siitä, missä kappale on. Matiaksen massa on 70 kg kotona, lentokoneessa ja Kuussa.

Paino $\overline{G}$ on voima, jolla Maa vetää kappaletta puoleensa. Se osoittaa pystysuoraan alaspäin ja sen suuruus saadaan kaavalla

$$G=m\cdot g,$$

missä g ≈ 9,81 m/s² on putoamiskiihtyvyys. Yksikön m/s² voi lukea myös muodossa N/kg, koska N = kg·m/s². Putoamiskiihtyvyys kertoo siis samalla, että Maa vetää pinnan lähellä jokaista kilogrammaa 9,81 N:n voimalla. Kappaletta, jonka massa on kaksinkertainen, Maa vetää kaksi kertaa voimakkaammin.

Matiakselle saadaan

$$G=70\mathrm{kg}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 687\mathrm{N}.$$

Kuussa putoamiskiihtyvyys on vain noin 1,62 m/s², noin kuusi kertaa pienempi. Kuu vetää Matiasta siksi voimalla

$$G=70\mathrm{kg}\cdot 1,62{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 113\mathrm{N}.$$

Paino pieneni kuudesosaan, massa pysyi 70 kg:na. Kuussa Matias hyppäisi paljon korkeammalle, mutta jos hän haluaisi työntää tai pysäyttää kuormatun kärryn, hänen täytyisi ponnistaa samoin kuin kotona. Kuinka paljon voimaa nopeuden muutos vaatii, määrää dynamiikan peruslain mukaan massa, eikä se ole muuttunut. Ja kallionjärkäleen potkaiseminen sattuisi Kuussa yhä yhtä paljon.

Tukivoima ja näennäinen paino

Matias seisoo kotona vaa'alla. Maa vetää häntä alaspäin, mutta hän ei putoa, koska vaaka työntää häntä ylöspäin tukivoimalla $\overline{N}$. Matias ei liiku, resultantti on nolla, joten molemmat voimat ovat yhtä suuret, N = G ≈ 687 N.

Mistä tukivoima tulee? Lattia ja vaa'an levy taipuvat Matiaksen alla hieman, jousen tavoin, ja yrittävät palata alkuperäiseen muotoonsa. Mitä enemmän niitä painetaan, sitä enemmän ne taipuvat ja sitä voimakkaammin ne työntävät takaisin. Alusta tuottaa siis itse juuri tarvittavan voiman, tosin vain tiettyyn rajaan asti: ohut jää lammella tai lahonnut lankku ei kestä.

Tukivoima vaikuttaa Matiakseen. Voiman ja vastavoiman lain mukaan Matias painaa vaakaa alaspäin yhtä suurella voimalla. Voimaa, jolla kappale painaa alustaa tai vetää ripustinta, sanotaan näennäiseksi painoksi. Paino ja näennäinen paino sekoittuvat helposti, koska levossa niillä on sama suuruus ja molemmat osoittavat alaspäin. Ero on siinä, mihin ne vaikuttavat:

• paino vaikuttaa kappaleeseen, Maa vetää sitä,
• näennäinen paino vaikuttaa alustaan tai ripustimeen, kappale painaa sitä tai vetää siitä.

Ripustimen kohdalla asia on sama. Naulakossa roikkuvaa reppua, jonka massa on 8 kg, Maa vetää painolla noin 78 N ja koukku pitää sitä ylhäällä yhtä suurella voimalla. Reppu vetää samalla koukkua alaspäin näennäisellä painollaan, joka on myös 78 N.

Näennäisen painon suuruus on aina sama kuin voima, jolla alusta tai ripustin vaikuttaa kappaleeseen, koska ne muodostavat voiman ja vastavoiman parin. Painon kanssa sen ei tarvitse olla yhtä suuri, kuten pian nähdään.

Muuten, painoa ei tunne. Se vetää yhtä paljon jokaista kehon osaa, käsiä, vatsaa ja päätä, eikä mikään pysty havaitsemaan sitä. Vasta sen tuntee, miten lattia tai tuoli työntää alapuolelta ja miten keho painuu hieman kasaan sen paineesta. Juuri tukivoima vastaa sitä, mitä tavallisesti pidetään omana painon tunteena.

Mitä kylpyhuoneen vaaka näyttää

Henkilövaa'assa on jousi tai joustava metallinauha, joka taipuu kuormituksen alla. Se mittaa siis voimaa, jolla painat sitä, eli näennäistä painoasi, ja on oikeastaan dynamometri. Näytössä ei kuitenkaan lue newtoneita vaan kilogrammoja. Valmistaja on olettanut, että seisot vaa'alla levossa Maassa, missä painat sitä voimalla m · g. Mitattu voima jaetaan siksi putoamiskiihtyvyydellä:

$$\frac{687\mathrm{N}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 70\mathrm{kg}$$

Kun Matias siis sanoo ”painan 70 kiloa”, hän tarkoittaa massaansa, ja se todella on 70 kg. Fysikaalisesti tarkasti hän sanoisi, että hänen massansa on 70 kg ja näennäinen painonsa 687 N. Kotona tulos on sama, koska vaaka muuntaa toisen toiseksi aina samalla luvulla.

Jos Matias ottaisi saman vaa'an mukaansa Kuuhun, hän painaisi sitä vain voimalla 113 N. Vaaka jakaisi tunnollisesti luvulla 9,81 m/s² ja näyttäisi

$$\frac{70\mathrm{kg}\cdot 1,62{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 11,6\mathrm{kg}.$$

Matias ei kuitenkaan ole laihtunut grammaakaan, vaaka vain olettaa hänen seisovan Maassa. Olisi siksi virhe kirjoittaa, että hänen massansa on Kuussa 11,6 kg. Massan Kuussa määrittäisivät oikein vain tasavartiset vaa'at, jotka vertaavat kappaletta punnuksiin, sillä Kuu vetää molempia vaakakuppeja yhtä heikosti.

Vaaka hississä

Matias astuu hissiin pohjakerroksessa, nousee vaa'alle ja matkustaa ylöspäin. Häneen vaikuttaa kaksi voimaa: paino alaspäin ja vaa'an tukivoima ylöspäin. Positiivinen suunta valitaan ylöspäin, joten resultantti on N − G, ja dynamiikan peruslain mukaan se on m · a:

$$N-m\cdot g=m\cdot a$$

Lisätään m · g ja asetetaan massa tekijäksi:

$$N=m\cdot (g+a)$$

Hissi lähtee liikkeelle ja sen kiihtyvyys on 2 m/s² ylöspäin. Se on aika reipas hissi: tavalliset lähtevät liikkeelle noin puolet pienemmällä kiihtyvyydellä, ettei matkustajille tule epämukava olo. Sijoitetaan:

$$\begin{array}{rl}N& =70\mathrm{kg}\cdot (9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\\ & \approx 827\mathrm{N}\end{array}$$

Vaaka jakaa voiman luvulla 9,81 m/s² ja näyttää noin 84 kg. Matias on näytöllä lihonut 14 kiloa. Todellisuudessa vaa'an täytyy sekä kannatella häntä että saada hänet liikkeelle ylöspäin, ja siksi se työntää voimakkaammin. Tämän vahvistuneen työnnön Matias tuntee jaloissaan lisäpainona. Paino ei silti ole muuttunut, Maa vetää häntä yhä voimalla 687 N.

Heti kun hissi kulkee tasaista vauhtia, kiihtyvyys on nolla ja N = m · g. Vaaka näyttää taas 70 kg ja Matias ei silmät kiinni erottaisi, liikkuuko hissi vai seisooko se. Nopeutta ihminen ei tunne, vain kiihtyvyyden.

Ennen kohdekerrosta hissi jarruttaa. Nopeus osoittaa ylöspäin mutta pienenee, joten kiihtyvyys osoittaa alaspäin, a = −2 m/s²:

$$\begin{array}{rl}N& =70\mathrm{kg}\cdot (9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2-2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\\ & \approx 547\mathrm{N}\end{array}$$

Vaaka näyttää noin 56 kg ja Matiaksesta tuntuu hetken, että hän on kevyempi.

Animaatiossa hissi on hetken paikallaan, lähtee sitten ylöspäin, kulkee tasaista vauhtia, jarruttaa ja pysähtyy. Sininen paino pysyy koko ajan yhtä pitkänä. Vihreä tukivoima ja oikealla oleva vihreä pylväs, joka näyttää vaa'an lukeman, pitenevät lähdettäessä ja lyhenevät jarrutettaessa. Hytin vieressä oleva musta nuoli näyttää, mihin kiihtyvyys osoittaa. Harmaa katkoviiva merkitsee lukemaa levossa, pylvään yläpuolella oleva näyttö kertoo lukeman kilogrammoina.

Alaspäin mentäessä asia on päinvastainen. Alaspäin lähdettäessä kiihtyvyys osoittaa alas ja vaaka näyttää vähemmän, ennen pohjakerrosta jarrutettaessa se osoittaa ylös ja vaaka näyttää enemmän. Ratkaisevaa on kiihtyvyyden suunta, ei kulkusuunta:

Voi laskea myös toisin päin. Hississä vaaka näyttää 77 kg, mikä on hissin kiihtyvyys? Vaaka mittasi voiman N = 77 kg · 9,81 m/s². Tukivoiman kaavasta ratkaistaan kiihtyvyys, jaetaan yhtälö massalla ja vähennetään g:

$$a=\frac{N}{m}-g=\frac{77\mathrm{kg}\cdot g}{70\mathrm{kg}}-g=0,1\cdot g$$

Hissin kiihtyvyys on noin 0,98 m/s² ylöspäin. Se joko lähtee liikkeelle ylöspäin tai jarruttaa matkalla alas, sitä vaaka ei erota.

Putoava hissi ja painottomuus

Entä jos köysi katkeaa? Oikean hissin pysäyttäisivät turvajarrut, jotka puraisevat ohjauskiskoihin, mutta mietitään asiaa loppuun. Hissi ja Matias putoavat silloin pelkän painon vaikutuksesta, samoin kuin vapaassa pudotuksessa, ja niiden kiihtyvyys on g alaspäin eli a = −g:

$$N=m\cdot (g-g)=0\mathrm{N}$$

Vaaka näyttää nollaa. Matias ja vaaka putoavat täysin samalla tavalla, Matias ei paina vaakaa lainkaan eikä vaaka häntä. Jos hän päästäisi avaimet kädestään, ne jäisivät leijumaan ilmaan hänen viereensä, koska ne putoavat samoin kuin hän ja hytti. Tätä sanotaan painottomuudeksi eli painottomaksi tilaksi. Näennäinen paino on nolla, mikään ei paina alustaa eikä vedä ripustimesta.

Paino ei kuitenkaan ole nolla. Maa vetää Matiasta edelleen voimalla 687 N ja juuri siksi hän putoaa. Painottomuus ei tarkoita, että painovoima olisi kadonnut, vaan sitä, ettei mikään tasapainota sitä alapuolelta. Turvallisesti sen voivat kokeilla matkustajat erikoislentokoneessa, joka lentää noin kaksikymmentä sekuntia niin, että sen kiihtyvyys on täsmälleen g alaspäin. Koneen sisällä ihmiset leijuvat koko ajan. Heikomman version samasta koet autossa, joka ajaa nopeasti mäen harjan yli. Hetken sen kiihtyvyys on alaspäin, istuin painaa vähemmän ja vatsa hypähtää.

G-voima voimien avulla

G-voima kertoo, kuinka monta kertaa voimakkaammin alusta painaa ihmistä kuin levossa seistessä. Nyt sen voi kirjoittaa voimien avulla. Se on tukivoiman ja painon suhde:

$$\frac{N}{m\cdot g}=\frac{m\cdot (g+a)}{m\cdot g}=\frac{g+a}{g}$$

Massa supistui pois, joten g-voima ei riipu siitä. Raskas ja kevyt matkustaja saman hissin sisällä kokevat saman g-voiman. Ylöspäin lähdettäessä saadaan

$$\frac{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 1,2,$$

eli g-voima on 1,2g. Jarrutettaessa se on 0,8g, levossa ja tasaisella vauhdilla 1g ja putoavassa hississä 0g. G-voima on siis sama asia kuin vaa'an lukema jaettuna sillä, mitä se näyttäisi levossa: 84 kg jaettuna 70 kg:lla on taas 1,2.

Tähän asti on tutkittu, mitä tekee voima, joka vaikuttaa koko ajan. Entä jos se iskee vain sekunnin murto-osaksi, vaikkapa törmäyksessä tai pallon potkaisussa? Sitä tarkastelee seuraava artikkeli, Liikemäärä ja impulssi.