Likformig cirkelrörelse

Hästen på karusellen, spetsen på sekundvisaren och en liten sten som fastnat i däckets mönster (sedd från bilen) rör sig i en cirkel. Om de hela tiden håller samma tempo talar vi om likformig cirkelrörelse: banan är en cirkel och hastighetens storlek ändras inte. På lika långa tider tillryggalägger de lika långa bågar.

Hastighetens riktning ändras däremot hela tiden, eftersom hastighetspilen alltid pekar längs en tangent till cirkeln. Rörelsen är alltså likformig bara när det gäller hastighetens storlek. Hur beskriver vi den med tal?

På en rät linje räckte ett enda tal för att bestämma läget, läget på axeln. På en cirkel klarar vi oss också med ett tal: vinkeln som kroppen har vridit sig från starten. Vinklar följer oss därför hela vägen.

Period och frekvens

Karusellen på tivolit sätter fart och snurrar sedan med jämnt tempo. Du ställer dig bredvid den med ett stoppur och mäter att din kompis på hästen susar förbi dig var tionde sekund. Tiden för ett varv kallas period, betecknas T och mäts i sekunder:

$$T=10\mathrm{s}$$

Vi kan också fråga tvärtom: hur många varv hinner karusellen med på en sekund? Det är frekvensen f. Om ett varv tar tio sekunder hinner karusellen en tiondels varv på en sekund. Allmänt räknar vi ut frekvensen som ett varv delat med perioden:

$$f=\frac{1}{T}$$

Vi sätter in:

$$f=\frac{1}{10\mathrm{s}}=0,1{\mathrm{s}}^{-1}$$

Enheten ”per sekund”, alltså $\frac{1}{\mathrm{s}}$, heter hertz och har beteckningen Hz. Karusellen har frekvensen 0,1 Hz. Sambandet gäller också åt andra hållet, $T=\frac{1}{f}$: ju fler varv per sekund, desto kortare tid tar ett varv. Period och frekvens säger samma sak sett från två håll: den ena anger sekunder per varv, den andra varv per sekund.

Sekundvisaren går ett varv runt urtavlan på en minut, så dess period är T = 60 s och dess frekvens $f=\frac{1}{60\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,017}\mathrm{Hz}$. Minutvisarens period är en hel timme, 3600 s. Det som släpar sig fram har lång period och låg frekvens, för det som rusar är det tvärtom.

Motorer och tvättmaskiner anger frekvensen i varv per minut. En tvättmaskin som centrifugerar med 1200 varv/min snurrar trumman 1200 gånger per minut. En minut har sextio sekunder, så per sekund blir det

$$f=\frac{1200\mathrm{varv}}{60\mathrm{s}}=20\mathrm{varv}/\mathrm{s}=20\mathrm{Hz}.$$

Ett varv är bara ett antal, så varv per sekund och hertz sammanfaller. Ett varv av trumman tar

$$T=\frac{1}{f}=\frac{1}{20\mathrm{Hz}}=0,05\mathrm{s},$$

fem hundradels sekund. Det är inte konstigt att tvätten bakom luckan bara ser ut som en suddig fläck.

Vinkel mätt med bågen

Karusellen vrider sig under en viss tid en viss vinkel. I grader kan vi mäta den: ett kvarts varv är 90°, ett helt varv 360°. Men inom fysiken mäter man hellre vinklar i radianer, och snart ser vi varför.

Föreställ dig en vinkel med spetsen i cirkelns medelpunkt. Dess vinkelben skär ut en cirkelbåge med längden s. På en större cirkel är bågen för samma vinkel längre, och det exakt lika många gånger som radien är större: en dubbelt så stor cirkel ger en dubbelt så lång båge. Kvoten mellan bågens längd och radien beror därför inte på cirkelns storlek, bara på vinkeln. Just den kvoten anger vinkelns storlek i radianer:

$$\phi =\frac{s}{r}$$

Vinkeln som en kropp vrider sig på cirkeln kallar vi vridningsvinkel och betecknar den med den grekiska bokstaven φ (fi). En radian är den vinkel vars båge är lika lång som radien. Talet i radianer säger därför hur många radier som ryms i bågen.

Och hur många radianer är ett helt varv? Då är bågen hela cirkelns omkrets, alltså 2π · r:

$$\phi =\frac{2\pi \cdot r}{r}=2\pi$$

Radien förkortas bort, som vi väntade oss. Ett helt varv är 2π radianer, ungefär 6,28:

$$360°=2\pi \mathrm{rad}$$

Ett halvt varv är π rad = 180°, ett kvarts varv $\frac{\pi }{2}\mathrm{rad}=90°$. En radian är $\frac{360°}{2\pi }\approx 57,3°$, så i en hel cirkel ryms sex radianer och lite till.

Titta på vad som hände med enheterna. Bågens längd och radien är båda i meter, och vid divisionen förkortas metrarna bort, $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}}=1$. Radianen är därför en dimensionslös enhet, egentligen bara ett tal, precis som kartskalan, som också är en kvot av två längder. Beteckningen rad påminner bara om att talet betyder en vinkel, och vi får både skriva dit den och utelämna den i beräkningar. Det får vi nytta av direkt.

Vi går tillbaka till karusellen. Den inre hästen, 2 m från mitten, förflyttar sig 3 m längs sin båge. Hur stor vinkel har den vridit sig? Vi sätter in bågen och radien i formeln:

$$\phi =\frac{s}{r}=\frac{3\mathrm{m}}{2\mathrm{m}}=1,5\mathrm{rad}$$

Radien ryms en och en halv gång i bågen. I grader är det 1,5 · 57,3° ≈ 86°, nästan ett kvarts varv.

Varför inte grader? Talet 360 är en överenskommelse som vi har ärvt av de gamla babylonierna, medan radianen följer direkt av cirkeln. Därför blir bågens längd mycket enkel att räkna ut, s = φ · r. Med grader skulle bråket $\frac{2\pi }{360}$ spöka i formeln. I fysikaliska formler sätter man därför nästan alltid in vinklar i radianer. Den som beräknar sinus eller cosinus för en sådan vinkel på miniräknaren måste ställa om den från DEG till RAD. Mer om radianer finns i artikeln Radianer och bågmått.

Vinkelhastighet

Karusellens vridningstempo uttrycks av vinkelhastigheten ω (omega). Det är den vinkel som kroppen vrider sig per tidsenhet:

$$\omega =\frac{\phi }{t}$$

Vinkeln mäter vi i radianer och tiden i sekunder, så vinkelhastigheten mäts i rad/s. Vid likformig cirkelrörelse vrider sig kroppen lika stora vinklar på lika långa tider, så vinkelhastigheten är konstant.

På en period vrider sig karusellen ett helt varv, 2π radianer. Därför är

$$\omega =\frac{2\pi }{T}.$$

I formeln sätter vi in vår karusells period:

$$\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{10\mathrm{s}}=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 0,63\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Varje sekund vrider sig karusellen lite mer än en halv radian, alltså ungefär 36°. Sekundvisaren har perioden 60 s och är sex gånger långsammare, $\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{60\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,105}\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Eftersom $\frac{1}{T}=f$ gäller också ω = 2π · f. Tvättmaskinens trumma har vinkelhastigheten

$$\omega =2\pi \cdot 20\mathrm{Hz}=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 126\mathrm{rad}/\mathrm{s}.$$

Frekvens och vinkelhastighet är lätta att blanda ihop, så se upp. Båda beskriver hur snabbt karusellen snurrar, bara i olika enheter: frekvensen i varv per sekund, vinkelhastigheten i radianer per sekund. Ett varv är 2π radianer, och därför är vinkelhastighetens tal alltid 2π gånger större än frekvensens. Den som glömmer 2π får 0,1 rad/s i stället för 0,63 rad/s för karusellen. Radianen är ett rent tal, så både rad/s och Hz är efter förkortning bara ”per sekund”. Vinkelhastigheten skriver vi ändå inte i hertz, just för att ingen ska förväxla den med frekvensen.

Vid konstant vinkelhastighet fås vinkeln på samma sätt som sträckan vid likformig rätlinjig rörelse, bara med vinkelhastighet i stället för hastighet och vinkel i stället för sträcka. Av $\omega =\frac{\phi }{t}$ får vi genom multiplikation med tiden φ = ω · t. På 2,5 s vrider sig karusellen

$$\phi =\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2,5\mathrm{s}=\frac{\pi }{2}\mathrm{rad},$$

alltså ett kvarts varv. En fjärdedels period tar för övrigt just 2,5 s.

Det viktiga med vinkelhastigheten är att den är gemensam för hela karusellen. Hästen vid kanten och hästen vid mitten går ett varv runt på samma tio sekunder, och varje sekund vrider de sig lika stor vinkel.

Därför rör sig kanten snabbare

På karusellen går två hästar bredvid varandra, den inre 2 m från mitten och den yttre 4 m från mitten. De sitter som på samma stång och vrider sig därför lika stor vinkel på samma tid. Den yttre hästen rör sig dock längs en större cirkel och tillryggalägger därför på samma tid en dubbelt så lång båge. Båda hinner lika många varv under åkturen, men den yttre hästens varv är dubbelt så långt. Animationen visar det: strålen med båda hästarna vrids som en helhet, vinkeln är gemensam och ändå växer det röda spåret dubbelt så snabbt som det blå.

Dubbel sträcka på samma tid betyder dubbel hastighet. Vi räknar ut den. På ett varv tillryggalägger hästen hela cirkelns omkrets 2π · r och det tar en period T. Hastighet är sträcka genom tid:

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}$$

Se upp, r är avståndet från mitten, radien på den cirkel som hästen följer, och inte diametern på hela karusellen. För den yttre hästen sätter vi in 4 m:

$$v=\frac{2\pi \cdot 4\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Det är ungefär 9 km/h, ett hyggligt joggingtempo. Den inre hästen:

$$v=\frac{2\pi \cdot 2\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Det är ungefär 4,5 km/h, vanlig promenadfart. Den som står precis i mitten snurrar på stället och åker ingenstans. Därför slåss barnen om hästarna ytterst, och det blåser ju mer där också. Den som sätter sig nära mitten rider egentligen på en ponny.

Man kan också komma fram till hastigheten via vinkelhastigheten. Hastighet är sträcka per tid, $v=\frac{s}{t}$, och sträckan längs cirkeln är bågens längd s = φ · r. Vi sätter in:

$$v=\frac{\phi \cdot r}{t}=\frac{\phi }{t}\cdot r$$

Bråket $\frac{\phi }{t}$ är vinkelhastigheten, så

$$v=\omega \cdot r.$$

Hastigheten v kallas också banhastighet, så att den inte förväxlas med vinkelhastigheten. Vid samma vinkelhastighet växer den proportionellt mot avståndet från mitten. Vi kontrollerar det för den yttre hästen:

$$v=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 4\mathrm{m}=\frac{4\pi }{5}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Det stämmer. För den inre hästen blir det $\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2\mathrm{m}\approx 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$, precis hälften. Titta på enheterna: radian per sekund gånger meter ger meter per sekund, eftersom radianen är ett rent tal och försvinner spårlöst ur resultatet. Om vi satte in vinkeln i grader skulle vi få ett orimligt tal, eftersom formeln s = φ · r bara gäller för radianer.

Formeln fungerar också åt andra hållet. Karusellägaren vill att den yttre hästen ska röra sig med 3 m/s. Hur fort måste karusellen snurra? Ur sambandet v = ω · r dividerar vi båda leden med radien:

$$\omega =\frac{v}{r}=\frac{3\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{m}}=0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Perioden får vi ur sambandet $\omega =\frac{2\pi }{T}$, vi byter bara plats på perioden och vinkelhastigheten:

$$T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi \mathrm{rad}}{0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}}\approx 8,4\mathrm{s}$$

Ett varv av karusellen ska alltså ta ungefär åtta och en halv sekund i stället för tio. Den inre hästen går då med halva hastigheten, 1,5 m/s.

För den motsatta ytterligheten tar vi fram klockan. Spetsen på en minutvisare som är 10 cm lång går runt med perioden 3600 s, så

$$v=\frac{2\pi \cdot 0,1\mathrm{m}}{3600\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,000}17\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Det är ungefär en sjättedels millimeter per sekund, så en snigel skulle köra om den. Visarens rörelse ser vi därför inte med blotta ögat, men efter fem minuter gör vi det.

Till sist går vi tillbaka till tvättmaskinen. Trumman har radien ungefär 25 cm, alltså 0,25 m, och vinkelhastigheten 40π rad/s:

$$v=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 0,25\mathrm{m}=10\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 31,4\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Det är ungefär 113 km/h. En strumpa som trycks mot trummans vägg susar vid centrifugeringen fram med en motorvägsbils fart, trots att tvättmaskinen står kvar i badrummet.

Hästen på karusellen och strumpan i trumman rör sig hela tiden med samma fart, och ändå pekar deras hastighetspil hela tiden åt ett nytt håll. Varför en sådan rörelse är accelererad, vart accelerationen pekar och hur stor den är visar nästa artikel, Centripetalacceleration.