Gewichtskraft und scheinbare Gewichtskraft

„Ich wiege 70 Kilo“, sagt Paul. Alle wissen, was er meint, und trotzdem würde ein Physiker die Augenbrauen heben. Das Kilogramm ist eine Einheit der Masse, nicht der Kraft, und wenn Paul auf der Waage steht, drückt er mit einer Kraft auf sie, die in Newton gemessen wird. Zu Hause auf dem Boden ist das nur Haarspalterei, im Aufzug oder auf dem Mond nicht mehr.

Masse und Gewichtskraft

Die Masse m drückt aus, wie sehr sich ein Körper gegen eine Änderung der Geschwindigkeit wehrt. Sie wird in Kilogramm gemessen und hängt nicht davon ab, wo der Körper ist. Paul hat die Masse 70 kg zu Hause, im Flugzeug und auf dem Mond.

Die Gewichtskraft $\overrightarrow{F_G}$ ist die Kraft, mit der die Erde einen Körper anzieht. Sie zeigt senkrecht nach unten, und ihren Betrag bestimmen wir als

$$F_G=m\cdot g,$$

wobei g ≈ 9,81 m/s² die Fallbeschleunigung ist. Die Einheit m/s² können wir auch als N/kg lesen, denn N = kg·m/s². Die Fallbeschleunigung gibt also zugleich an, dass die Erde an der Oberfläche jedes Kilogramm mit 9,81 N anzieht. Einen Körper mit doppelter Masse zieht die Erde doppelt so stark an.

Für Paul ergibt sich

$$F_G=70\mathrm{kg}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 687\mathrm{N}.$$

Auf dem Mond beträgt die Fallbeschleunigung nur etwa 1,62 m/s², ungefähr ein Sechstel des irdischen Werts. Auf Paul wirkt auf dem Mond deshalb die Gewichtskraft

$$F_G=70\mathrm{kg}\cdot 1,62{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 113\mathrm{N}.$$

Die Gewichtskraft ist auf ein Sechstel gesunken, die Masse blieb 70 kg. Auf dem Mond würde Paul viel höher springen, aber wollte er einen beladenen Wagen in Bewegung setzen oder anhalten, müsste er sich genauso anstrengen wie zu Hause. Wie viel Kraft eine Änderung der Geschwindigkeit erfordert, bestimmt nach der Grundgleichung der Mechanik die Masse, und die hat sich nicht geändert. Und gegen einen Felsbrocken zu treten, täte auf dem Mond genauso weh.

Normalkraft und scheinbare Gewichtskraft

Paul steht zu Hause auf der Waage. Die Erde zieht ihn nach unten, und trotzdem fällt er nicht, weil ihn die Waage mit der Normalkraft $\overrightarrow{F_N}$ nach oben drückt. Paul bewegt sich nicht, die Resultierende ist null, also haben beide Kräfte denselben Betrag, F_N = F_G ≈ 687 N.

Woher kommt die Normalkraft? Der Boden und die Platte der Waage biegen sich unter Paul ein winziges Stück durch, ähnlich wie eine Feder, und versuchen, in ihre ursprüngliche Form zurückzukehren. Je mehr er auf sie drückt, desto stärker biegen sie sich durch und desto stärker drücken sie zurück. Die Unterlage erzeugt also von selbst genau so viel Kraft, wie nötig ist, allerdings nur bis zu einer bestimmten Grenze: Dünnes Eis auf einem Teich oder ein morsches Brett halten das nicht aus.

Die Normalkraft wirkt auf Paul. Nach dem Wechselwirkungsprinzip drückt Paul mit einer gleich großen Kraft nach unten auf die Waage. Die Kraft, mit der ein Körper auf seine Unterlage drückt oder am Seil zieht – das, was die Waage misst –, nennen wir scheinbare Gewichtskraft. Gewichtskraft und scheinbare Gewichtskraft verwechselt man leicht, denn in Ruhe haben sie denselben Betrag, und beide zeigen nach unten. Der Unterschied liegt darin, worauf sie wirken:

• die Gewichtskraft wirkt auf den Körper, die Erde zieht ihn an,
• die scheinbare Gewichtskraft wirkt auf die Unterlage oder das Seil, der Körper drückt auf sie oder zieht daran.

Bei einem Seil funktioniert es genauso. Einen Rucksack mit einer Masse von 8 kg an der Garderobe zieht die Erde mit einer Gewichtskraft von etwa 78 N nach unten, und der Haken hält ihn mit einer gleich großen Kraft nach oben. Der Rucksack zieht dabei mit seiner scheinbaren Gewichtskraft von ebenfalls 78 N am Haken nach unten.

Die scheinbare Gewichtskraft hat immer denselben Betrag wie die Kraft, mit der die Unterlage oder das Seil auf den Körper wirkt, denn die beiden bilden ein Paar aus Aktion und Reaktion. Der Gewichtskraft gleich sein muss sie aber nicht, wie wir gleich sehen werden.

Übrigens spüren wir die Gewichtskraft nicht. Sie zieht an jedem Stückchen des Körpers gleich stark, an den Händen, am Magen und am Kopf, und es gibt nichts, woran wir sie bemerken könnten. Wir spüren erst, wie uns der Boden oder der Stuhl von unten drückt und wie sich der Körper unter diesem Druck ein wenig zusammenstaucht. Gerade die Normalkraft entspricht dem, was wir gewöhnlich für das Gefühl des eigenen Gewichts halten.

Was die Badezimmerwaage anzeigt

In einer Personenwaage steckt eine Feder oder ein elastisches Metallband, das sich unter Belastung durchbiegt. Sie misst also die Kraft, mit der du auf sie drückst, das heißt deine scheinbare Gewichtskraft, und ist eigentlich ein Kraftmesser. Auf der Anzeige leuchten aber keine Newton, sondern Kilogramm. Der Hersteller ging davon aus, dass du in Ruhe auf der Erde auf der Waage stehst, wo du mit der Kraft m · g auf sie drückst. Die gemessene Kraft teilt sie deshalb durch die Fallbeschleunigung:

$$\frac{687\mathrm{N}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 70\mathrm{kg}$$

Wenn Paul also sagt „ich wiege 70 Kilo“, meint er seine Masse, und die beträgt wirklich 70 kg. Physikalisch genau würde er sagen, dass er die Masse 70 kg und die scheinbare Gewichtskraft 687 N hat. Zu Hause kommt es auf dasselbe heraus, weil die Waage das eine in das andere immer mit derselben Zahl umrechnet.

Würde Paul dieselbe Waage mit auf den Mond nehmen, drückte er nur mit der Kraft 113 N auf sie. Die Waage würde brav durch die Zahl 9,81 m/s² teilen und anzeigen

$$\frac{70\mathrm{kg}\cdot 1,62{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 11,6\mathrm{kg}.$$

Dabei hat Paul kein Gramm abgenommen, die Waage rechnet nur damit, dass sie auf der Erde steht. Es wäre deshalb falsch zu schreiben, er habe auf dem Mond die Masse 11,6 kg. Die Masse würde auf dem Mond nur eine Balkenwaage richtig bestimmen, die den Körper mit einem Wägestück vergleicht, denn der Mond zieht beide Schalen gleich schwach an.

Die Waage im Aufzug

Paul steigt im Erdgeschoss in den Aufzug, stellt sich auf die Waage und fährt nach oben. Auf ihn wirken zwei Kräfte: die Gewichtskraft nach unten und die Normalkraft der Waage nach oben. Die positive Richtung wählen wir nach oben, die Resultierende ist also F_N − F_G, und nach der Grundgleichung der Mechanik ist sie gleich m · a:

$$F_N-m\cdot g=m\cdot a$$

Wir addieren m · g und klammern die Masse aus:

$$F_N=m\cdot (g+a)$$

Der Aufzug fährt an und hat die Beschleunigung 2 m/s² nach oben. Das ist ein ziemlich flotter Aufzug: Übliche beschleunigen ungefähr halb so stark, damit es den Fahrgästen nicht unangenehm wird. Wir setzen ein:

$$\begin{array}{rl}{F}_N& =70\mathrm{kg}\cdot (9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\\ & \approx 827\mathrm{N}\end{array}$$

Die Waage teilt die Kraft durch die Zahl 9,81 m/s² und zeigt etwa 84 kg an. Paul hat auf der Anzeige 14 Kilo zugenommen. In Wirklichkeit muss ihn die Waage nicht nur tragen, sondern auch noch nach oben in Bewegung setzen, und drückt deshalb stärker. Dieses verstärkte Drücken spürt Paul in den Beinen als größere scheinbare Gewichtskraft. Die Gewichtskraft hat sich dabei nicht geändert, die Erde zieht ihn weiter mit 687 N.

Sobald der Aufzug mit konstanter Geschwindigkeit fährt, ist die Beschleunigung null und F_N = m · g. Die Waage zeigt wieder 70 kg, und Paul könnte mit geschlossenen Augen nicht sagen, ob er fährt oder steht. Die Geschwindigkeit spüren wir nicht, wir spüren nur die Beschleunigung.

Vor dem Zielstockwerk bremst der Aufzug. Die Geschwindigkeit zeigt nach oben, nimmt aber ab, die Beschleunigung zeigt also nach unten, a = −2 m/s²:

$$\begin{array}{rl}{F}_N& =70\mathrm{kg}\cdot (9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2-2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\\ & \approx 547\mathrm{N}\end{array}$$

Die Waage zeigt etwa 56 kg an, und Paul hat für einen Moment das Gefühl, leichter zu sein.

In der Animation steht der Aufzug zuerst, fährt dann nach oben an, fährt mit konstanter Geschwindigkeit, bremst und hält an. Die blaue Gewichtskraft bleibt immer gleich lang. Die grüne Normalkraft und die grüne Säule rechts, die die Anzeige der Waage darstellt, werden beim Anfahren länger und beim Bremsen kürzer. Der schwarze Pfeil neben der Kabine zeigt, wohin die Beschleunigung zeigt. Die graue gestrichelte Linie markiert die Anzeige in Ruhe, das Display über der Säule zeigt die Anzeige in Kilogramm.

Auf dem Weg nach unten ist es umgekehrt. Beim Anfahren nach unten zeigt die Beschleunigung nach unten, und die Waage zeigt weniger an, beim Bremsen vor dem Erdgeschoss zeigt sie nach oben, und die Waage zeigt mehr an. Entscheidend ist die Richtung der Beschleunigung, nicht die Richtung der Fahrt:

Man kann auch rückwärts rechnen. Die Waage im Aufzug zeigt 77 kg an, welche Beschleunigung hat der Aufzug? Die Waage hat die Kraft F_N = 77 kg · 9,81 m/s² gemessen. Aus der Formel für die Normalkraft lösen wir nach der Beschleunigung auf, teilen die Gleichung durch die Masse und subtrahieren g:

$$a=\frac{F_N}{m}-g=\frac{77\mathrm{kg}\cdot g}{70\mathrm{kg}}-g=0,1\cdot g$$

Der Aufzug hat eine Beschleunigung von etwa 0,98 m/s² nach oben. Entweder fährt er nach oben an, oder er bremst auf dem Weg nach unten, das kann die Waage nicht unterscheiden.

Fallender Aufzug und Schwerelosigkeit

Und wenn das Seil reißt? Einen echten Aufzug würden Fangbremsen anhalten, die sich in die Führungsschienen krallen, aber denken wir es zu Ende. Aufzug und Paul fallen dann nur unter dem Einfluss der Gewichtskraft, genauso wie beim freien Fall, und haben die Beschleunigung g nach unten, also a = −g:

$$F_N=m\cdot (g-g)=0\mathrm{N}$$

Die Waage zeigt null an. Paul und die Waage fallen völlig gleich, Paul drückt überhaupt nicht auf sie, und sie drückt nicht auf ihn. Ließe er die Schlüssel aus der Hand fallen, blieben sie neben ihm in der Luft hängen, weil sie genauso fallen wie er und die Kabine. Das nennt man Schwerelosigkeit. Die scheinbare Gewichtskraft ist null, nichts drückt auf die Unterlage oder zieht am Seil.

Die Gewichtskraft ist aber nicht null. Die Erde zieht Paul weiter mit 687 N, und gerade deshalb fällt er. Schwerelosigkeit bedeutet nicht, dass die Gravitation verschwunden wäre, sondern nur, dass ihr von unten nichts entgegenwirkt. Gefahrlos erleben das Fluggäste in einem Spezialflugzeug, das etwa zwanzig Sekunden lang so fliegt, dass es genau die Beschleunigung g nach unten hat. Die Menschen darin schweben die ganze Zeit. Eine schwächere Version desselben erlebst du in einem Auto, das schnell über eine Kuppe fährt. Für einen Augenblick hat es eine Beschleunigung nach unten, der Sitz drückt weniger, und der Magen hebt sich.

Die g-Kraft als Kräfteverhältnis

Die g-Kraft gibt an, wievielmal stärker uns die Unterlage drückt als beim ruhigen Stehen. Jetzt können wir sie mit Kräften aufschreiben. Sie ist das Verhältnis von Normalkraft und Gewichtskraft:

$$\frac{F_N}{m\cdot g}=\frac{m\cdot (g+a)}{m\cdot g}=\frac{g+a}{g}$$

Die Masse hat sich gekürzt, die g-Kraft hängt also nicht von ihr ab. Ein schwerer und ein leichter Fahrgast im selben Aufzug erleben dieselbe g-Kraft. Beim Anfahren nach oben ergibt sich

$$\frac{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 1,2,$$

also die g-Kraft 1,2g. Beim Bremsen sind es 0,8g, in Ruhe und bei konstanter Geschwindigkeit 1g und im fallenden Aufzug 0g. Die g-Kraft ist also dasselbe, was die Waage anzeigt, geteilt durch das, was sie in Ruhe anzeigen würde: 84 kg zu 70 kg ist wieder 1,2.

Bisher haben wir untersucht, was eine Kraft macht, die ständig wirkt. Was ist, wenn sie nur für den Bruchteil einer Sekunde zuschlägt, etwa bei einem Aufprall oder beim Tritt gegen einen Ball? Das sehen wir uns im nächsten Artikel an, Impuls und Kraftstoß.