Gleichförmige Kreisbewegung

Das Pferdchen auf dem Karussell, die Spitze des Sekundenzeigers oder ein Steinchen, das im Profil eines Reifens steckt (vom Auto aus beobachtet), kreisen auf einer Kreisbahn. Wenn sie dabei ihr Tempo beibehalten, sprechen wir von einer gleichförmigen Kreisbewegung: Die Bahn ist ein Kreis, und der Betrag der Geschwindigkeit ändert sich nicht. In gleichen Zeiten werden gleich lange Bögen durchlaufen.

Die Richtung der Geschwindigkeit dagegen ändert sich ständig, denn der Pfeil der Geschwindigkeit zeigt immer in Richtung der Tangente an den Kreis. Die Bewegung ist nur im Betrag der Geschwindigkeit gleichförmig. Wie beschreiben wir sie mit Zahlen?

Auf einer Geraden genügte zur Bestimmung der Lage eine einzige Zahl, die Lage auf der Achse. Auf dem Kreis kommen wir ebenfalls mit einer Zahl aus: mit dem Winkel, um den sich der Körper seit dem Start gedreht hat. Winkel begleiten uns hier deshalb auf Schritt und Tritt.

Umlaufdauer und Frequenz

Ein Karussell auf dem Jahrmarkt fährt an und dreht sich dann mit gleichbleibendem Tempo. Du stellst dich mit der Stoppuhr daneben und misst, dass deine Freundin auf dem Pferdchen alle zehn Sekunden an dir vorbeifliegt. Die Dauer eines Umlaufs heißt Umlaufdauer, sie wird mit T bezeichnet und in Sekunden gemessen:

$$T=10\mathrm{s}$$

Wir können auch umgekehrt fragen: Wie viele Umläufe schafft das Karussell in einer Sekunde? Das ist die Frequenz f. Wenn ein Umlauf zehn Sekunden dauert, schafft das Karussell in einer Sekunde ein Zehntel Umlauf. Allgemein berechnen wir die Frequenz als einen Umlauf geteilt durch die Umlaufdauer:

$$f=\frac{1}{T}$$

Wir setzen ein:

$$f=\frac{1}{10\mathrm{s}}=0,1{\mathrm{s}}^{-1}$$

Die Einheit „pro Sekunde“, also $\frac{1}{\mathrm{s}}$, trägt den Namen Hertz und das Zeichen Hz. Das Karussell hat die Frequenz 0,1 Hz. Die Beziehung gilt auch umgekehrt, $T=\frac{1}{f}$: je mehr Umläufe pro Sekunde, desto kürzer ein Umlauf. Umlaufdauer und Frequenz sagen dasselbe von zwei Seiten aus: Die eine gibt die Sekunden pro Umlauf an, die andere die Umläufe pro Sekunde.

Der Sekundenzeiger umrundet das Zifferblatt in einer Minute, seine Umlaufdauer ist also T = 60 s und die Frequenz $f=\frac{1}{60\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,017}\mathrm{Hz}$. Die Umlaufdauer des Minutenzeigers ist eine ganze Stunde, 3.600 s. Was schleicht, hat eine lange Umlaufdauer und eine kleine Frequenz; was rast, hat es umgekehrt.

Motoren und Waschmaschinen geben die Frequenz in Umdrehungen pro Minute an. Eine Waschmaschine, die mit 1.200 U/min schleudert, dreht die Trommel zwölfhundertmal pro Minute. Eine Minute hat sechzig Sekunden, pro Sekunde sind das also

$$f=\frac{1.200\mathrm{U}}{60\mathrm{s}}=20\mathrm{U}/\mathrm{s}=20\mathrm{Hz}.$$

Eine Umdrehung ist eine bloße Anzahl, Umdrehungen pro Sekunde und Hertz fallen daher zusammen. Eine Umdrehung der Trommel dauert

$$T=\frac{1}{f}=\frac{1}{20\mathrm{Hz}}=0,05\mathrm{s},$$

fünf Hundertstelsekunden. Kein Wunder, dass du die Wäsche hinter dem Bullauge nur als Schlieren siehst.

Der Winkel, am Bogen gemessen

Das Karussell dreht sich in einer gewissen Zeit um einen bestimmten Winkel. In Grad können wir ihn messen: Eine Vierteldrehung sind 90°, eine ganze Drehung 360°. Die Physik misst Winkel aber lieber im Bogenmaß (in Radiant), und gleich siehst du, warum.

Stell dir einen Winkel mit dem Scheitel im Mittelpunkt eines Kreises vor. Seine Schenkel schneiden aus dem Kreis einen Bogen der Länge s heraus. Auf einem größeren Kreis ist der Bogen desselben Winkels länger, und zwar genau um denselben Faktor, um den der Radius größer ist: ein doppelt so großer Kreis, ein doppelt so langer Bogen. Das Verhältnis aus Bogenlänge und Radius hängt deshalb nicht von der Größe des Kreises ab, nur vom Winkel. Genau dieses Verhältnis gibt die Größe des Winkels im Bogenmaß an:

$$\phi =\frac{s}{r}$$

Den Winkel, um den sich der Körper auf dem Kreis dreht, nennen wir Drehwinkel und bezeichnen ihn mit dem griechischen Buchstaben φ (phi). Ein Radiant ist der Winkel, dessen Bogen genauso lang ist wie der Radius. Die Zahl im Bogenmaß sagt deshalb, wie viele Radien in den Bogen passen.

Und wie viel Radiant ist eine ganze Drehung? Der Bogen ist dann der ganze Umfang des Kreises, also 2π · r:

$$\phi =\frac{2\pi \cdot r}{r}=2\pi$$

Der Radius hat sich gekürzt, wie erwartet. Eine ganze Drehung hat 2π Radiant, etwa 6,28:

$$360°=2\pi \mathrm{rad}$$

Eine halbe Drehung ist π rad = 180°, eine Vierteldrehung $\frac{\pi }{2}\mathrm{rad}=90°$. Ein Radiant sind $\frac{360°}{2\pi }\approx 57,3°$, in einen ganzen Kreis passen also sechs Radiant und ein Stück.

Schauen wir, was mit den Einheiten passiert ist. Bogenlänge und Radius sind in Metern, und beim Teilen kürzen sich die Meter, $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}}=1$. Der Radiant ist deshalb eine dimensionslose Einheit, eigentlich eine bloße Zahl, genau wie der Maßstab einer Karte, auch er ist ein Verhältnis zweier Längen. Das Zeichen rad erinnert nur daran, dass die Zahl einen Winkel bedeutet, und in Rechnungen dürfen wir es hinschreiben oder weglassen. Das kommt uns gleich zugute.

Kehren wir zum Karussell zurück. Das innere Pferdchen, 2 m von der Mitte entfernt, bewegt sich auf seinem Bogen um 3 m weiter. Um welchen Winkel hat es sich gedreht? In die Formel setzen wir Bogen und Radius ein:

$$\phi =\frac{s}{r}=\frac{3\mathrm{m}}{2\mathrm{m}}=1,5\mathrm{rad}$$

Der Radius passt anderthalbmal in den Bogen. In Grad sind das 1,5 · 57,3° ≈ 86°, fast eine Vierteldrehung.

Warum nicht Grad? Die Zahl 360 ist eine Vereinbarung, die wir von den alten Babyloniern geerbt haben, der Radiant dagegen ergibt sich direkt aus dem Kreis. Dadurch lässt sich die Bogenlänge ganz einfach berechnen, s = φ · r. Mit Grad würde in dieser Formel der Bruch $\frac{2\pi }{360}$ spuken. In physikalischen Formeln setzt man Winkel deshalb fast immer im Bogenmaß ein. Wer Sinus oder Kosinus eines solchen Winkels auf dem Taschenrechner berechnet, muss ihn von DEG auf RAD umstellen. Wer mehr über den Radiant wissen will, findet es im Artikel Bogenmaß eines Winkels.

Winkelgeschwindigkeit

Das Tempo der Drehung des Karussells drückt die Winkelgeschwindigkeit ω (omega) aus. Das ist der Winkel, um den es sich pro Zeiteinheit dreht:

$$\omega =\frac{\phi }{t}$$

Den Winkel messen wir in Radiant und die Zeit in Sekunden, die Winkelgeschwindigkeit wird daher in rad/s gemessen. Bei der gleichförmigen Kreisbewegung dreht sich der Körper in gleich langen Zeiten um gleiche Winkel, die Winkelgeschwindigkeit ist also konstant.

In einer Umlaufdauer dreht sich das Karussell einmal ganz herum, um 2π Radiant. Deshalb gilt

$$\omega =\frac{2\pi }{T}.$$

In die Formel setzen wir die Umlaufdauer unseres Karussells ein:

$$\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{10\mathrm{s}}=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 0,63\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Jede Sekunde dreht sich das Karussell um etwas mehr als einen halben Radiant, also um etwa 36°. Der Sekundenzeiger ist bei der Umlaufdauer 60 s sechsmal langsamer, $\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{60\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,105}\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Weil $\frac{1}{T}=f$ ist, gilt auch ω = 2π · f. Die Trommel der Waschmaschine hat die Winkelgeschwindigkeit

$$\omega =2\pi \cdot 20\mathrm{Hz}=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 126\mathrm{rad}/\mathrm{s}.$$

Frequenz und Winkelgeschwindigkeit verwechselt man leicht, also gib Acht. Beide beschreiben, wie schnell sich das Karussell dreht, nur in verschiedenen Einheiten: die Frequenz in Umdrehungen pro Sekunde, die Winkelgeschwindigkeit in Radiant pro Sekunde. Eine Umdrehung hat 2π Radiant, und deshalb ist die Winkelgeschwindigkeit immer eine 2π-mal größere Zahl als die Frequenz. Wer das 2π vergisst, erhält für das Karussell 0,1 rad/s statt 0,63 rad/s. Der Radiant ist eine bloße Zahl, rad/s und Hz sind nach dem Kürzen also beide nur „pro Sekunde“. Die Winkelgeschwindigkeit schreiben wir trotzdem nicht in Hertz, damit sie niemand mit der Frequenz verwechselt.

Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit ergibt sich der Winkel wie der Weg bei der gleichförmigen geradlinigen Bewegung, nur mit der Winkelgeschwindigkeit statt der Geschwindigkeit und dem Winkel statt des Wegs. Aus $\omega =\frac{\phi }{t}$ erhalten wir durch Multiplikation mit der Zeit φ = ω · t. In 2,5 s dreht sich das Karussell um

$$\phi =\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2,5\mathrm{s}=\frac{\pi }{2}\mathrm{rad},$$

also um eine Vierteldrehung. Ein Viertel der Umlaufdauer dauert ja genau 2,5 s.

An der Winkelgeschwindigkeit ist wichtig, dass sie dem ganzen Karussell gemeinsam ist. Das Pferdchen am Rand und das Pferdchen nahe der Mitte drehen sich beide in denselben zehn Sekunden einmal herum, in jeder Sekunde um denselben Winkel.

Warum der Rand schneller fährt

Auf dem Karussell fahren nebeneinander zwei Pferdchen, das innere 2 m von der Mitte entfernt und das äußere 4 m von der Mitte. Sie fahren zusammen wie auf einer Stange und beschreiben deshalb in gleicher Zeit den gleichen Winkel. Das äußere Pferdchen fährt aber auf einem größeren Kreis und legt deshalb in derselben Zeit einen doppelt so langen Bogen zurück. Beide machen während der Fahrt gleich viele Runden, nur ist die Runde des äußeren Pferdchens doppelt so lang. Die Animation zeigt es: Der Strahl mit beiden Pferdchen dreht sich als Ganzes, den Winkel haben sie gemeinsam, und trotzdem wächst die rote Spur doppelt so schnell wie die blaue.

Der doppelte Weg in gleicher Zeit bedeutet die doppelte Geschwindigkeit. Rechnen wir sie aus. In einem Umlauf legt das Pferdchen den ganzen Umfang seines Kreises 2π · r zurück, und das dauert eine Umlaufdauer T. Die Geschwindigkeit ist Weg durch Zeit:

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}$$

Achtung, r ist der Abstand von der Mitte, der Radius des Kreises, auf dem das Pferdchen fährt, und nicht der Durchmesser des ganzen Karussells. Für das äußere Pferdchen setzen wir 4 m ein:

$$v=\frac{2\pi \cdot 4\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Das sind ungefähr 9 km/h, ein ordentlicher Dauerlauf. Das innere Pferdchen:

$$v=\frac{2\pi \cdot 2\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Das sind etwa 4,5 km/h, ein gewöhnliches Gehtempo. Wer genau in der Mitte steht, dreht sich auf der Stelle und fährt nirgendwohin. Deshalb streiten sich die Kinder um die Pferdchen am Rand, da weht ja auch mehr Wind. Wer sich nahe der Mitte hinsetzt, reitet eigentlich auf einem Pony.

Zur Geschwindigkeit kommt man auch von der Winkelgeschwindigkeit aus. Die Geschwindigkeit ist Weg durch Zeit, $v=\frac{s}{t}$, und der Weg auf dem Kreis ist die Bogenlänge s = φ · r. Wir setzen ein:

$$v=\frac{\phi \cdot r}{t}=\frac{\phi }{t}\cdot r$$

Der Bruch $\frac{\phi }{t}$ ist die Winkelgeschwindigkeit, also

$$v=\omega \cdot r.$$

Die Geschwindigkeit v nennt man zur Unterscheidung Bahngeschwindigkeit, damit man sie nicht mit der Winkelgeschwindigkeit verwechselt. Bei gleicher Winkelgeschwindigkeit wächst sie direkt proportional zum Abstand von der Mitte. Wir prüfen es am äußeren Pferdchen:

$$v=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 4\mathrm{m}=\frac{4\pi }{5}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Passt. Für das innere Pferdchen kommt $\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2\mathrm{m}\approx 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$ heraus, genau die Hälfte. Schau dir die Einheiten an: Radiant pro Sekunde mal Meter ergibt Meter pro Sekunde, weil der Radiant eine bloße Zahl ist und spurlos aus dem Ergebnis verschwindet. Würden wir den Winkel in Grad einsetzen, käme eine unsinnige Zahl heraus, denn die Formel s = φ · r gilt nur für das Bogenmaß.

Die Formel hilft auch in der Gegenrichtung. Der Besitzer des Karussells möchte, dass das äußere Pferdchen mit 3 m/s fährt. Wie schnell muss sich das Karussell drehen? Aus der Beziehung v = ω · r teilen wir beide Seiten durch den Radius:

$$\omega =\frac{v}{r}=\frac{3\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{m}}=0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Die Umlaufdauer erhalten wir aus der Beziehung $\omega =\frac{2\pi }{T}$, wir müssen darin nur Umlaufdauer und Winkelgeschwindigkeit vertauschen:

$$T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi \mathrm{rad}}{0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}}\approx 8,4\mathrm{s}$$

Ein Umlauf des Karussells muss also etwa achteinhalb Sekunden dauern statt zehn. Das innere Pferdchen fährt dann mit der halben Geschwindigkeit, 1,5 m/s.

Für das andere Extrem greifen wir zur Uhr. Die Spitze eines 10 cm langen Minutenzeigers läuft mit der Umlaufdauer 3.600 s um, also

$$v=\frac{2\pi \cdot 0,1\mathrm{m}}{3.600\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,000}17\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Das ist etwa ein Sechstel Millimeter pro Sekunde, eine Schnecke würde sie überholen. Die Bewegung des Zeigers sehen wir deshalb mit bloßem Auge nicht, nach fünf Minuten aber schon.

Zum Schluss kehren wir zur Waschmaschine zurück. Die Trommel hat einen Radius von etwa 25 cm, also 0,25 m, und die Winkelgeschwindigkeit 40π rad/s:

$$v=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 0,25\mathrm{m}=10\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 31,4\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Das sind etwa 113 km/h. Eine Socke, die beim Schleudern an der Trommelwand klebt, rast mit der Geschwindigkeit eines Autos auf der Autobahn, obwohl die Waschmaschine im Bad stehen bleibt.

Das Pferdchen auf dem Karussell und die Socke in der Trommel fahren immer gleich schnell, und doch zeigt ihr Geschwindigkeitspfeil jeden Augenblick woandershin. Warum eine solche Bewegung beschleunigt ist, wohin diese Beschleunigung zeigt und wie groß sie ist, zeigt der nächste Artikel, Zentripetalbeschleunigung.