Tyngdkraft och skenbar tyngd

”Jag väger 70 kilo,” säger Lucas. Alla förstår vad han menar, och ändå skulle en fysiker höja på ögonbrynen. Kilogram är en enhet för massa, inte för kraft, och när Lucas står på en våg trycker han på den med en kraft som mäts i newton. Hemma på golvet är det bara ordklyverier, men i en hiss eller på månen är det det inte längre.

Massa och tyngdkraft

Massan m anger hur mycket en kropp motsätter sig en ändring av hastigheten. Den mäts i kilogram och beror inte på var kroppen befinner sig. Lucas har massan 70 kg hemma, i flygplanet och på månen.

Tyngdkraften $\overrightarrow{F_g}$ är den kraft med vilken jorden drar till sig en kropp. Den är riktad lodrätt nedåt och dess storlek bestämmer vi som

$$F_g=m\cdot g,$$

där g ≈ 9,81 m/s² är tyngdaccelerationen. Enheten m/s² kan vi också läsa som N/kg, eftersom N = kg·m/s². Tyngdaccelerationen säger alltså samtidigt att jorden vid ytan drar i varje kilogram med kraften 9,81 N. I en kropp med dubbelt så stor massa drar jorden dubbelt så hårt.

För Lucas får vi

$$F_g=70\mathrm{kg}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 687\mathrm{N}.$$

På månen är tyngdaccelerationen bara ungefär 1,62 m/s², ungefär sex gånger mindre. Månen drar därför i Lucas med kraften

$$F_g=70\mathrm{kg}\cdot 1,62{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 113\mathrm{N}.$$

Tyngdkraften minskade till en sjättedel, massan förblev 70 kg. På månen skulle Lucas kunna hoppa mycket högre, men om han ville knuffa igång eller stoppa en lastad vagn skulle han få anstränga sig lika mycket som hemma. Hur mycket kraft en hastighetsändring kräver bestäms enligt kraftlagen av massan, och den har inte ändrats. Och att sparka på ett stenblock skulle på månen göra lika ont som förut.

Normalkraft och skenbar tyngd

Lucas står hemma på en våg. Jorden drar honom nedåt och ändå faller han inte, eftersom vågen trycker honom uppåt med normalkraften $\overrightarrow{F_N}$. Lucas rör sig inte, resultanten är noll, så båda krafterna är lika stora, F_N = F_g ≈ 687 N.

Var kommer normalkraften ifrån? Golvet och vågens platta böjs lite grann under Lucas, ungefär som en fjäder, och försöker återgå till sin ursprungliga form. Ju hårdare han trycker på dem, desto mer böjs de och desto starkare trycker de tillbaka. Underlaget skapar alltså själv precis så mycket kraft som behövs, men bara upp till en viss gräns: tunn is på en damm eller en murken planka klarar det inte.

Normalkraften verkar på Lucas. Enligt lagen om kraft och motkraft trycker Lucas på vågen med en lika stor kraft nedåt. Den kraft med vilken en kropp trycker på underlaget eller drar i upphängningen kallar vi skenbar tyngd. Tyngdkraft och skenbar tyngd förväxlas lätt, eftersom de i vila har samma storlek och båda är riktade nedåt. Skillnaden är vad de verkar på:

• tyngdkraften verkar på kroppen, det är jorden som drar i den,
• den skenbara tyngden verkar på underlaget eller upphängningen, kroppen trycker på det eller drar i det.

Med upphängning fungerar det likadant. En ryggsäck med massan 8 kg på en krok dras av jorden med tyngdkraften ungefär 78 N, och kroken håller den med en lika stor kraft uppåt. Ryggsäcken drar samtidigt kroken nedåt med sin skenbara tyngd, också 78 N.

Den skenbara tyngden har alltid samma storlek som kraften med vilken underlaget eller upphängningen verkar på kroppen, eftersom de tillsammans bildar ett par av kraft och motkraft. Den behöver dock inte vara lika stor som tyngdkraften, vilket vi snart får se.

Förresten känner vi inte tyngdkraften. Den drar lika mycket i varje liten del av kroppen, i händerna, magen och huvudet, och det finns inget som kan känna av den. Det vi känner är hur golvet eller stolen trycker på oss underifrån och hur kroppen trycks ihop lite av det trycket. Det är normalkraften som motsvarar det vi vanligtvis uppfattar som känslan av vår egen vikt.

Vad badrumsvågen visar

Personvågen innehåller en fjäder eller ett elastiskt metallband som böjs under belastning. Den mäter alltså kraften som du trycker på den med, det vill säga din skenbara tyngd, och är i själva verket en dynamometer. På displayen visas dock inte newton utan kilogram. Tillverkaren utgick från att du står stilla på vågen på jorden, där du trycker på den med kraften m · g. Den uppmätta kraften delas därför med tyngdaccelerationen:

$$\frac{687\mathrm{N}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 70\mathrm{kg}$$

När Lucas säger ”jag väger 70 kilo” menar han alltså sin massa, och den är verkligen 70 kg. Fysikaliskt exakt skulle han säga att han har massan 70 kg och den skenbara tyngden 687 N. Hemma kommer det på ett ut, eftersom vågen alltid omvandlar det ena till det andra med samma tal.

Om Lucas tog samma våg med sig till månen skulle han trycka på den med en kraft på bara 113 N. Vågen skulle lydigt dela med talet 9,81 m/s² och visa

$$\frac{70\mathrm{kg}\cdot 1,62{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 11,6\mathrm{kg}.$$

Lucas har inte gått ner ett enda gram, vågen utgår bara från att han står på jorden. Det vore därför fel att skriva att han har massan 11,6 kg på månen. På månen skulle bara en balansvåg, som jämför kroppen med vikter, kunna bestämma massan rätt, eftersom månen drar lika svagt i båda vågskålarna.

Vågen i en hiss

Lucas går in i en hiss på bottenvåningen, ställer sig på vågen och åker uppåt. På honom verkar två krafter: tyngdkraften nedåt och vågens normalkraft uppåt. Vi väljer uppåt som positiv riktning, så resultanten är F_N − F_g och enligt kraftlagen är den lika med m · a:

$$F_N-m\cdot g=m\cdot a$$

Vi adderar m · g och bryter ut massan:

$$F_N=m\cdot (g+a)$$

Hissen startar och har accelerationen 2 m/s² uppåt. Det är en riktigt rask hiss: vanliga hissar startar med ungefär hälften så stor acceleration, så att passagerarna inte ska känna obehag. Vi sätter in:

$$\begin{array}{rl}{F}_N& =70\mathrm{kg}\cdot (9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\\ & \approx 827\mathrm{N}\end{array}$$

Vågen delar kraften med talet 9,81 m/s² och visar ungefär 84 kg. På displayen har Lucas gått upp 14 kilo. I själva verket måste vågen inte bara bära honom utan också sätta honom i rörelse uppåt, och därför trycker den hårdare. Det ökade trycket känner Lucas i benen som en ökad skenbar tyngd. Tyngdkraften har samtidigt inte ändrats, jorden drar fortfarande i honom med kraften 687 N.

Så snart hissen åker med konstant hastighet är accelerationen noll och F_N = m · g. Vågen visar åter 70 kg och Lucas skulle med slutna ögon inte kunna avgöra om han åker eller står stilla. Hastigheten känner vi inte, vi känner bara accelerationen.

Före målvåningen bromsar hissen. Hastigheten är riktad uppåt men minskar, så accelerationen är riktad nedåt, a = −2 m/s²:

$$\begin{array}{rl}{F}_N& =70\mathrm{kg}\cdot (9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2-2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\\ & \approx 547\mathrm{N}\end{array}$$

Vågen visar ungefär 56 kg och Lucas får för en stund en känsla av att vara lättare.

I animationen står hissen först stilla, sedan startar den uppåt, åker med konstant hastighet, bromsar och stannar. Den blå tyngdkraften förblir hela tiden lika lång. Den gröna normalkraften och den gröna stapeln till höger, som visar vågens värde, blir längre vid starten och kortare vid inbromsningen. Den svarta pilen bredvid hisskorgen visar åt vilket håll accelerationen är riktad. Den grå streckade linjen markerar värdet i vila, displayen ovanför stapeln visar värdet i kilogram.

På vägen nedåt är det tvärtom. Vid start nedåt är accelerationen riktad nedåt och vågen visar mindre, vid inbromsning före bottenvåningen är den riktad uppåt och vågen visar mer. Det är accelerationens riktning som avgör, inte färdriktningen:

Man kan också räkna baklänges. Vågen i hissen visar 77 kg, vilken acceleration har hissen? Vågen har uppmätt kraften F_N = 77 kg · 9,81 m/s². Ur formeln för normalkraften uttrycker vi accelerationen, delar ekvationen med massan och subtraherar g:

$$a=\frac{F_N}{m}-g=\frac{77\mathrm{kg}\cdot g}{70\mathrm{kg}}-g=0,1\cdot g$$

Hissen har accelerationen ungefär 0,98 m/s² uppåt. Antingen startar den uppåt eller så bromsar den på väg nedåt, det kan vågen inte skilja åt.

Fallande hiss och tyngdlöshet

Och vad händer om vajern går av? En riktig hiss skulle stoppas av fångbromsar som bits fast i styrskenorna, men låt oss tänka tanken fullt ut. Hissen och Lucas faller då bara på grund av tyngdkraften, precis som vid fritt fall, och har accelerationen g nedåt, alltså a = −g:

$$F_N=m\cdot (g-g)=0\mathrm{N}$$

Vågen visar noll. Lucas och vågen faller helt lika, Lucas trycker inte alls på den och den inte på honom. Om han släppte nycklarna skulle de hänga kvar i luften bredvid honom, eftersom de faller likadant som han och hisskorgen. Detta kallas tyngdlöshet. Den skenbara tyngden är noll, ingenting trycker på underlaget eller drar i upphängningen.

Tyngdkraften är dock inte noll. Jorden drar fortfarande i Lucas med kraften 687 N och just därför faller han. Tyngdlöshet betyder inte att gravitationen har försvunnit, bara att ingenting underifrån balanserar den. Det kan man på ett säkert sätt prova i ett särskilt flygplan som under ungefär tjugo sekunder flyger så att det har accelerationen exakt g nedåt. Människorna där inne svävar hela tiden. En svagare version av samma sak upplever du i en bil som snabbt åker över ett backkrön. För ett ögonblick har den acceleration nedåt, sätet trycker mindre och det kittlar i magen.

G-kraft uttryckt med krafter

G-kraften säger hur många gånger starkare underlaget trycker på oss än när vi står stilla. Nu kan vi skriva den med krafter. Det är kvoten mellan normalkraften och tyngdkraften:

$$\frac{F_N}{m\cdot g}=\frac{m\cdot (g+a)}{m\cdot g}=\frac{g+a}{g}$$

Massan förkortades bort, så g-kraften beror inte på den. En tung och en lätt passagerare i samma hiss upplever samma g-kraft. Vid start uppåt får vi

$$\frac{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 1,2,$$

alltså g-kraften 1,2g. Vid inbromsning är den 0,8g, i vila och vid konstant hastighet 1g och i den fallande hissen 0g. G-kraften är alltså detsamma som vågen visar, bara delat med vad den skulle visa i vila: kvoten mellan 84 kg och 70 kg är återigen 1,2.

Hittills har vi undersökt vad en kraft som verkar hela tiden gör. Men vad händer om den slår till bara under en bråkdel av en sekund, till exempel vid en kollision eller när man sparkar på en boll? Det tittar nästa artikel på, Rörelsemängd och impuls.