Movimento circular uniforme

O cavalinho do carrossel, a ponta do ponteiro dos segundos ou uma pedrinha presa no sulco de um pneu (observada de dentro do carro) giram em uma circunferência. Se, enquanto isso, mantêm sempre o mesmo ritmo, falamos de movimento circular uniforme: a trajetória é uma circunferência e o módulo da velocidade não muda. Em tempos iguais, eles descrevem arcos de mesmo comprimento.

A direção da velocidade, ao contrário, muda o tempo todo, porque a seta da velocidade aponta sempre ao longo da tangente à circunferência. O movimento é uniforme só quanto ao módulo da velocidade. Como descrevê-lo com números?

Numa reta, para determinar a posição bastava um único número, a posição no eixo. Na circunferência também basta um só número: o ângulo que o corpo descreveu desde a largada. Os ângulos, por isso, nos acompanharão a cada passo.

Período e frequência

O carrossel do parque de diversões arranca e depois gira sempre no mesmo ritmo. Você se coloca ao lado dele com um cronômetro e mede que a sua amiga, no cavalinho, passa por você a cada dez segundos. O tempo de uma volta se chama período, se indica por T e se mede em segundos:

$$T=10\mathrm{s}$$

Podemos perguntar também ao contrário: quantas voltas o carrossel completa em um segundo. Essa é a frequência f. Quando uma volta dura dez segundos, em um segundo o carrossel completa um décimo de volta. Em geral, calculamos a frequência como uma volta dividida pelo período:

$$f=\frac{1}{T}$$

Substituímos:

$$f=\frac{1}{10\mathrm{s}}=0,1{\mathrm{s}}^{-1}$$

A unidade “por segundo”, isto é, $\frac{1}{\mathrm{s}}$, tem o nome de hertz e o símbolo Hz. O carrossel tem frequência de 0,1 Hz. A relação vale também ao contrário, $T=\frac{1}{f}$: quanto mais voltas por segundo, mais curta é uma volta. O período e a frequência dizem a mesma coisa por lados opostos: um indica os segundos por volta, a outra as voltas por segundo.

O ponteiro dos segundos percorre o mostrador em um minuto, o seu período é, por isso, T = 60 s e a frequência $f=\frac{1}{60\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,017}\mathrm{Hz}$. O período do ponteiro dos minutos é uma hora inteira, 3.600 s. O que se arrasta tem período longo e frequência pequena; o que corre tem o contrário.

Motores e máquinas de lavar indicam a frequência em rotações por minuto. Uma máquina de lavar que centrifuga a 1.200 rpm gira o tambor mil e duzentas vezes por minuto. O minuto tem sessenta segundos, então por segundo são

$$f=\frac{1.200\mathrm{voltas}}{60\mathrm{s}}=20\mathrm{rps}=20\mathrm{Hz}.$$

A volta é um mero número, então voltas por segundo e hertz coincidem. Uma volta do tambor dura

$$T=\frac{1}{f}=\frac{1}{20\mathrm{Hz}}=0,05\mathrm{s},$$

cinco centésimos de segundo. Não admira que você veja a roupa atrás da janelinha só como um borrão.

Ângulo medido por um arco

Em certo tempo, o carrossel gira um certo ângulo. Sabemos medi-lo em graus: um quarto de volta são 90°, a volta inteira 360°. Mas a física prefere medir os ângulos em radianos, e já veremos por quê.

Imagine um ângulo com vértice no centro da circunferência. Os lados dele delimitam na circunferência um arco de comprimento s. Numa circunferência maior o arco do mesmo ângulo é mais longo, e exatamente tantas vezes quantas o raio é maior: uma circunferência duas vezes maior, um arco duas vezes mais longo. A razão entre o comprimento do arco e o raio, por isso, não depende do tamanho da circunferência, só do ângulo. É justamente essa razão que indica a medida do ângulo em radianos:

$$\phi =\frac{s}{r}$$

Chamamos de ângulo descrito (ou deslocamento angular) o ângulo que o corpo gira na circunferência e o indicamos com a letra grega φ (fi). Um radiano é o ângulo cujo arco tem o mesmo comprimento que o raio. O número em radianos, por isso, diz quantos raios cabem no arco.

E quantos radianos tem a volta inteira? O arco é então todo o comprimento da circunferência, isto é, 2π · r:

$$\phi =\frac{2\pi \cdot r}{r}=2\pi$$

O raio se cancelou, como esperávamos. A volta inteira tem 2π radianos, cerca de 6,28:

$$360°=2\pi \mathrm{rad}$$

Meia volta é π rad = 180°, um quarto de volta, $\frac{\pi }{2}\mathrm{rad}=90°$. Um radiano é $\frac{360°}{2\pi }\approx 57,3°$, então no círculo inteiro cabem seis radianos e um pedacinho a mais.

Vejamos o que aconteceu com as unidades. O comprimento do arco e o raio estão em metros e, na divisão, os metros se cancelam, $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}}=1$. O radiano é, por isso, uma unidade adimensional, na verdade um número puro, como a escala de um mapa, que também é a razão entre dois comprimentos. O símbolo rad apenas lembra que o número significa um ângulo e, nos cálculos, podemos escrevê-lo ou omiti-lo. Isso nos será logo útil.

Voltemos ao carrossel. O cavalinho de dentro, a 2 m do centro, se desloca pelo seu arco 3 m. Qual ângulo ele descreveu? Substituímos o arco e o raio na fórmula:

$$\phi =\frac{s}{r}=\frac{3\mathrm{m}}{2\mathrm{m}}=1,5\mathrm{rad}$$

O raio cabe no arco uma vez e meia. Em graus isso é 1,5 · 57,3° ≈ 86°, quase um quarto de volta.

Por que não graus? O número 360 é um acordo herdado dos antigos babilônios, enquanto o radiano surge diretamente da circunferência. Graças a isso, o comprimento do arco se calcula de modo muito simples, s = φ · r. Com graus, a fração $\frac{2\pi }{360}$ assombraria essa fórmula. Nas fórmulas de física, por isso, os ângulos quase sempre se substituem em radianos. Quem calcula seno ou cosseno de um ângulo desses na calculadora precisa mudá-la do modo DEG para RAD. Quem quer saber mais sobre radianos encontra mais no artigo Radiano.

Velocidade angular

O ritmo de rotação do carrossel é expresso pela velocidade angular ω (ômega). É o ângulo que ele gira por unidade de tempo:

$$\omega =\frac{\phi }{t}$$

Medimos o ângulo em radianos e o tempo em segundos; por isso, a velocidade angular se mede em rad/s. No movimento circular uniforme, o corpo, em tempos iguais, gira ângulos iguais, então a velocidade angular é constante.

Em um período o carrossel gira uma volta inteira, 2π radianos. Por isso

$$\omega =\frac{2\pi }{T}.$$

Na fórmula entrará o período do nosso carrossel:

$$\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{10\mathrm{s}}=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 0,63\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

A cada segundo o carrossel gira um pouco mais que meio radiano, ou seja, cerca de 36°. O ponteiro dos segundos, com período de 60 s, é seis vezes mais lento, $\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{60\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,105}\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Como $\frac{1}{T}=f$, vale também ω = 2π · f. O tambor da máquina de lavar tem velocidade angular

$$\omega =2\pi \cdot 20\mathrm{Hz}=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 126\mathrm{rad}/\mathrm{s}.$$

É fácil confundir a frequência com a velocidade angular, por isso tome cuidado. As duas descrevem com que rapidez o carrossel gira, só que em unidades diferentes: a frequência em voltas por segundo, a velocidade angular em radianos por segundo. Uma volta tem 2π radianos e, por isso, a velocidade angular é sempre um número 2π vezes maior que a frequência. Quem esquecer o 2π obtém para o carrossel 0,1 rad/s em vez de 0,63 rad/s. O radiano é um número puro, então rad/s e Hz são, depois de simplificados, ambos apenas “por segundo”. Mesmo assim, a velocidade angular não se escreve em hertz, justamente para que ninguém a confunda com a frequência.

Com velocidade angular constante, o ângulo sai como a distância no movimento retilíneo uniforme, só que com a velocidade angular no lugar da velocidade e o ângulo no lugar da distância. De $\omega =\frac{\phi }{t}$, multiplicando pelo tempo, obtemos φ = ω · t. Em 2,5 s o carrossel gira

$$\phi =\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2,5\mathrm{s}=\frac{\pi }{2}\mathrm{rad},$$

ou seja, um quarto de volta. Um quarto do período, aliás, dura exatamente 2,5 s.

O essencial na velocidade angular é que ela é comum ao carrossel inteiro. O cavalinho da borda e o cavalinho perto do centro dão uma volta nos mesmos dez segundos, a cada segundo o mesmo ângulo.

Por que a borda anda mais depressa

No carrossel andam lado a lado dois cavalinhos, o de dentro a 2 m do centro e o de fora a 4 m do centro. Eles andam juntos, como numa mesma haste, e por isso, no mesmo tempo, descrevem o mesmo ângulo. O cavalinho de fora, porém, anda numa circunferência maior e, por isso, no mesmo tempo percorre um arco duas vezes mais longo. Os dois dão, no passeio, o mesmo número de voltas, só que a volta do cavalinho de fora é duas vezes mais longa. A animação mostra isso: o raio com os dois cavalinhos gira como um todo, o ângulo é comum e, mesmo assim, o rastro vermelho cresce duas vezes mais depressa que o azul.

No mesmo tempo, o dobro da distância significa o dobro da velocidade. Vamos calculá-la. Em uma volta, o cavalinho percorre todo o comprimento da sua circunferência 2π · r e isso leva um período T. A velocidade é distância sobre tempo:

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}$$

Atenção, r é a distância ao centro, o raio da circunferência por onde o cavalinho anda, e não o diâmetro do carrossel inteiro. Para o cavalinho de fora substituímos 4 m:

$$v=\frac{2\pi \cdot 4\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Isso é cerca de 9 km/h, um bom trote. O cavalinho de dentro:

$$v=\frac{2\pi \cdot 2\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Isso é cerca de 4,5 km/h, uma caminhada comum. Quem está exatamente no centro gira no lugar e não vai a lugar nenhum. É por isso que as crianças disputam os cavalinhos da borda, onde também venta mais. Quem se senta perto do centro, na verdade, anda num pônei.

Também se chega à velocidade a partir da velocidade angular. A velocidade é a distância no tempo, $v=\frac{s}{t}$, e a distância na circunferência é o comprimento do arco s = φ · r. Substituímos:

$$v=\frac{\phi \cdot r}{t}=\frac{\phi }{t}\cdot r$$

A fração $\frac{\phi }{t}$ é a velocidade angular, então

$$v=\omega \cdot r.$$

A velocidade v também é chamada de velocidade linear (ou tangencial), para não ser confundida com a angular. Com a mesma velocidade angular, ela cresce em proporção direta com a distância ao centro. Conferimos isso no cavalinho de fora:

$$v=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 4\mathrm{m}=\frac{4\pi }{5}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Confere. Para o cavalinho de dentro sai $\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2\mathrm{m}\approx 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$, exatamente a metade. Olhe para as unidades: radiano por segundo vezes metro dá metro por segundo, porque o radiano é um número puro e desaparece do resultado sem deixar vestígio. Se tivéssemos substituído o ângulo em graus, sairia um número absurdo, porque a fórmula s = φ · r vale só para radianos.

A fórmula serve também no sentido contrário. O dono do carrossel gostaria que o cavalinho de fora andasse a 3 m/s. Com que rapidez o carrossel precisa girar? Na relação v = ω · r, dividimos os dois lados pelo raio:

$$\omega =\frac{v}{r}=\frac{3\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{m}}=0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Obtemos o período da relação $\omega =\frac{2\pi }{T}$, basta trocar nela o período com a velocidade angular:

$$T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi \mathrm{rad}}{0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}}\approx 8,4\mathrm{s}$$

Uma volta do carrossel precisa, por isso, durar cerca de oito segundos e meio em vez de dez. O cavalinho de dentro andará então com metade da velocidade, 1,5 m/s.

Para o extremo oposto recorremos ao relógio. A ponta do ponteiro dos minutos, de 10 cm de comprimento, gira com período de 3.600 s, então

$$v=\frac{2\pi \cdot 0,1\mathrm{m}}{3.600\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,000}17\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Isso é cerca de um sexto de milímetro por segundo, então um caracol o ultrapassaria. Por isso não vemos o movimento do ponteiro a olho nu, mas depois de cinco minutos já o percebemos.

Por fim, voltamos à máquina de lavar. O tambor tem raio de cerca de 25 cm, ou seja, 0,25 m, e velocidade angular 40π rad/s:

$$v=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 0,25\mathrm{m}=10\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 31,4\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Isso é cerca de 113 km/h. Uma meia grudada na parede do tambor, na centrifugação, se lança com a velocidade de um carro na rodovia, embora a máquina fique parada no banheiro.

O cavalinho do carrossel e a meia no tambor andam sempre com a mesma rapidez e, no entanto, a seta da velocidade deles a todo momento aponta para outro lado. O próximo artigo, Aceleração centrípeta, mostra por que um movimento assim é acelerado, para onde essa aceleração aponta e qual é o seu valor.