Mouvement circulaire uniforme

Un cheval de bois sur un manège, la pointe de la trotteuse ou un petit caillou coincé dans la sculpture d’un pneu (vu depuis la voiture) décrivent un cercle. Tant qu’ils gardent la même allure, nous parlons de mouvement circulaire uniforme : la trajectoire est un cercle et la valeur de la vitesse ne change pas. En des durées égales, ils décrivent des arcs de même longueur.

La direction de la vitesse, en revanche, change sans cesse, car la flèche de la vitesse pointe toujours le long de la tangente au cercle. Le mouvement n’est uniforme que du point de vue de la valeur de la vitesse. Comment le décrire avec des nombres ?

Sur une droite, un seul nombre suffisait pour déterminer la position, la position sur l’axe. Sur un cercle, un seul nombre suffit aussi : l’angle dont le corps a tourné depuis le départ. Les angles nous accompagneront donc à chaque pas.

Période et fréquence

Un manège de fête foraine démarre et tourne ensuite toujours à la même allure. Tu te places près de lui avec un chronomètre et tu constates que ton amie sur son cheval de bois passe devant toi toutes les dix secondes. La durée d’un tour s’appelle la période, elle se note T et se mesure en secondes :

$$T=10\mathrm{s}$$

Nous pouvons aussi poser la question inverse : combien de tours le manège fait-il en une seconde ? C’est la fréquence f. Quand un tour dure dix secondes, le manège fait un dixième de tour en une seconde. En général, nous calculons la fréquence comme un tour divisé par la période :

$$f=\frac{1}{T}$$

Nous remplaçons :

$$f=\frac{1}{10\mathrm{s}}=0,1{\mathrm{s}}^{-1}$$

L’unité « par seconde », donc $\frac{1}{\mathrm{s}}$, porte le nom de hertz et le symbole Hz. Le manège a une fréquence de 0,1 Hz. La relation vaut aussi dans l’autre sens, $T=\frac{1}{f}$ : plus il y a de tours par seconde, plus un tour est court. La période et la fréquence disent la même chose vue de deux côtés opposés : l’une donne les secondes par tour, l’autre les tours par seconde.

La trotteuse fait le tour du cadran en une minute, sa période est donc T = 60 s et sa fréquence $f=\frac{1}{60\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,017}\mathrm{Hz}$. La période de l’aiguille des minutes est une heure entière, 3 600 s. Ce qui traîne a une longue période et une faible fréquence ; ce qui file, c’est l’inverse.

Les moteurs et les machines à laver indiquent la fréquence en tours par minute. Une machine à laver qui essore à 1 200 tr/min fait tourner son tambour douze cents fois par minute. Une minute compte soixante secondes, donc par seconde cela fait

$$f=\frac{1200\mathrm{tr}}{60\mathrm{s}}=20\mathrm{tr}/\mathrm{s}=20\mathrm{Hz}.$$

Un tour est un simple nombre, les tours par seconde et les hertz se confondent donc. Un tour du tambour dure

$$T=\frac{1}{f}=\frac{1}{20\mathrm{Hz}}=0,05\mathrm{s},$$

cinq centièmes de seconde. Rien d’étonnant à ce que tu ne voies le linge derrière le hublot que comme une tache floue.

L’angle mesuré par un arc

Au bout d’un certain temps, le manège a tourné d’un certain angle. En degrés, nous savons le mesurer : un quart de tour fait 90°, un tour entier 360°. Mais la physique préfère mesurer les angles en radians, et nous verrons tout de suite pourquoi.

Imagine un angle dont le sommet est au centre du cercle. Ses côtés découpent sur le cercle un arc de longueur d. Sur un cercle plus grand, l’arc du même angle est plus long, exactement autant de fois que le rayon est plus grand : un cercle deux fois plus grand, un arc deux fois plus long. Le quotient de la longueur de l’arc par le rayon ne dépend donc pas de la taille du cercle, seulement de l’angle. C’est justement ce quotient qui donne la mesure de l’angle en radians :

$$\phi =\frac{d}{r}$$

L’angle dont un corps a tourné sur le cercle, nous l’appelons l’angle parcouru et nous le notons par la lettre grecque φ (phi). Un radian est l’angle dont l’arc a la même longueur que le rayon. Le nombre en radians dit donc combien de rayons tiennent dans l’arc.

Et combien de radians fait un tour entier ? L’arc est alors tout le périmètre du cercle, donc 2π · r :

$$\phi =\frac{2\pi \cdot r}{r}=2\pi$$

Le rayon s’est simplifié, comme nous nous y attendions. Un tour entier fait 2π radians, environ 6,28 :

$$360°=2\pi \mathrm{rad}$$

Un demi-tour fait π rad = 180°, un quart de tour $\frac{\pi }{2}\mathrm{rad}=90°$. Un radian fait $\frac{360°}{2\pi }\approx 57,3°$, donc un tour complet contient six radians et un petit peu plus.

Regardons ce qui est arrivé aux unités. La longueur de l’arc et le rayon sont en mètres et, dans la division, les mètres se simplifient, $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}}=1$. Le radian est donc une unité sans dimension, en fait un simple nombre, tout comme l’échelle d’une carte, qui est aussi le quotient de deux longueurs. Le symbole rad rappelle seulement que ce nombre désigne un angle, et dans les calculs nous pouvons aussi bien l’écrire que l’omettre. Cela va nous être utile tout de suite.

Revenons au manège. Le cheval de bois intérieur, à 2 m du centre, avance de 3 m sur son arc. De quel angle a-t-il tourné ? Nous remplaçons dans la formule l’arc et le rayon :

$$\phi =\frac{d}{r}=\frac{3\mathrm{m}}{2\mathrm{m}}=1,5\mathrm{rad}$$

Le rayon tient une fois et demie dans l’arc. En degrés, cela fait 1,5 · 57,3° ≈ 86°, presque un quart de tour.

Pourquoi pas les degrés ? Le nombre 360 est une convention héritée des anciens Babyloniens, tandis que le radian vient directement du cercle. Grâce à lui, la longueur de l’arc se calcule tout simplement, d = φ · r. Avec des degrés, la fraction $\frac{2\pi }{360}$ hanterait cette formule. Dans les formules de physique, les angles s’expriment donc presque toujours en radians. Celui qui calcule le sinus ou le cosinus d’un tel angle sur une calculatrice doit la faire passer du mode DEG au mode RAD. Celui qui veut en savoir plus sur les radians les trouvera dans l’article Radian.

La vitesse angulaire

L’allure de rotation du manège s’exprime par la vitesse angulaire ω (oméga). C’est l’angle dont il tourne par unité de temps :

$$\omega =\frac{\phi }{t}$$

Nous mesurons l’angle en radians et le temps en secondes, la vitesse angulaire se mesure donc en rad/s. Dans un mouvement circulaire uniforme, le corps tourne d’angles égaux en des durées égales, la vitesse angulaire est donc constante.

En une période, le manège tourne d’un tour entier, de 2π radians. C’est pourquoi

$$\omega =\frac{2\pi }{T}.$$

Mettons dans la formule la période de notre manège :

$$\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{10\mathrm{s}}=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 0,63\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

À chaque seconde, le manège tourne d’un peu plus d’un demi-radian, donc d’environ 36°. Avec une période de 60 s, la trotteuse est six fois plus lente, $\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{60\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,105}\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Comme $\frac{1}{T}=f$, on a aussi ω = 2π · f. Le tambour de la machine à laver a pour vitesse angulaire

$$\omega =2\pi \cdot 20\mathrm{Hz}=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 126\mathrm{rad}/\mathrm{s}.$$

Il est facile de confondre la fréquence et la vitesse angulaire, fais donc attention. Toutes deux décrivent à quelle vitesse le manège tourne, seulement dans des unités différentes : la fréquence en tours par seconde, la vitesse angulaire en radians par seconde. Un tour fait 2π radians, et c’est pourquoi la vitesse angulaire est toujours un nombre 2π fois plus grand que la fréquence. Celui qui oublie 2π obtient pour le manège 0,1 rad/s au lieu de 0,63 rad/s. Le radian est un simple nombre, donc rad/s et Hz ne sont, après simplification, tous deux que « par seconde ». Nous n’écrivons pourtant pas la vitesse angulaire en hertz, justement pour que personne ne la confonde avec la fréquence.

À vitesse angulaire constante, l’angle s’obtient comme la distance dans un mouvement rectiligne uniforme, seulement avec la vitesse angulaire à la place de la vitesse et l’angle à la place de la distance. De $\omega =\frac{\phi }{t}$, en multipliant par le temps, nous obtenons φ = ω · t. En 2,5 s, le manège tourne de

$$\phi =\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2,5\mathrm{s}=\frac{\pi }{2}\mathrm{rad},$$

donc d’un quart de tour. Un quart de période dure d’ailleurs justement 2,5 s.

Ce qui compte, avec la vitesse angulaire, c’est qu’elle est commune à tout le manège. Le cheval de bois du bord et celui du centre font un tour dans les mêmes dix secondes et tournent à chaque seconde du même angle.

Pourquoi le bord va plus vite

Sur le manège, deux chevaux de bois avancent côte à côte, l’un à l’intérieur à 2 m du centre, l’autre à l’extérieur à 4 m du centre. Ils tournent ensemble comme sur une même barre, et c’est pourquoi ils décrivent le même angle en un même temps. Mais le cheval extérieur suit un plus grand cercle, et parcourt donc dans la même durée un arc deux fois plus long. Les deux font pendant le trajet le même nombre de tours, seulement le tour du cheval extérieur est deux fois plus long. L’animation le montre : le rayon qui porte les deux chevaux tourne d’un bloc, ils ont l’angle en commun et la trace rouge croît pourtant deux fois plus vite que la bleue.

En un même temps, une distance double signifie une vitesse double. Calculons-la. En un tour, le cheval parcourt tout le périmètre de son cercle 2π · r et cela lui prend une période T. La vitesse est la distance divisée par le temps :

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}$$

Attention, r est la distance au centre, le rayon du cercle que suit le cheval, et non le diamètre de tout le manège. Pour le cheval extérieur, nous remplaçons par 4 m :

$$v=\frac{2\pi \cdot 4\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

C’est à peu près 9 km/h, un bon petit trot. Le cheval intérieur :

$$v=\frac{2\pi \cdot 2\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

C’est environ 4,5 km/h, une marche ordinaire. Celui qui se tient exactement au centre tourne sur place et ne va nulle part. C’est pourquoi les enfants se disputent les chevaux du bord, et puis il y a plus de vent là-bas. Celui qui s’assoit près du centre est en réalité sur un poney.

On peut aussi arriver à la vitesse à partir de la vitesse angulaire. La vitesse est la distance divisée par le temps, $v=\frac{d}{t}$, et la distance sur un cercle est la longueur d’arc d = φ · r. Nous remplaçons :

$$v=\frac{\phi \cdot r}{t}=\frac{\phi }{t}\cdot r$$

La fraction $\frac{\phi }{t}$ est la vitesse angulaire, donc

$$v=\omega \cdot r.$$

On appelle cette vitesse v la vitesse linéaire, pour qu’on ne la confonde pas avec la vitesse angulaire. À vitesse angulaire égale, elle croît proportionnellement à la distance au centre. Vérifions-le sur le cheval extérieur :

$$v=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 4\mathrm{m}=\frac{4\pi }{5}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Ça concorde. Pour le cheval intérieur, on trouve $\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2\mathrm{m}\approx 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$, exactement la moitié. Regarde les unités : des radians par seconde fois des mètres donnent des mètres par seconde, car le radian est un simple nombre et disparaît du résultat sans laisser de trace. Si nous remplacions l’angle en degrés, nous obtiendrions un nombre absurde, car la formule d = φ · r ne vaut que pour les radians.

La formule sert aussi dans l’autre sens. Le propriétaire du manège voudrait que le cheval extérieur aille à 3 m/s. À quelle vitesse le manège doit-il tourner ? Dans la relation v = ω · r, nous divisons les deux côtés par le rayon :

$$\omega =\frac{v}{r}=\frac{3\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{m}}=0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Nous obtenons la période à partir de la relation $\omega =\frac{2\pi }{T}$, il suffit d’y échanger la période et la vitesse angulaire :

$$T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi \mathrm{rad}}{0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}}\approx 8,4\mathrm{s}$$

Un tour du manège doit donc durer environ huit secondes et demie au lieu de dix. Le cheval intérieur ira alors deux fois moins vite, 1,5 m/s.

Pour l’extrême opposé, prenons une horloge. La pointe de l’aiguille des minutes longue de 10 cm tourne avec la période 3 600 s, donc

$$v=\frac{2\pi \cdot 0,1\mathrm{m}}{3600\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,000}17\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

C’est environ un sixième de millimètre par seconde, un escargot la dépasserait. Nous ne voyons donc pas le mouvement de l’aiguille à l’œil nu, mais au bout de cinq minutes si.

Pour finir, revenons à la machine à laver. Le tambour a un rayon d’environ 25 cm, donc 0,25 m, et une vitesse angulaire 40π rad/s :

$$v=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 0,25\mathrm{m}=10\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 31,4\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

C’est environ 113 km/h. Une chaussette plaquée contre la paroi du tambour file pendant l’essorage à la vitesse d’une voiture sur l’autoroute, même si la machine reste en place dans la salle de bains.

Le cheval de bois du manège et la chaussette dans le tambour vont toujours aussi vite, et pourtant leur flèche de vitesse pointe à chaque instant ailleurs. Pourquoi un tel mouvement est accéléré, vers où cette accélération est dirigée et quelle est sa valeur, c’est ce que montrera l’article suivant, Accélération centripète.