Jævn cirkelbevægelse

En hest på en karrusel, spidsen af sekundviseren eller en lille sten, der sidder fast i dækmønstret (set fra bilen), bevæger sig rundt langs en cirkel. Hvis de samtidig holder det samme tempo hele tiden, taler vi om jævn cirkelbevægelse: banen er en cirkel, og farten ændrer sig ikke. På lige lange tidsrum gennemløber de lige lange buer.

Hastighedens retning ændrer sig derimod hele tiden, for pilen for hastigheden peger altid langs tangenten til cirklen. Bevægelsen er kun jævn med hensyn til farten. Hvordan beskriver vi den med tal?

På en ret linje var ét tal nok til at angive positionen, positionen på aksen. På en cirkel klarer vi os også med ét tal: med den vinkel, legemet er drejet siden starten. Vinkler følger os derfor på hvert eneste skridt.

Omløbstid og frekvens

Karrusellen på markedet sætter i gang og drejer derefter rundt i stadig samme tempo. Du stiller dig ved den med et stopur og måler, at din veninde på hesten suser forbi dig hvert tiende sekund. Tiden for ét omløb hedder omløbstid, den betegnes T og måles i sekunder:

$$T=10\mathrm{s}$$

Vi kan også spørge omvendt: Hvor mange omløb når karrusellen på ét sekund? Det er frekvensen f. Når ét omløb tager ti sekunder, når karrusellen på ét sekund en tiendedel omløb. Generelt finder vi frekvensen som ét omløb divideret med omløbstiden:

$$f=\frac{1}{T}$$

Vi sætter ind:

$$f=\frac{1}{10\mathrm{s}}=0,1{\mathrm{s}}^{-1}$$

Enheden »pr. sekund«, altså $\frac{1}{\mathrm{s}}$, hedder hertz og har symbolet Hz. Karrusellen har frekvensen 0,1 Hz. Sammenhængen gælder også omvendt, $T=\frac{1}{f}$: Jo flere omløb pr. sekund, desto kortere er ét omløb. Omløbstid og frekvens siger det samme fra hver sin side: Den ene angiver sekunder pr. omløb, den anden omløb pr. sekund.

Sekundviseren gennemløber urskiven på et minut, dens omløbstid er derfor T = 60 s og frekvensen $f=\frac{1}{60\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,017}\mathrm{Hz}$. Minutviserens omløbstid er en hel time, 3600 s. Det, der sniger sig af sted, har lang omløbstid og lille frekvens, det, der suser, har det omvendt.

Motorer og vaskemaskiner opgiver frekvensen i omdrejninger i minuttet. En vaskemaskine, der centrifugerer med 1200 omdr./min, drejer tromlen rundt tolv hundrede gange i minuttet. Et minut har tres sekunder, så pr. sekund er det

$$f=\frac{1200\mathrm{omdr}.}{60\mathrm{s}}=20\mathrm{omdr}./\mathrm{s}=20\mathrm{Hz}.$$

En omdrejning er blot et antal, så omdrejninger pr. sekund og hertz er det samme. Én omdrejning af tromlen varer

$$T=\frac{1}{f}=\frac{1}{20\mathrm{Hz}}=0,05\mathrm{s},$$

fem hundrededele sekund. Det er ikke så mærkeligt, at du bag lugen kun ser vasketøjet som en udtværet plamage.

Vinkel målt med buen

Karrusellen drejer sig i løbet af et tidsrum en bestemt vinkel. I grader kan vi måle den: en kvart omdrejning er 90°, en hel omdrejning 360°. Men i fysik måler man helst vinkler i radianer, og vi ser straks hvorfor.

Forestil dig en vinkel med toppunkt i cirklens centrum. Vinklens ben afskærer på cirklen en bue med længden s. På en større cirkel er buen for den samme vinkel længere, og det præcis lige så mange gange, som radius er større: en dobbelt så stor cirkel, en dobbelt så lang bue. Forholdet mellem buens længde og radius afhænger derfor ikke af cirklens størrelse, kun af vinklen. Netop dette forhold angiver vinklens størrelse i radianer:

$$\phi =\frac{s}{r}$$

Den vinkel, som et legeme på en cirkel drejer sig, kalder vi drejningsvinklen, og vi betegner den med det græske bogstav φ (fi). Én radian er den vinkel, hvis bue er lige så lang som radius. Tallet i radianer fortæller derfor, hvor mange radier der er plads til i buen.

Og hvor mange radianer er en hel omdrejning? Buen er så hele cirklens omkreds, altså 2π · r:

$$\phi =\frac{2\pi \cdot r}{r}=2\pi$$

Radius blev forkortet væk, som vi ventede. En hel omdrejning er 2π radianer, cirka 6,28:

$$360°=2\pi \mathrm{rad}$$

En halv omdrejning er π rad = 180°, en kvart omdrejning $\frac{\pi }{2}\mathrm{rad}=90°$. Én radian er $\frac{360°}{2\pi }\approx 57,3°$, så der er plads til seks radianer og lidt til i hele cirklen.

Lad os se på, hvad der skete med enhederne. Buens længde og radius er begge i meter, og ved divisionen forkortes meter væk, $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}}=1$. Radian er derfor en dimensionsløs enhed, i virkeligheden et rent tal, ligesom målestoksforholdet på et kort, det er også forholdet mellem to længder. Symbolet rad minder blot om, at tallet betyder en vinkel, og i beregninger må vi både skrive det med og udelade det. Det kommer os straks til gavn.

Lad os vende tilbage til karrusellen. Den indre hest, 2 m fra centrum, flytter sig langs sin bue 3 m. Hvilken vinkel har den drejet sig? Vi sætter buen og radius ind i formlen:

$$\phi =\frac{s}{r}=\frac{3\mathrm{m}}{2\mathrm{m}}=1,5\mathrm{rad}$$

Radius er der plads til halvanden gang i buen. I grader er det 1,5 · 57,3° ≈ 86°, næsten en kvart omdrejning.

Hvorfor ikke grader? Tallet 360 er en aftale, vi har arvet fra de gamle babylonier, mens radianen udspringer direkte af cirklen. Derfor kan buens længde beregnes helt enkelt, s = φ · r. Med grader ville der i den formel spøge en brøk $\frac{2\pi }{360}$. I fysikkens formler indsætter man derfor næsten altid vinkler i radianer. Den, der beregner sinus eller cosinus til sådan en vinkel på lommeregneren, må skifte den fra DEG til RAD. Den, der vil vide mere om radianer, finder dem i artiklen Buemål for vinkler.

Vinkelhastighed

Karrusellens omdrejningstempo udtrykkes ved vinkelhastigheden ω (omega). Det er den vinkel, den drejer sig pr. tidsenhed:

$$\omega =\frac{\phi }{t}$$

Vinklen måler vi i radianer og tiden i sekunder, vinkelhastigheden måles derfor i rad/s. Ved jævn cirkelbevægelse drejer legemet sig på lige lange tidsrum de samme vinkler, så vinkelhastigheden er konstant.

I løbet af én omløbstid drejer karrusellen sig en hel omdrejning, 2π radianer. Derfor er

$$\omega =\frac{2\pi }{T}.$$

I formlen sætter vi omløbstiden for vores karrusel ind:

$$\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{10\mathrm{s}}=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 0,63\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Hvert sekund drejer karrusellen sig lidt mere end en halv radian, altså cirka 36°. Sekundviseren er med omløbstiden 60 s seks gange langsommere, $\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{60\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,105}\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Da $\frac{1}{T}=f$, gælder også ω = 2π · f. Vaskemaskinens tromle har vinkelhastigheden

$$\omega =2\pi \cdot 20\mathrm{Hz}=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 126\mathrm{rad}/\mathrm{s}.$$

Frekvens og vinkelhastighed er lette at forveksle, så pas på. Begge beskriver, hvor hurtigt karrusellen drejer, bare i forskellige enheder: frekvensen i omdrejninger pr. sekund, vinkelhastigheden i radianer pr. sekund. En omdrejning er 2π radianer, og derfor er vinkelhastigheden altid 2π gange større end frekvensen. Den, der glemmer 2π, får for karrusellen 0,1 rad/s i stedet for 0,63 rad/s. Radian er et rent tal, så rad/s og Hz er efter forkortning begge blot »pr. sekund«. Alligevel skriver vi ikke vinkelhastigheden i hertz, netop for at ingen skal forveksle den med frekvensen.

Ved konstant vinkelhastighed fås vinklen ligesom strækningen ved jævn retlinet bevægelse, bare med vinkelhastighed i stedet for hastighed og vinkel i stedet for strækning. Af $\omega =\frac{\phi }{t}$ får vi ved multiplikation med tiden φ = ω · t. På 2,5 s drejer karrusellen sig

$$\phi =\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2,5\mathrm{s}=\frac{\pi }{2}\mathrm{rad},$$

altså en kvart omdrejning. En fjerdedel af omløbstiden varer jo netop 2,5 s.

Det væsentlige ved vinkelhastigheden er, at den er fælles for hele karrusellen. Hesten yderst og hesten nær midten drejer sig rundt på de samme ti sekunder, hvert sekund den samme vinkel.

Hvorfor kanten kører hurtigere

På karrusellen kører to heste ved siden af hinanden, den indre 2 m fra midten og den ydre 4 m fra midten. De kører sammen som på én stang, og derfor drejer de sig på samme tid den samme vinkel. Men den ydre hest kører på en større cirkel og tilbagelægger derfor på samme tid en dobbelt så lang bue. Begge gennemfører lige mange omgange på turen, men den ydre hests omgang er dobbelt så lang. Animationen viser det: Strålen med begge heste drejer rundt som en helhed, vinklen har de fælles, og alligevel vokser det røde spor dobbelt så hurtigt som det blå.

Dobbelt strækning på samme tid betyder dobbelt fart. Lad os regne den ud. På ét omløb tilbagelægger hesten hele omkredsen af sin cirkel 2π · r, og det tager den én omløbstid T. Fart er strækning divideret med tid:

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}$$

Bemærk, at r er afstanden fra midten, radius i den cirkel, hesten kører på, og ikke diameteren af hele karrusellen. For den ydre hest indsætter vi 4 m:

$$v=\frac{2\pi \cdot 4\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Det er cirka 9 km/h, et raskt løb. Den indre hest:

$$v=\frac{2\pi \cdot 2\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Det er cirka 4,5 km/h, almindelig gang. Den, der står lige i midten, drejer rundt på stedet og kører ingen steder. Derfor slås børnene om hestene yderst, der blæser jo også mere derude. Den, der sætter sig tæt på midten, sidder egentlig på en pony.

Man kan også nå frem til farten fra vinkelhastigheden. Fart er strækning pr. tid, $v=\frac{s}{t}$, og strækningen langs cirklen er buens længde s = φ · r. Vi sætter ind:

$$v=\frac{\phi \cdot r}{t}=\frac{\phi }{t}\cdot r$$

Brøken $\frac{\phi }{t}$ er vinkelhastigheden, så

$$v=\omega \cdot r.$$

Farten v kaldes her banefarten, så den ikke forveksles med vinkelhastigheden. Ved samme vinkelhastighed vokser den ligefrem proportionalt med afstanden fra midten. Vi kontrollerer det på den ydre hest:

$$v=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 4\mathrm{m}=\frac{4\pi }{5}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Det passer. For den indre hest får vi $\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2\mathrm{m}\approx 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$, præcis det halve. Se på enhederne: radian pr. sekund gange meter giver meter pr. sekund, for radian er et rent tal og forsvinder sporløst fra resultatet. Hvis vi havde indsat vinklen i grader, ville der være kommet et meningsløst tal ud, for formlen s = φ · r gælder kun for radianer.

Formlen kan også bruges den anden vej. Karrusellens ejer vil gerne have, at den ydre hest kører 3 m/s. Hvor hurtigt skal karrusellen dreje rundt? Af sammenhængen v = ω · r dividerer vi begge sider med radius:

$$\omega =\frac{v}{r}=\frac{3\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{m}}=0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Omløbstiden får vi af sammenhængen $\omega =\frac{2\pi }{T}$, vi skal bare bytte om på omløbstiden og vinkelhastigheden:

$$T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi \mathrm{rad}}{0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}}\approx 8,4\mathrm{s}$$

Ét omløb af karrusellen skal derfor vare cirka otte og et halvt sekund i stedet for ti. Den indre hest kører så med halv fart, 1,5 m/s.

Som den modsatte yderlighed tager vi et ur. Spidsen af en minutviser på 10 cm kredser med omløbstiden 3600 s, så

$$v=\frac{2\pi \cdot 0,1\mathrm{m}}{3600\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,000}17\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Det er cirka en sjettedel millimeter i sekundet, så en snegl ville overhale den. Viserens bevægelse kan vi derfor ikke se med øjet, men efter fem minutter kan vi.

Til sidst vender vi tilbage til vaskemaskinen. Tromlen har radius cirka 25 cm, altså 0,25 m, og vinkelhastigheden 40π rad/s:

$$v=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 0,25\mathrm{m}=10\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 31,4\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Det er cirka 113 km/h. En sok, der er presset op mod tromlens væg, suser under centrifugeringen af sted med en bils fart på motorvejen, selv om vaskemaskinen bliver stående på badeværelset.

Hesten på karrusellen og sokken i tromlen kører hele tiden lige hurtigt, og alligevel peger deres hastighedspil et nyt sted hen hvert øjeblik. Hvorfor sådan en bevægelse er accelereret, hvor accelerationen peger hen, og hvor stor den er, viser den næste artikel, Centripetalacceleration.