Moto circolare uniforme

Il cavallino di una giostra, la punta della lancetta dei secondi o un sassolino incastrato nel battistrada di uno pneumatico (visto dall’auto) girano lungo una circonferenza. Se mantengono sempre lo stesso ritmo, parliamo di moto circolare uniforme: la traiettoria è una circonferenza e il modulo della velocità non cambia. In tempi uguali descrivono archi di uguale lunghezza.

La direzione della velocità, invece, cambia di continuo, perché la freccia della velocità punta sempre lungo la tangente alla circonferenza. Il moto è uniforme solo per quanto riguarda il modulo della velocità. Come descriverlo con i numeri?

Sulla retta, per determinare la posizione bastava un solo numero, la coordinata sull’asse. Anche sulla circonferenza ci basta un solo numero: l’angolo di cui il corpo è ruotato rispetto alla partenza. Gli angoli ci accompagneranno quindi a ogni passo.

Periodo e frequenza

La giostra del luna park parte e poi gira sempre allo stesso ritmo. Ti metti accanto con un cronometro e misuri che la tua amica sul cavallino ti passa davanti ogni dieci secondi. Il tempo di un giro si chiama periodo, si indica con T e si misura in secondi:

$$T=10\mathrm{s}$$

Possiamo anche chiederci l’opposto: quanti giri compie la giostra in un secondo. Questa è la frequenza f. Se un giro dura dieci secondi, in un secondo la giostra compie un decimo di giro. In generale la frequenza si calcola come un giro diviso per il periodo:

$$f=\frac{1}{T}$$

Sostituiamo:

$$f=\frac{1}{10\mathrm{s}}=0,1{\mathrm{s}}^{-1}$$

L’unità «al secondo», cioè $\frac{1}{\mathrm{s}}$, si chiama hertz e ha il simbolo Hz. La giostra ha una frequenza di 0,1 Hz. La relazione vale anche al contrario, $T=\frac{1}{f}$: più giri al secondo, più breve è un giro. Periodo e frequenza dicono la stessa cosa da lati opposti: uno dà i secondi per giro, l’altra i giri al secondo.

La lancetta dei secondi fa il giro del quadrante in un minuto, quindi il suo periodo è T = 60 s e la frequenza $f=\frac{1}{60\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,017}\mathrm{Hz}$. Il periodo della lancetta dei minuti è un’ora intera, 3600 s. Ciò che si trascina ha un periodo lungo e una frequenza bassa; ciò che corre, il contrario.

Motori e lavatrici indicano la frequenza in giri al minuto. Una lavatrice che centrifuga a 1200 giri/min fa girare il cesto milleduecento volte al minuto. Il minuto ha sessanta secondi, quindi al secondo sono

$$f=\frac{1200\mathrm{giri}}{60\mathrm{s}}=20\mathrm{giri}/\mathrm{s}=20\mathrm{Hz}.$$

Il giro è un semplice numero, quindi i giri al secondo e gli hertz coincidono. Un giro del cesto dura

$$T=\frac{1}{f}=\frac{1}{20\mathrm{Hz}}=0,05\mathrm{s},$$

cinque centesimi di secondo. Non stupisce che dall’oblò i panni si vedano solo come una macchia.

Angolo misurato con l’arco

In un certo tempo la giostra ruota di un determinato angolo. In gradi sappiamo misurarlo: un quarto di giro sono 90°, il giro intero 360°. Ma la fisica preferisce misurare gli angoli in radianti, e subito vedremo perché.

Immagina un angolo con il vertice nel centro di una circonferenza. I suoi lati staccano sulla circonferenza un arco di lunghezza s. Su una circonferenza più grande l’arco dello stesso angolo è più lungo, e precisamente tante volte quante volte è più grande il raggio: una circonferenza due volte più grande, un arco due volte più lungo. Il rapporto tra la lunghezza dell’arco e il raggio non dipende quindi dalle dimensioni della circonferenza, ma solo dall’angolo. Proprio questo rapporto dà la misura dell’angolo in radianti:

$$\phi =\frac{s}{r}$$

L’angolo di cui il corpo ruota sulla circonferenza si chiama angolo descritto e si indica con la lettera greca φ (fi). Un radiante è l’angolo il cui arco è lungo quanto il raggio. Il numero in radianti dice dunque quanti raggi entrano nell’arco.

E quanti radianti è un giro intero? L’arco è allora l’intera lunghezza della circonferenza, cioè 2π · r:

$$\phi =\frac{2\pi \cdot r}{r}=2\pi$$

Il raggio si è semplificato, come ci aspettavamo. Un giro intero è 2π radianti, circa 6,28:

$$360°=2\pi \mathrm{rad}$$

Mezzo giro è π rad = 180°, un quarto di giro $\frac{\pi }{2}\mathrm{rad}=90°$. Un radiante è $\frac{360°}{2\pi }\approx 57,3°$, quindi in un giro intero ce ne stanno sei e un pezzetto.

Vediamo che cosa è successo alle unità. La lunghezza dell’arco e il raggio sono in metri e nella divisione i metri si semplificano, $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}}=1$. Il radiante è quindi un’unità adimensionale, in sostanza un numero puro, come la scala di una carta, che è anch’essa un rapporto tra due lunghezze. Il simbolo rad ricorda soltanto che quel numero indica un angolo, e nei calcoli possiamo scriverlo o ometterlo. Ci tornerà subito utile.

Torniamo alla giostra. Il cavallino interno, a 2 m dal centro, avanza di 3 m lungo il proprio arco. Di che angolo è ruotato? Nella formula sostituiamo arco e raggio:

$$\phi =\frac{s}{r}=\frac{3\mathrm{m}}{2\mathrm{m}}=1,5\mathrm{rad}$$

Il raggio entra nell’arco una volta e mezza. In gradi sono 1,5 · 57,3° ≈ 86°, quasi un quarto di giro.

Perché non i gradi? Il numero 360 è una convenzione ereditata dagli antichi Babilonesi, mentre il radiante nasce direttamente dalla circonferenza. Grazie a ciò la lunghezza dell’arco si calcola in modo semplicissimo, s = φ · r. Con i gradi in quella formula comparirebbe la frazione $\frac{2\pi }{360}$. Nelle formule della fisica gli angoli si inseriscono quindi quasi sempre in radianti. Chi calcola seno o coseno di un angolo così con la calcolatrice deve passare dalla modalità DEG a RAD. Chi vuole sapere di più sui radianti, li trova nell’articolo Misura in radianti di un angolo.

Velocità angolare

Il ritmo di rotazione della giostra è espresso dalla velocità angolare ω (omega). È l’angolo di cui si ruota nell’unità di tempo:

$$\omega =\frac{\phi }{t}$$

L’angolo lo misuriamo in radianti e il tempo in secondi, quindi la velocità angolare si misura in rad/s. Nel moto circolare uniforme il corpo in tempi uguali ruota di angoli uguali, quindi la velocità angolare è costante.

In un periodo la giostra ruota di un giro intero, di 2π radianti. Perciò

$$\omega =\frac{2\pi }{T}.$$

Nella formula metteremo il periodo della nostra giostra:

$$\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{10\mathrm{s}}=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 0,63\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

A ogni secondo la giostra ruota di poco più di mezzo radiante, cioè di circa 36°. La lancetta dei secondi, con periodo 60 s, è sei volte più lenta, $\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{60\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,105}\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Poiché $\frac{1}{T}=f$, vale anche ω = 2π · f. Il cesto della lavatrice ha una velocità angolare di

$$\omega =2\pi \cdot 20\mathrm{Hz}=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 126\mathrm{rad}/\mathrm{s}.$$

Frequenza e velocità angolare si scambiano facilmente, quindi fai attenzione. Entrambe descrivono quanto veloce gira la giostra, solo in unità diverse: la frequenza in giri al secondo, la velocità angolare in radianti al secondo. Un giro ha 2π radianti, e perciò la velocità angolare è sempre un numero 2π volte maggiore della frequenza. Chi dimentica 2π ottiene per la giostra 0,1 rad/s invece di 0,63 rad/s. Il radiante è un numero puro, quindi sia rad/s sia Hz, dopo la semplificazione, sono solo «al secondo». La velocità angolare tuttavia non la scriviamo in hertz, proprio perché nessuno la confonda con la frequenza.

Con velocità angolare costante l’angolo si ottiene come lo spazio nel moto rettilineo uniforme, solo con la velocità angolare al posto della velocità e l’angolo al posto dello spazio. Da $\omega =\frac{\phi }{t}$, moltiplicando per il tempo, otteniamo φ = ω · t. In 2,5 s la giostra ruota di

$$\phi =\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2,5\mathrm{s}=\frac{\pi }{2}\mathrm{rad},$$

cioè di un quarto di giro. Un quarto di periodo, del resto, dura proprio 2,5 s.

La cosa essenziale della velocità angolare è che è comune a tutta la giostra. Il cavallino al bordo e quello vicino al centro compiono un giro nello stesso tempo di dieci secondi, a ogni secondo ruotano dello stesso angolo.

Perché il bordo va più veloce

Sulla giostra due cavallini stanno affiancati, quello interno a 2 m dal centro e quello esterno a 4 m dal centro. Vanno insieme come fissati a un’unica asta, quindi nello stesso tempo descrivono lo stesso angolo. Ma il cavallino esterno si muove su una circonferenza più grande, e perciò nello stesso tempo percorre un arco due volte più lungo. Durante la corsa entrambi fanno lo stesso numero di giri, ma il giro del cavallino esterno è due volte più lungo. L’animazione lo mostra: il raggio con i due cavallini ruota come un tutt’uno, l’angolo è comune e la traccia rossa cresce comunque due volte più in fretta di quella blu.

Nello stesso tempo uno spazio doppio significa una velocità doppia. Calcoliamola. In un giro il cavallino percorre l’intera lunghezza della sua circonferenza, 2π · r, e impiega un periodo T. La velocità è lo spazio diviso per il tempo:

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}$$

Attenzione, r è la distanza dal centro, il raggio della circonferenza su cui va il cavallino, e non il diametro dell’intera giostra. Per il cavallino esterno sostituiamo 4 m:

$$v=\frac{2\pi \cdot 4\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Sono circa 9 km/h, una bella corsetta. Il cavallino interno:

$$v=\frac{2\pi \cdot 2\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Sono circa 4,5 km/h, una normale camminata. Chi sta esattamente al centro gira su se stesso e non va da nessuna parte. Per questo i bambini si contendono i cavallini sul bordo, e poi lì tira anche più vento. Chi si siede vicino al centro, in fondo va su un pony.

Alla velocità si può arrivare anche dalla velocità angolare. La velocità è lo spazio diviso per il tempo, $v=\frac{s}{t}$, e lo spazio sulla circonferenza è la lunghezza dell’arco s = φ · r. Sostituiamo:

$$v=\frac{\phi \cdot r}{t}=\frac{\phi }{t}\cdot r$$

La frazione $\frac{\phi }{t}$ è la velocità angolare, quindi

$$v=\omega \cdot r.$$

La velocità v si chiama più precisamente velocità tangenziale, per non confonderla con quella angolare. A parità di velocità angolare cresce in proporzione diretta alla distanza dal centro. Verifichiamolo sul cavallino esterno:

$$v=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 4\mathrm{m}=\frac{4\pi }{5}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Torna. Per il cavallino interno viene $\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2\mathrm{m}\approx 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$, esattamente la metà. Guarda le unità: radianti al secondo per metri danno metri al secondo, perché il radiante è un numero puro e dal risultato sparisce senza lasciare traccia. Se avessimo inserito l’angolo in gradi, sarebbe venuto un numero senza senso, perché la formula s = φ · r vale solo per i radianti.

La formula serve anche nel verso opposto. Il proprietario della giostra vorrebbe che il cavallino esterno andasse a 3 m/s. Quanto veloce deve girare la giostra? Dalla relazione v = ω · r dividiamo entrambi i membri per il raggio:

$$\omega =\frac{v}{r}=\frac{3\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{m}}=0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Il periodo lo otteniamo dalla relazione $\omega =\frac{2\pi }{T}$, basta scambiare in essa il periodo con la velocità angolare:

$$T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi \mathrm{rad}}{0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}}\approx 8,4\mathrm{s}$$

Un giro della giostra deve quindi durare circa otto secondi e mezzo invece di dieci. Il cavallino interno andrà allora a metà velocità, 1,5 m/s.

Per l’estremo opposto prendiamo l’orologio. La punta della lancetta dei minuti, lunga 10 cm, gira con periodo 3600 s, quindi

$$v=\frac{2\pi \cdot 0,1\mathrm{m}}{3600\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,000}17\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

È circa un sesto di millimetro al secondo, quindi una lumaca la supererebbe. Per questo il moto della lancetta a occhio nudo non si vede, ma dopo cinque minuti sì.

Alla fine torniamo alla lavatrice. Il cesto ha un raggio di circa 25 cm, cioè 0,25 m, e una velocità angolare di 40π rad/s:

$$v=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 0,25\mathrm{m}=10\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 31,4\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Sono circa 113 km/h. Il calzino premuto contro la parete del cesto, durante la centrifuga, corre alla velocità di un’auto in autostrada, anche se la lavatrice resta ferma in bagno.

Il cavallino sulla giostra e il calzino nel cesto vanno sempre alla stessa velocità, eppure la freccia della loro velocità punta a ogni istante in una direzione diversa. Perché un moto così è accelerato, dove punta quell’accelerazione e quanto vale lo mostrerà il prossimo articolo, Accelerazione centripeta.