Jevn sirkelbevegelse

En hest på en karusell, spissen av sekundviseren eller en liten stein som sitter fast i mønsteret på et bildekk (sett fra bilen) går i sirkel. Når de holder samme tempo hele tiden, snakker vi om jevn sirkelbevegelse: banen er en sirkel og størrelsen av farten endrer seg ikke. På like lang tid beskriver de like lange buer.

Retningen til hastigheten endrer seg derimot hele tiden, fordi pilen for hastigheten alltid peker langs tangenten til sirkelen. Bevegelsen er jevn bare når det gjelder størrelsen av farten. Hvordan beskriver vi den med tall?

På en rett linje holdt det med ett eneste tall for å bestemme posisjonen, posisjonen på aksen. På en sirkel klarer vi oss også med ett tall: vinkelen legemet har dreid seg fra start. Vinkler følger oss derfor i hvert eneste steg her.

Periode og frekvens

Karusellen på tivoliet kommer i gang og dreier så med samme tempo hele tiden. Du stiller deg ved den med stoppeklokke og måler at venninnen din på hesten suser forbi deg hvert tiende sekund. Tiden for én runde kalles periode, skrives T og måles i sekunder:

$$T=10\mathrm{s}$$

Vi kan også spørre omvendt: hvor mange runder rekker karusellen på ett sekund? Det er frekvensen f. Når én runde varer ti sekunder, rekker karusellen en tidel av en runde på ett sekund. Generelt regner vi ut frekvensen som én runde delt på perioden:

$$f=\frac{1}{T}$$

Vi setter inn:

$$f=\frac{1}{10\mathrm{s}}=0,1{\mathrm{s}}^{-1}$$

Enheten «per sekund», altså $\frac{1}{\mathrm{s}}$, heter hertz og har symbolet Hz. Karusellen har frekvensen 0,1 Hz. Sammenhengen gjelder også omvendt, $T=\frac{1}{f}$: jo flere runder per sekund, desto kortere er én runde. Periode og frekvens forteller om det samme fra hver sin side: den ene oppgir sekunder per runde, den andre runder per sekund.

Sekundviseren går rundt tallskiven på et minutt, perioden er derfor T = 60 s og frekvensen $f=\frac{1}{60\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,017}\mathrm{Hz}$. Perioden til minuttviseren er en hel time, 3600 s. Det som sniker seg, har lang periode og liten frekvens, det som farer av gårde, har det omvendt.

Motorer og vaskemaskiner oppgir frekvensen i omdreininger per minutt. En vaskemaskin som sentrifugerer med 1200 omdr/min, dreier trommelen tolv hundre ganger i minuttet. Et minutt har seksti sekunder, så per sekund er det

$$f=\frac{1200\mathrm{omdr}}{60\mathrm{s}}=20\mathrm{omdr}/\mathrm{s}=20\mathrm{Hz}.$$

En omdreining er bare et tall, så omdreininger per sekund og hertz faller sammen. Én omdreining av trommelen varer

$$T=\frac{1}{f}=\frac{1}{20\mathrm{Hz}}=0,05\mathrm{s},$$

fem hundredeler av et sekund. Ikke rart at du bare ser klesvasken bak luka som en flekk.

Vinkel målt med bue

Karusellen dreier seg i løpet av en viss tid en bestemt vinkel. I grader kan vi måle den: en kvart omdreining er 90°, en hel omdreining 360°. Men fysikken måler heller vinkler i radianer, og snart ser vi hvorfor.

Se for deg en vinkel med toppunkt i sentrum av en sirkel. Vinkelbeina skjærer ut en bue med lengde s på sirkelen. På en større sirkel er buen for den samme vinkelen lengre, og det nøyaktig like mange ganger som radien er større: dobbelt så stor sirkel, dobbelt så lang bue. Forholdet mellom lengden av buen og radien avhenger derfor ikke av størrelsen på sirkelen, bare av vinkelen. Det er nettopp dette forholdet som gir størrelsen på vinkelen i radianer:

$$\phi =\frac{s}{r}$$

Vinkelen et legeme dreier seg på en sirkel, kaller vi dreievinkel og skriver med den greske bokstaven φ (fi). Én radian er vinkelen som har en bue like lang som radien. Tallet i radianer sier derfor hvor mange radier som går opp i buen.

Og hvor mange radianer er en hel omdreining? Buen er da hele omkretsen av sirkelen, altså 2π · r:

$$\phi =\frac{2\pi \cdot r}{r}=2\pi$$

Radien forkortet seg bort, som vi ventet. En hel omdreining er 2π radianer, omtrent 6,28:

$$360°=2\pi \mathrm{rad}$$

En halv omdreining er π rad = 180°, en kvart omdreining $\frac{\pi }{2}\mathrm{rad}=90°$. Én radian er $\frac{360°}{2\pi }\approx 57,3°$, så det går seks radianer og litt til på en hel sirkel.

Vi ser på hva som skjedde med enhetene. Lengden av buen og radien er i meter, og ved divisjonen forkortes meterne, $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}}=1$. Radian er derfor en dimensjonsløs enhet, egentlig bare et tall, akkurat som målestokken på et kart, også den er forholdet mellom to lengder. Symbolet rad minner bare om at tallet betyr en vinkel, og i utregninger kan vi både skrive det til og utelate det. Det kommer straks til nytte.

Vi går tilbake til karusellen. Den indre hesten, 2 m fra sentrum, flytter seg langs buen sin 3 m. Hvilken vinkel har den dreid seg? I formelen setter vi inn bue og radius:

$$\phi =\frac{s}{r}=\frac{3\mathrm{m}}{2\mathrm{m}}=1,5\mathrm{rad}$$

Radien går opp i buen halvannen gang. I grader er det 1,5 · 57,3° ≈ 86°, nesten en kvart omdreining.

Hvorfor ikke grader? Tallet 360 er en avtale vi har arvet fra de gamle babylonerne, mens radianen kommer rett fra sirkelen. Takket være det regnes lengden av buen ut helt enkelt, s = φ · r. Med grader ville en brøk $\frac{2\pi }{360}$ spøkt i formelen. I fysiske formler setter man derfor nesten alltid inn vinkler i radianer. Den som regner ut sinus eller cosinus til en slik vinkel på kalkulatoren, må bytte fra DEG til RAD. Den som vil vite mer om radianer, finner dem i artikkelen Radian.

Vinkelhastighet

Tempoet karusellen dreier i, uttrykker vinkelhastigheten ω (omega). Det er vinkelen den dreier seg per tidsenhet:

$$\omega =\frac{\phi }{t}$$

Vinkelen måler vi i radianer og tiden i sekunder, vinkelhastigheten måles derfor i rad/s. Ved jevn sirkelbevegelse dreier legemet seg like store vinkler på like lang tid, så vinkelhastigheten er konstant.

I løpet av en periode dreier karusellen seg en hel omdreining, 2π radianer. Derfor er

$$\omega =\frac{2\pi }{T}.$$

I formelen setter vi inn perioden til karusellen vår:

$$\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{10\mathrm{s}}=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 0,63\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Hvert sekund dreier karusellen seg litt mer enn en halv radian, altså omtrent 36°. Sekundviseren er med perioden 60 s seks ganger langsommere, $\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{60\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,105}\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Siden $\frac{1}{T}=f$, gjelder også ω = 2π · f. Trommelen i vaskemaskinen har vinkelhastigheten

$$\omega =2\pi \cdot 20\mathrm{Hz}=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 126\mathrm{rad}/\mathrm{s}.$$

Frekvens og vinkelhastighet blander du lett sammen, så pass på. Begge beskriver hvor fort karusellen dreier, bare i ulike enheter: frekvens i omdreininger per sekund, vinkelhastighet i radianer per sekund. En omdreining har 2π radianer, og derfor er vinkelhastigheten alltid et tall som er 2π ganger større enn frekvensen. Den som glemmer 2π, får 0,1 rad/s i stedet for 0,63 rad/s for karusellen. Radian er et bart tall, så både rad/s og Hz er etter forkortingen bare «per sekund». Vinkelhastigheten skriver vi likevel ikke i hertz, nettopp for at ingen skal forveksle den med frekvensen.

Ved konstant vinkelhastighet blir vinkelen som strekningen ved rettlinjet bevegelse med konstant fart, bare med vinkelhastighet i stedet for fart og vinkel i stedet for strekning. Fra $\omega =\frac{\phi }{t}$ får vi ved å multiplisere med tiden φ = ω · t. På 2,5 s dreier karusellen seg

$$\phi =\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2,5\mathrm{s}=\frac{\pi }{2}\mathrm{rad},$$

altså en kvart omdreining. En fjerdedel av perioden varer jo nettopp 2,5 s.

Det vesentlige ved vinkelhastigheten er at den er felles for hele karusellen. Hesten ved kanten og hesten ved sentrum går én gang rundt på de samme ti sekundene, hvert sekund den samme vinkelen.

Hvorfor kanten går fortere

På karusellen sitter to hester ved siden av hverandre, den indre 2 m fra sentrum og den ytre 4 m fra sentrum. De henger sammen som på én stang, og beskriver derfor den samme vinkelen på like lang tid. Men den ytre hesten går på en større sirkel og tilbakelegger derfor en dobbelt så lang bue på samme tid. Begge gjør like mange runder i løpet av turen, men runden til den ytre hesten er dobbelt så lang. Animasjonen viser det: strålen med begge hestene dreier seg som en helhet, vinkelen er felles, og det røde sporet vokser likevel dobbelt så fort som det blå.

Dobbelt så lang strekning på samme tid betyr dobbelt så stor fart. La oss regne den ut. I løpet av én runde tilbakelegger hesten hele omkretsen av sirkelen sin 2π · r, og det tar én periode T. Fart er strekning delt på tid:

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}$$

Pass på, r er avstanden fra sentrum, radien til sirkelen hesten går på, og ikke diameteren til hele karusellen. For den ytre hesten setter vi inn 4 m:

$$v=\frac{2\pi \cdot 4\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Det er omtrent 9 km/h, en solid joggetur. Den indre hesten:

$$v=\frac{2\pi \cdot 2\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Det er omtrent 4,5 km/h, vanlig gange. Den som står nøyaktig i sentrum, dreier seg på stedet og kommer ingen vei. Derfor slåss barna om hestene ytterst, det blåser jo mer der også. Den som setter seg nær sentrum, rir egentlig på en ponni.

Til farten kan vi også komme fra vinkelhastigheten. Fart er strekning per tid, $v=\frac{s}{t}$, og strekningen langs sirkelen er lengden av buen s = φ · r. Vi setter inn:

$$v=\frac{\phi \cdot r}{t}=\frac{\phi }{t}\cdot r$$

Brøken $\frac{\phi }{t}$ er vinkelhastigheten, så

$$v=\omega \cdot r.$$

Farten v kalles også banefart, for at den ikke skal forveksles med vinkelhastigheten. Ved samme vinkelhastighet vokser den proporsjonalt med avstanden fra sentrum. Vi kontrollerer det på den ytre hesten:

$$v=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 4\mathrm{m}=\frac{4\pi }{5}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Det stemmer. For den indre hesten får vi $\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2\mathrm{m}\approx 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$, nøyaktig halvparten. Se på enhetene: radian per sekund ganger meter gir meter per sekund, fordi radian er et bart tall og forsvinner sporløst fra resultatet. Hvis vi hadde satt inn vinkelen i grader, ville vi fått et meningsløst tall, for formelen s = φ · r gjelder bare for radianer.

Formelen kan også brukes motsatt vei. Eieren av karusellen vil at den ytre hesten skal gå 3 m/s. Hvor fort må karusellen dreie? Fra sammenhengen v = ω · r deler vi begge sider på radien:

$$\omega =\frac{v}{r}=\frac{3\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{m}}=0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Perioden får vi fra sammenhengen $\omega =\frac{2\pi }{T}$, det holder å bytte om perioden og vinkelhastigheten:

$$T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi \mathrm{rad}}{0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}}\approx 8,4\mathrm{s}$$

Én runde med karusellen må derfor vare omtrent åtte og et halvt sekund i stedet for ti. Den indre hesten går da med halv fart, 1,5 m/s.

Til det motsatte ytterpunktet tar vi fram klokker. Spissen av en minuttviser på 10 cm går rundt med perioden 3600 s, så

$$v=\frac{2\pi \cdot 0,1\mathrm{m}}{3600\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,000}17\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Det er omtrent en sjettedel av en millimeter i sekundet, så en snegle ville tatt den igjen. Bevegelsen til viseren ser vi derfor ikke med øyet, men etter fem minutter gjør vi det.

Til slutt går vi tilbake til vaskemaskinen. Trommelen har en radius på omtrent 25 cm, altså 0,25 m, og vinkelhastigheten 40π rad/s:

$$v=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 0,25\mathrm{m}=10\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 31,4\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Det er omtrent 113 km/h. En sokk som er presset mot veggen i trommelen, suser under sentrifugeringen med farten til en bil på motorveien, selv om maskinen står i baderommet.

Hesten på karusellen og sokken i trommelen går hele tiden like fort, og likevel peker hastighetspilen deres hele tiden en ny vei. Hvorfor en slik bevegelse er akselerert, hvor akselerasjonen peker og hvor stor den er, viser neste artikkel, Sentripetalakselerasjon.