Рівномірний рух по колу

Конячка на каруселі, кінчик секундної стрілки або камінець, що застряг у протекторі шини (якщо спостерігати з автомобіля), рухаються по колу. Якщо вони при цьому тримають увесь час однаковий темп, ми говоримо про рівномірний рух по колу: траєкторія — коло, а модуль швидкості не змінюється. За однакові проміжки часу тіло описує дуги однакової довжини.

Напрям швидкості, навпаки, змінюється безперервно, бо стрілка швидкості завжди напрямлена по дотичній до кола. Рух рівномірний лише щодо модуля швидкості. Як описати його числами?

На прямій для визначення положення вистачало одного числа — координати на осі. На колі нам теж вистачить одного числа: кута, на який тіло повернулося від старту. Тому кути супроводжуватимуть нас на кожному кроці.

Період і частота обертання

Карусель на ярмарку розганяється, а потім обертається з однаковим темпом. Ти стаєш біля неї із секундоміром і вимірюєш, що подруга на конячці пролітає повз тебе кожні десять секунд. Час одного оберту називають періодом обертання, його позначають T і вимірюють у секундах:

$$T=10\mathrm{с}$$

Можна запитати й навпаки: скільки обертів карусель устигає зробити за одну секунду. Це частота обертання n. Якщо один оберт триває десять секунд, то за одну секунду карусель робить одну десяту оберту. Загалом частоту обчислюємо як один оберт, поділений на період:

$$n=\frac{1}{T}$$

Підставимо:

$$n=\frac{1}{10\mathrm{с}}=0,1{\mathrm{с}}^{-1}$$

Одиниця «за секунду», тобто $\frac{1}{\mathrm{с}}$, має назву герц і позначення Гц. Карусель має частоту 0,1 Гц. Співвідношення діє й навпаки, $T=\frac{1}{n}$: чим більше обертів за секунду, тим коротший один оберт. Період і частота розповідають про те саме з протилежних боків: один показує секунди на оберт, друга — оберти за секунду.

Секундна стрілка обходить циферблат за хвилину, тож її період T = 60 с, а частота $n=\frac{1}{60\mathrm{с}}\approx \mathrm{0,017}\mathrm{Г}\mathrm{ц}$. Період хвилинної стрілки — ціла година, 3 600 с. Що ледве повзе, те має довгий період і малу частоту; що мчить, у того навпаки.

Двигуни й пральні машини вказують частоту в обертах за хвилину. Пральна машина, що віджимає на 1 200 об/хв, обертає барабан тисячу двісті разів за хвилину. У хвилині шістдесят секунд, тому за секунду це

$$n=\frac{1200\mathrm{о}\mathrm{б}}{60\mathrm{с}}=20\mathrm{о}\mathrm{б}/\mathrm{с}=20\mathrm{Г}\mathrm{ц}.$$

Оберт — це просто число, тому оберти за секунду й герци збігаються. Один оберт барабана триває

$$T=\frac{1}{n}=\frac{1}{20\mathrm{Г}\mathrm{ц}}=0,05\mathrm{с},$$

п'ять сотих секунди. Не дивно, що білизну за віконцем ти бачиш лише як розмиту смугу.

Кут, виміряний дугою

За якийсь час карусель повертається на певний кут. У градусах його вимірювати ми вміємо: чверть оберту — це 90°, повний оберт — 360°. Але фізика охочіше вимірює кути в радіанах, і зараз побачимо чому.

Уяви кут із вершиною в центрі кола. Його сторони вирізають на колі дугу довжиною s. На більшому колі дуга того самого кута довша, і саме у стільки разів, у скільки більший радіус: коло вдвічі більше — дуга вдвічі довша. Відношення довжини дуги до радіуса тому не залежить від розміру кола, а лише від кута. Саме це відношення й задає величину кута в радіанах:

$$\phi =\frac{s}{r}$$

Кут, на який тіло повертається по колу, називають кутом повороту і позначають грецькою літерою φ (фі). Один радіан — це кут, дуга якого має таку саму довжину, як радіус. Число в радіанах тому показує, скільки радіусів вкладається в дугу.

А скільки радіанів у повному оберті? Дуга тоді — вся довжина кола, тобто 2π · r:

$$\phi =\frac{2\pi \cdot r}{r}=2\pi$$

Радіус скоротився, як ми й очікували. Повний оберт має 2π радіанів, приблизно 6,28:

$$360°=2\pi \mathrm{р}\mathrm{а}\mathrm{д}$$

Пів оберту — це π рад = 180°, чверть оберту — $\frac{\pi }{2}\mathrm{р}\mathrm{а}\mathrm{д}=90°$. Один радіан дорівнює $\frac{360°}{2\pi }\approx 57,3°$, тож у повне коло вміщується шість радіанів і ще трохи.

Подивімося, що сталося з одиницями. Довжина дуги й радіус вимірюються в метрах, і під час ділення метри скорочуються, $\frac{\mathrm{м}}{\mathrm{м}}=1$. Радіан тому — безрозмірна одиниця, власне голе число, так само як масштаб карти, адже він теж є відношенням двох довжин. Позначення рад лише нагадує, що число означає кут, і в обчисленнях його можна як дописувати, так і пропускати. Це нам одразу стане в пригоді.

Повернімося до каруселі. Внутрішня конячка, за 2 м від центру, зсувається по своїй дузі на 3 м. На який кут вона повернулася? У формулу підставимо дугу й радіус:

$$\phi =\frac{s}{r}=\frac{3\mathrm{м}}{2\mathrm{м}}=1,5\mathrm{р}\mathrm{а}\mathrm{д}$$

Радіус укладається в дугу півтора раза. У градусах це 1,5 · 57,3° ≈ 86°, майже чверть оберту.

Чому не градуси? Число 360 — це домовленість, успадкована від давніх вавилонян, тоді як радіан випливає безпосередньо з кола. Завдяки цьому довжину дуги обчислюємо зовсім просто, s = φ · r. З градусами в цій формулі стирчав би дріб $\frac{2\pi }{360}$. У фізичних формулах тому кути майже завжди підставляють у радіанах. Хто обчислює синус чи косинус такого кута на калькуляторі, мусить перемкнути його з режиму DEG на RAD. Хто хоче дізнатися про радіани більше, знайде їх у статті Радіанна міра кута.

Кутова швидкість

Темп обертання каруселі виражає кутова швидкість ω (омега). Це кут, на який тіло повертається за одиницю часу:

$$\omega =\frac{\phi }{t}$$

Кут вимірюємо в радіанах, а час у секундах, тому кутова швидкість вимірюється в рад/с. Під час рівномірного руху по колу тіло за однакові проміжки часу повертається на однакові кути, тож кутова швидкість стала.

За один період карусель повертається на повний оберт, на 2π радіанів. Тому

$$\omega =\frac{2\pi }{T}.$$

У формулу підставимо період нашої каруселі:

$$\omega =\frac{2\pi \mathrm{р}\mathrm{а}\mathrm{д}}{10\mathrm{с}}=\frac{\pi }{5}\mathrm{р}\mathrm{а}\mathrm{д}/\mathrm{с}\approx 0,63\mathrm{р}\mathrm{а}\mathrm{д}/\mathrm{с}$$

Щосекунди карусель повертається на трохи більше за піврадіана, тобто приблизно на 36°. Секундна стрілка з періодом 60 с в шість разів повільніша, $\omega =\frac{2\pi \mathrm{р}\mathrm{а}\mathrm{д}}{60\mathrm{с}}\approx \mathrm{0,105}\mathrm{р}\mathrm{а}\mathrm{д}/\mathrm{с}$. Оскільки $\frac{1}{T}=n$, то справджується й ω = 2π · n. Барабан пральної машини має кутову швидкість

$$\omega =2\pi \cdot 20\mathrm{Г}\mathrm{ц}=40\pi \mathrm{р}\mathrm{а}\mathrm{д}/\mathrm{с}\approx 126\mathrm{р}\mathrm{а}\mathrm{д}/\mathrm{с}.$$

Частоту й кутову швидкість легко сплутати, тож зверни на це увагу. Обидві описують, як швидко обертається карусель, тільки в різних одиницях: частота — в обертах за секунду, кутова швидкість — у радіанах за секунду. Один оберт має 2π радіанів, і тому кутова швидкість завжди виражається в 2π разів більшим числом, ніж частота. Хто забуде 2π, отримає для каруселі 0,1 рад/с замість 0,63 рад/с. Радіан — голе число, тому рад/с і Гц після скорочення — обидва лише «за секунду». Кутову швидкість усе ж не записують у герцах, саме щоб ніхто не сплутав її з частотою.

За сталої кутової швидкості кут виходить так само, як шлях за рівномірного прямолінійного руху, тільки з кутовою швидкістю замість швидкості й кутом замість шляху. З $\omega =\frac{\phi }{t}$ множенням на час дістаємо φ = ω · t. За 2,5 с карусель повертається на

$$\phi =\frac{\pi }{5}\mathrm{р}\mathrm{а}\mathrm{д}/\mathrm{с}\cdot 2,5\mathrm{с}=\frac{\pi }{2}\mathrm{р}\mathrm{а}\mathrm{д},$$

тобто на чверть оберту. Чверть періоду, зрештою, триває саме 2,5 с.

У кутовій швидкості важливо те, що вона спільна для всієї каруселі. Конячка біля краю й конячка біля центру роблять оберт за ті самі десять секунд, щосекунди повертаючись на той самий кут.

Чому край їде швидше

На каруселі поруч їздять дві конячки, внутрішня за 2 м від центру і зовнішня за 4 м від центру. Вони їдуть разом, ніби на одній жердині, тому за однаковий час описують однаковий кут. Але зовнішня конячка їде по більшому колу, тому за той самий час долає вдвічі довшу дугу. За поїздку обидві роблять однакове число кіл, тільки коло зовнішньої вдвічі довше. Анімація це показує: промінь з обома конячками обертається як ціле, кут у них спільний, а червоний слід усе одно зростає вдвічі швидше за синій.

За однаковий час удвічі більший шлях означає удвічі більшу швидкість. Обчислімо її. За один оберт конячка долає всю довжину свого кола 2π · r, і це триває один період T. Швидкість — це шлях, поділений на час:

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}$$

Зверни увагу: r — це відстань від центру, радіус кола, по якому їде конячка, а не діаметр усієї каруселі. Для зовнішньої конячки підставимо 4 м:

$$v=\frac{2\pi \cdot 4\mathrm{м}}{10\mathrm{с}}\approx 2,5\mathrm{м}/\mathrm{с}$$

Це приблизно 9 км/год, добрячий біг підтюпцем. Внутрішня конячка:

$$v=\frac{2\pi \cdot 2\mathrm{м}}{10\mathrm{с}}\approx 1,26\mathrm{м}/\mathrm{с}$$

Це приблизно 4,5 км/год, звичайна ходьба. Хто стоїть точно в центрі, обертається на місці й нікуди не їде. Тому діти й б'ються за конячок на краю, адже там і вітру більше. Хто сідає біля центру, той їде, власне, на поні.

До швидкості можна дійти й від кутової швидкості. Швидкість — це шлях за час, $v=\frac{s}{t}$, а шлях по колу — довжина дуги s = φ · r. Підставимо:

$$v=\frac{\phi \cdot r}{t}=\frac{\phi }{t}\cdot r$$

Дріб $\frac{\phi }{t}$ — це кутова швидкість, тож

$$v=\omega \cdot r.$$

Швидкість v окремо називають лінійною, щоб не плутати з кутовою. За однакової кутової швидкості вона зростає прямо пропорційно відстані від центру. Перевіримо це на зовнішній конячці:

$$v=\frac{\pi }{5}\mathrm{р}\mathrm{а}\mathrm{д}/\mathrm{с}\cdot 4\mathrm{м}=\frac{4\pi }{5}\mathrm{м}/\mathrm{с}\approx 2,5\mathrm{м}/\mathrm{с}$$

Збігається. Для внутрішньої конячки виходить $\frac{\pi }{5}\mathrm{р}\mathrm{а}\mathrm{д}/\mathrm{с}\cdot 2\mathrm{м}\approx 1,26\mathrm{м}/\mathrm{с}$, рівно половина. Подивись на одиниці: радіан за секунду, помножений на метр, дає метр за секунду, бо радіан — голе число й із результату безслідно зникає. Якби ми підставили кут у градусах, вийшло б безглузде число, бо формула s = φ · r справджується лише для радіанів.

Формула слугує й у зворотний бік. Власник каруселі хоче, щоб зовнішня конячка їхала зі швидкістю 3 м/с. Як швидко має обертатися карусель? Зі співвідношення v = ω · r поділимо обидві частини на радіус:

$$\omega =\frac{v}{r}=\frac{3\mathrm{м}/\mathrm{с}}{4\mathrm{м}}=0,75\mathrm{р}\mathrm{а}\mathrm{д}/\mathrm{с}$$

Період дістанемо зі співвідношення $\omega =\frac{2\pi }{T}$, досить поміняти місцями період і кутову швидкість:

$$T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi \mathrm{р}\mathrm{а}\mathrm{д}}{0,75\mathrm{р}\mathrm{а}\mathrm{д}/\mathrm{с}}\approx 8,4\mathrm{с}$$

Один оберт каруселі тому має тривати приблизно вісім із половиною секунд замість десяти. Внутрішня конячка тоді їхатиме з удвічі меншою швидкістю, 1,5 м/с.

Для протилежної крайності візьмімо годинник. Кінчик хвилинної стрілки завдовжки 10 см обертається з періодом 3 600 с, тож

$$v=\frac{2\pi \cdot 0,1\mathrm{м}}{3600\mathrm{с}}\approx \mathrm{0,000}17\mathrm{м}/\mathrm{с}.$$

Це приблизно шоста частина міліметра за секунду, тож його випередив би равлик. Рух стрілки тому оком не видно, а через п'ять хвилин уже видно.

Насамкінець повернімося до пральної машини. Барабан має радіус приблизно 25 см, тобто 0,25 м, і кутову швидкість 40π рад/с:

$$v=40\pi \mathrm{р}\mathrm{а}\mathrm{д}/\mathrm{с}\cdot 0,25\mathrm{м}=10\pi \mathrm{м}/\mathrm{с}\approx 31,4\mathrm{м}/\mathrm{с}$$

Це приблизно 113 км/год. Шкарпетка, притиснута до стінки барабана, під час віджимання мчить зі швидкістю автомобіля на автомагістралі, хоча сама пральна машина стоїть у ванній.

Конячка на каруселі й шкарпетка в барабані їдуть увесь час однаково швидко, а проте їхня стрілка швидкості щомиті спрямована в інший бік. Чому такий рух прискорений, куди спрямоване це прискорення і яке воно за величиною, покаже наступна стаття — Доцентрове прискорення.