Movimiento circular uniforme

El caballito de un tiovivo, la punta del segundero o una piedrecita atascada en el dibujo de un neumático (vista desde el coche) describen una circunferencia. Si además mantienen siempre el mismo ritmo, hablamos de movimiento circular uniforme: la trayectoria es una circunferencia y el módulo de la velocidad no cambia. En tiempos iguales recorren arcos de la misma longitud.

La dirección de la velocidad, en cambio, cambia continuamente, porque la flecha de la velocidad es siempre tangente a la circunferencia. El movimiento es uniforme solo en cuanto al módulo de la velocidad. ¿Cómo lo describimos con números?

En una recta nos bastaba un solo número para determinar la posición, la posición sobre el eje. En la circunferencia nos basta también con un solo número: el ángulo que el cuerpo ha girado desde la salida. Por eso los ángulos nos acompañarán a cada paso.

Periodo y frecuencia

El tiovivo de la feria arranca y luego gira siempre al mismo ritmo. Te colocas junto a él con un cronómetro y mides que tu amiga, subida en un caballito, pasa por delante de ti cada diez segundos. El tiempo que dura una vuelta se llama periodo, se designa T y se mide en segundos:

$$T=10\mathrm{s}$$

También podemos preguntar al revés: cuántas vueltas da el tiovivo en un segundo. Eso es la frecuencia f. Si una vuelta dura diez segundos, en un segundo el tiovivo da una décima de vuelta. En general, la frecuencia se calcula como una vuelta dividida entre el periodo:

$$f=\frac{1}{T}$$

Sustituimos:

$$f=\frac{1}{10\mathrm{s}}=0,1{\mathrm{s}}^{-1}$$

La unidad «por segundo», es decir, $\frac{1}{\mathrm{s}}$, lleva el nombre de hercio y el símbolo Hz. El tiovivo tiene una frecuencia de 0,1 Hz. La relación vale también al revés, $T=\frac{1}{f}$: cuantas más vueltas por segundo, más corta es cada vuelta. El periodo y la frecuencia dicen lo mismo desde lados opuestos: uno indica los segundos por vuelta, la otra las vueltas por segundo.

El segundero recorre la esfera en un minuto, así que su periodo es T = 60 s y su frecuencia $f=\frac{1}{60\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,017}\mathrm{Hz}$. El periodo del minutero es una hora entera, 3600 s. Lo que se arrastra tiene un periodo largo y una frecuencia pequeña; lo que corre, al revés.

En los motores y las lavadoras la frecuencia se da en revoluciones por minuto (rpm). Una lavadora que centrifuga a 1200 rev/min da mil doscientas vueltas al tambor por minuto. Un minuto tiene sesenta segundos, así que por segundo son

$$f=\frac{1200\mathrm{rev}}{60\mathrm{s}}=20\mathrm{rev}/\mathrm{s}=20\mathrm{Hz}.$$

Una revolución es un mero número, así que las revoluciones por segundo y los hercios coinciden. Una vuelta del tambor dura

$$T=\frac{1}{f}=\frac{1}{20\mathrm{Hz}}=0,05\mathrm{s},$$

cinco centésimas de segundo. No es de extrañar que la ropa tras el cristal la veas solo como una mancha.

El ángulo medido con un arco

En cierto tiempo, el tiovivo gira un determinado ángulo. En grados sabemos medirlo: un cuarto de vuelta son 90°, una vuelta entera 360°. Pero la física prefiere medir los ángulos en radianes, y enseguida veremos por qué.

Imagina un ángulo con el vértice en el centro de una circunferencia. Sus lados delimitan en la circunferencia un arco de longitud s. En una circunferencia mayor, el arco del mismo ángulo es más largo, y lo es exactamente tantas veces como mayor es el radio: una circunferencia del doble de tamaño, un arco del doble de largo. El cociente entre la longitud del arco y el radio no depende, por tanto, del tamaño de la circunferencia, solo del ángulo. Justo este cociente da la medida del ángulo en radianes:

$$\phi =\frac{s}{r}$$

Al ángulo que gira un cuerpo en la circunferencia lo llamamos ángulo descrito (desplazamiento angular) y lo designamos con la letra griega φ (fi). Un radián es el ángulo cuyo arco tiene la misma longitud que el radio. El número de radianes dice, por tanto, cuántos radios caben en el arco.

¿Y cuántos radianes tiene una vuelta entera? El arco es entonces toda la longitud de la circunferencia, es decir, 2π · r:

$$\phi =\frac{2\pi \cdot r}{r}=2\pi$$

El radio se ha simplificado, como esperábamos. Una vuelta entera tiene 2π radianes, aproximadamente 6,28:

$$360°=2\pi \mathrm{rad}$$

Media vuelta es π rad = 180°, un cuarto de vuelta $\frac{\pi }{2}\mathrm{rad}=90°$. Un radián es $\frac{360°}{2\pi }\approx 57,3°$, así que en una vuelta entera caben seis radianes y un poco más.

Veamos qué ha pasado con las unidades. La longitud del arco y el radio están en metros y, al dividir, los metros se simplifican, $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}}=1$. El radián es, por tanto, una unidad adimensional, en realidad un número a secas, igual que la escala de un mapa, que también es el cociente de dos longitudes. El símbolo rad solo recuerda que ese número significa un ángulo, y en los cálculos podemos escribirlo u omitirlo. Enseguida nos vendrá bien.

Volvamos al tiovivo. Un caballito interior, a 2 m del centro, se desplaza 3 m por su arco. ¿Qué ángulo ha girado? Sustituimos en la fórmula el arco y el radio:

$$\phi =\frac{s}{r}=\frac{3\mathrm{m}}{2\mathrm{m}}=1,5\mathrm{rad}$$

El radio cabe en el arco una vez y media. En grados son 1,5 · 57,3° ≈ 86°, casi un cuarto de vuelta.

¿Por qué no grados? El número 360 es una convención heredada de los antiguos babilonios, mientras que el radián sale directamente de la circunferencia. Gracias a ello la longitud del arco se calcula de forma muy sencilla, s = φ · r. Con grados, en esa fórmula aparecería la fracción $\frac{2\pi }{360}$. En las fórmulas de física, por eso, los ángulos se sustituyen casi siempre en radianes. Quien calcule el seno o el coseno de uno de esos ángulos con la calculadora debe cambiarla del modo DEG al modo RAD. Quien quiera saber más sobre los radianes lo encontrará en el artículo Medida de un ángulo en radianes.

Velocidad angular

El ritmo de giro del tiovivo lo expresa la velocidad angular ω (omega). Es el ángulo que gira en la unidad de tiempo:

$$\omega =\frac{\phi }{t}$$

El ángulo lo medimos en radianes y el tiempo en segundos, así que la velocidad angular se mide en rad/s. En el movimiento circular uniforme el cuerpo gira ángulos iguales en tiempos iguales, de modo que la velocidad angular es constante.

En un periodo el tiovivo da una vuelta entera, gira 2π radianes. Por eso

$$\omega =\frac{2\pi }{T}.$$

En la fórmula entra el periodo de nuestro tiovivo:

$$\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{10\mathrm{s}}=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 0,63\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Cada segundo el tiovivo gira algo más de medio radián, es decir, unos 36°. El segundero, con un periodo de 60 s, es seis veces más lento, $\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{60\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,105}\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Como $\frac{1}{T}=f$, también se cumple ω = 2π · f. El tambor de la lavadora tiene una velocidad angular

$$\omega =2\pi \cdot 20\mathrm{Hz}=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 126\mathrm{rad}/\mathrm{s}.$$

La frecuencia y la velocidad angular se confunden fácilmente, así que ten cuidado. Las dos describen con qué rapidez gira el tiovivo, solo que en unidades distintas: la frecuencia en vueltas por segundo, la velocidad angular en radianes por segundo. Una vuelta tiene 2π radianes y por eso la velocidad angular es siempre un número 2π veces mayor que la frecuencia. Quien olvide el 2π obtendrá para el tiovivo 0,1 rad/s en lugar de 0,63 rad/s. El radián es un número a secas, así que rad/s y Hz son, una vez simplificados, simplemente «por segundo». Aun así, la velocidad angular no la escribimos en hercios, precisamente para que nadie la confunda con la frecuencia.

Con velocidad angular constante, el ángulo sale igual que la distancia en el movimiento rectilíneo uniforme, solo que con la velocidad angular en lugar de la velocidad y el ángulo en lugar de la distancia. De $\omega =\frac{\phi }{t}$, multiplicando por el tiempo, obtenemos φ = ω · t. En 2,5 s el tiovivo gira

$$\phi =\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2,5\mathrm{s}=\frac{\pi }{2}\mathrm{rad},$$

es decir, un cuarto de vuelta. Un cuarto del periodo dura, por cierto, justo 2,5 s.

Lo esencial de la velocidad angular es que es común a todo el tiovivo. El caballito del borde y el caballito cercano al centro dan una vuelta en los mismos diez segundos, y cada segundo giran el mismo ángulo.

Por qué el borde va más deprisa

En el tiovivo van uno junto a otro dos caballitos, el interior a 2 m del centro y el exterior a 4 m del centro. Van unidos como si estuvieran en una misma barra y, por eso, en el mismo tiempo describen el mismo ángulo. Pero el caballito exterior recorre una circunferencia mayor, y por eso en el mismo tiempo recorre un arco del doble de largo. Los dos dan el mismo número de vueltas durante el viaje, solo que la vuelta del caballito exterior es el doble de larga. La animación lo muestra: el radio con los dos caballitos gira como un todo, el ángulo es común y, aun así, la traza roja crece el doble de rápido que la azul.

En el mismo tiempo, una distancia doble significa una velocidad doble. Vamos a calcularla. En una vuelta, el caballito recorre toda la longitud de su circunferencia, 2π · r, y tarda en ello un periodo T. La velocidad es la distancia dividida entre el tiempo:

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}$$

Atención: r es la distancia al centro, el radio de la circunferencia por la que va el caballito, y no el diámetro de todo el tiovivo. Para el caballito exterior sustituimos 4 m:

$$v=\frac{2\pi \cdot 4\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Son unos 9 km/h, un buen trote. El caballito interior:

$$v=\frac{2\pi \cdot 2\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Son unos 4,5 km/h, un paseo normal. Quien está justo en el centro gira sobre sí mismo y no va a ninguna parte. Por eso los niños se pelean por los caballitos del borde, y además allí sopla más viento. Quien se sube cerca del centro va, en realidad, en un poni.

A la velocidad también se puede llegar desde la velocidad angular. La velocidad es la distancia dividida entre el tiempo, $v=\frac{s}{t}$, y la distancia en la circunferencia es la longitud del arco s = φ · r. Sustituimos:

$$v=\frac{\phi \cdot r}{t}=\frac{\phi }{t}\cdot r$$

La fracción $\frac{\phi }{t}$ es la velocidad angular, así que

$$v=\omega \cdot r.$$

A la velocidad v se la llama velocidad lineal, para distinguirla de la angular. Con la misma velocidad angular, crece en proporción directa a la distancia al centro. Lo comprobamos con el caballito exterior:

$$v=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 4\mathrm{m}=\frac{4\pi }{5}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Coincide. Para el caballito interior sale $\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2\mathrm{m}\approx 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$, exactamente la mitad. Fíjate en las unidades: radián por segundo por metro da metro por segundo, porque el radián es un número a secas y desaparece del resultado sin dejar rastro. Si sustituyéramos el ángulo en grados, saldría un número absurdo, porque la fórmula s = φ · r solo vale para radianes.

La fórmula sirve también en sentido contrario. El dueño del tiovivo quiere que el caballito exterior vaya a 3 m/s. ¿Con qué rapidez debe girar el tiovivo? De la relación v = ω · r dividimos ambos miembros entre el radio:

$$\omega =\frac{v}{r}=\frac{3\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{m}}=0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

El periodo lo obtenemos de la relación $\omega =\frac{2\pi }{T}$, basta intercambiar en ella el periodo y la velocidad angular:

$$T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi \mathrm{rad}}{0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}}\approx 8,4\mathrm{s}$$

Una vuelta del tiovivo debe durar, por tanto, unos ocho segundos y medio en lugar de diez. El caballito interior irá entonces a la mitad de velocidad, 1,5 m/s.

Para el extremo opuesto recurrimos al reloj. La punta de un minutero de 10 cm de largo gira con un periodo de 3600 s, así que

$$v=\frac{2\pi \cdot 0,1\mathrm{m}}{3600\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,000}17\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Es aproximadamente una sexta parte de milímetro por segundo, de modo que un caracol lo adelantaría. Por eso no vemos a simple vista el movimiento de la manecilla, pero sí después de cinco minutos.

Para terminar, volvemos a la lavadora. El tambor tiene un radio de unos 25 cm, es decir, 0,25 m, y una velocidad angular de 40π rad/s:

$$v=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 0,25\mathrm{m}=10\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 31,4\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Son unos 113 km/h. Un calcetín pegado a la pared del tambor va durante el centrifugado a la velocidad de un coche por autopista, aunque la lavadora siga quieta en el cuarto de baño.

El caballito del tiovivo y el calcetín del tambor van siempre igual de rápido y, sin embargo, su flecha de velocidad apunta a cada instante hacia otro lado. Por qué un movimiento así es acelerado, hacia dónde apunta esa aceleración y cuánto vale lo mostrará el siguiente artículo, Aceleración centrípeta.