Eenparige cirkelbeweging

Een paardje in de draaimolen, de punt van een secondewijzer of een steentje dat vastzit in het profiel van een autoband (gezien vanuit de auto) draaien rond langs een cirkel. Als ze daarbij steeds hetzelfde tempo aanhouden, spreken we van een eenparige cirkelbeweging: de baan is een cirkel en de grootte van de snelheid verandert niet. In gelijke tijden beschrijven ze even lange bogen.

De richting van de snelheid verandert daarentegen voortdurend, omdat de pijl van de snelheid altijd langs de raaklijn aan de cirkel wijst. De beweging is alleen eenparig wat de grootte van de snelheid betreft. Hoe beschrijf je haar met getallen?

Op een rechte lijn volstond voor het bepalen van de plaats één getal, de plaats op de as. Op een cirkel hebben we ook maar één getal nodig: de hoek waarover het voorwerp sinds de start is gedraaid. Hoeken zullen ons hier dus bij elke stap begeleiden.

Omlooptijd en frequentie

De draaimolen op de kermis trekt op en draait dan steeds met hetzelfde tempo. Je gaat er met een stopwatch bij staan en meet dat je vriendin op het paardje elke tien seconden langs je suist. De tijd van één omloop heet omlooptijd, wordt geschreven als T en wordt gemeten in seconden:

$$T=10\mathrm{s}$$

We kunnen ook andersom vragen: hoeveel omlopen maakt de draaimolen in één seconde. Dat is de frequentie f. Als één omloop tien seconden duurt, maakt de draaimolen in één seconde een tiende omloop. In het algemeen berekenen we de frequentie als één omloop gedeeld door de omlooptijd:

$$f=\frac{1}{T}$$

We vullen in:

$$f=\frac{1}{10\mathrm{s}}=0,1{\mathrm{s}}^{-1}$$

De eenheid “per seconde”, dus $\frac{1}{\mathrm{s}}$, heet hertz met symbool Hz. De draaimolen heeft een frequentie van 0,1 Hz. Het verband geldt ook andersom, $T=\frac{1}{f}$: hoe meer omlopen per seconde, hoe korter één omloop. Omlooptijd en frequentie zeggen hetzelfde vanuit tegengestelde kanten: de een geeft seconden per omloop, de ander omlopen per seconde.

De secondewijzer gaat in een minuut rond de wijzerplaat, zijn omlooptijd is daarom T = 60 s en zijn frequentie $f=\frac{1}{60\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,017}\mathrm{Hz}$. De omlooptijd van de minutenwijzer is een heel uur, 3600 s. Wat langzaam draait, heeft een lange omlooptijd en een kleine frequentie; bij wat snel draait, is het omgekeerd.

Motoren en wasmachines geven de frequentie op in omwentelingen per minuut. Een wasmachine die centrifugeert met 1200 omw/min, laat de trommel twaalfhonderd keer per minuut ronddraaien. Een minuut heeft zestig seconden, dus per seconde is dat

$$f=\frac{1200\mathrm{omw}}{60\mathrm{s}}=20\mathrm{omw}/\mathrm{s}=20\mathrm{Hz}.$$

Een omwenteling is slechts een aantal, dus omwentelingen per seconde en hertz vallen samen. Eén omwenteling van de trommel duurt

$$T=\frac{1}{f}=\frac{1}{20\mathrm{Hz}}=0,05\mathrm{s},$$

vijf honderdsten seconde. Geen wonder dat je de was achter het raampje alleen als een waas ziet.

Hoek gemeten met een boog

De draaimolen draait in enige tijd over een bepaalde hoek. In graden kunnen we die meten: een kwart omwenteling is 90°, een hele omwenteling 360°. Maar de natuurkunde meet hoeken liever in radialen en je ziet zo waarom.

Stel je een hoek voor met het hoekpunt in het middelpunt van de cirkel. Zijn benen snijden op de cirkel een boog met lengte s uit. Op een grotere cirkel is de boog van dezelfde hoek langer, en wel precies zoveel keer als de straal groter is: een twee keer zo grote cirkel, een twee keer zo lange boog. De verhouding van de booglengte en de straal hangt dus niet af van de grootte van de cirkel, alleen van de hoek. Juist deze verhouding geeft de grootte van de hoek in radialen:

$$\phi =\frac{s}{r}$$

De hoek waarover een voorwerp op een cirkel draait, noemen we de hoekverplaatsing en we schrijven hem met de Griekse letter φ (phi). Eén radiaal is de hoek waarvan de boog even lang is als de straal. Het getal in radialen zegt dus hoeveel stralen er in de boog passen.

En hoeveel radialen is een hele omwenteling? De boog is dan de hele omtrek van de cirkel, dus 2π · r:

$$\phi =\frac{2\pi \cdot r}{r}=2\pi$$

De straal viel weg, zoals we verwachtten. Een hele omwenteling heeft 2π radialen, ongeveer 6,28:

$$360°=2\pi \mathrm{rad}$$

Een halve omwenteling is π rad = 180°, een kwart omwenteling $\frac{\pi }{2}\mathrm{rad}=90°$. Eén radiaal is $\frac{360°}{2\pi }\approx 57,3°$, dus in een hele cirkel passen zes radialen en nog een beetje.

Kijk wat er met de eenheden is gebeurd. De booglengte en de straal zijn in meter en bij het delen vallen de meters weg, $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}}=1$. De radiaal is daarom een dimensieloze eenheid, eigenlijk een kaal getal, net als de schaal van een kaart, die is ook een verhouding van twee lengtes. Het symbool rad herinnert er alleen aan dat het getal een hoek betekent, en in berekeningen mag je het erbij schrijven of weglaten. Dat komt zo meteen van pas.

Terug naar de draaimolen. Het binnenste paardje, 2 m van het midden, verschuift langs zijn boog over 3 m. Over welke hoek is het gedraaid? In de formule vullen we de boog en de straal in:

$$\phi =\frac{s}{r}=\frac{3\mathrm{m}}{2\mathrm{m}}=1,5\mathrm{rad}$$

De straal past anderhalf keer in de boog. In graden is dat 1,5 · 57,3° ≈ 86°, bijna een kwart omwenteling.

Waarom geen graden? Het getal 360 is een afspraak die we van de oude Babyloniërs hebben geërfd, terwijl de radiaal rechtstreeks uit de cirkel voortkomt. Daardoor berekenen we de booglengte heel eenvoudig, s = φ · r. Met graden zou in die formule de breuk $\frac{2\pi }{360}$ rondspoken. In natuurkundige formules vullen we hoeken daarom bijna altijd in radialen in. Wie de sinus of cosinus van zo'n hoek op de rekenmachine uitrekent, moet hem van de stand DEG naar RAD zetten. Wie meer over radialen wil weten, vindt ze in het artikel Radialen.

Hoeksnelheid

Het draaitempo van de draaimolen drukken we uit met de hoeksnelheid ω (omega). Dat is de hoek waarover hij per tijdseenheid draait:

$$\omega =\frac{\phi }{t}$$

De hoek meten we in radialen en de tijd in seconden, de hoeksnelheid wordt daarom gemeten in rad/s. Bij eenparige cirkelbeweging draait het voorwerp in even lange tijden over gelijke hoeken, dus de hoeksnelheid is constant.

In één omlooptijd draait de draaimolen over een hele omwenteling, over 2π radialen. Daarom is

$$\omega =\frac{2\pi }{T}.$$

In de formule gaat de omlooptijd van onze draaimolen:

$$\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{10\mathrm{s}}=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 0,63\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Elke seconde draait de draaimolen over iets meer dan een halve radiaal, dus ongeveer 36°. De secondewijzer is bij een omlooptijd van 60 s zes keer langzamer, $\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{60\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,105}\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Omdat $\frac{1}{T}=f$, geldt ook ω = 2π · f. De trommel van de wasmachine heeft een hoeksnelheid van

$$\omega =2\pi \cdot 20\mathrm{Hz}=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 126\mathrm{rad}/\mathrm{s}.$$

Frequentie en hoeksnelheid verwar je gemakkelijk, dus pas op. Beide beschrijven hoe snel de draaimolen draait, alleen in andere eenheden: de frequentie in omwentelingen per seconde, de hoeksnelheid in radialen per seconde. Eén omwenteling heeft 2π radialen, en daarom is de hoeksnelheid altijd een 2π keer groter getal dan de frequentie. Wie de 2π vergeet, krijgt voor de draaimolen 0,1 rad/s in plaats van 0,63 rad/s. De radiaal is een kaal getal, dus rad/s en Hz zijn na wegstrepen allebei gewoon “per seconde”. Toch schrijven we de hoeksnelheid niet in hertz, juist zodat niemand haar met de frequentie verwart.

Bij constante hoeksnelheid komt de hoek uit zoals de afgelegde weg bij eenparige rechtlijnige beweging, alleen met hoeksnelheid in plaats van snelheid en hoek in plaats van afgelegde weg. Uit $\omega =\frac{\phi }{t}$ krijgen we door te vermenigvuldigen met de tijd φ = ω · t. In 2,5 s draait de draaimolen over

$$\phi =\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2,5\mathrm{s}=\frac{\pi }{2}\mathrm{rad},$$

dus over een kwart omwenteling. Een kwart omlooptijd duurt overigens precies 2,5 s.

Het wezenlijke van de hoeksnelheid is dat ze voor de hele draaimolen gelijk is. Het paardje aan de rand en het paardje bij het midden draaien allebei in dezelfde tien seconden één keer rond, elke seconde over dezelfde hoek.

Waarom de rand sneller gaat

Op de draaimolen rijden twee paardjes naast elkaar, het binnenste 2 m van het midden en het buitenste 4 m van het midden. Ze rijden samen als aan één stang en beschrijven daarom in dezelfde tijd dezelfde hoek. Maar het buitenste paardje rijdt over een grotere cirkel en legt daarom in dezelfde tijd een twee keer zo lange boog af. Beide maken tijdens de rit evenveel rondjes, alleen is het rondje van het buitenste paardje twee keer zo lang. De animatie laat het zien: de straal met beide paardjes draait als geheel rond, ze hebben de hoek gemeenschappelijk en toch groeit het rode spoor twee keer zo snel als het blauwe.

In dezelfde tijd een dubbele afgelegde weg betekent een dubbele snelheid. Laten we haar uitrekenen. In één omloop legt het paardje de hele omtrek van zijn cirkel af, 2π · r, en dat kost hem één omlooptijd T. Snelheid is afgelegde weg gedeeld door tijd:

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}$$

Pas op, r is de afstand tot het midden, de straal van de cirkel waarlangs het paardje rijdt, en niet de diameter van de hele draaimolen. Voor het buitenste paardje vullen we 4 m in:

$$v=\frac{2\pi \cdot 4\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Dat is ongeveer 9 km/h, een flink drafje. Het binnenste paardje:

$$v=\frac{2\pi \cdot 2\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Dat is ongeveer 4,5 km/h, gewoon wandelen. Wie precies in het midden staat, draait op zijn plek en gaat nergens heen. Daarom vechten kinderen om de paardjes aan de rand, daar waait het trouwens ook meer. Wie dicht bij het midden gaat zitten, zit eigenlijk op een pony.

Je kunt ook via de hoeksnelheid bij de snelheid komen. Snelheid is afgelegde weg per tijd, $v=\frac{s}{t}$, en de afgelegde weg langs een cirkel is de booglengte s = φ · r. We vullen in:

$$v=\frac{\phi \cdot r}{t}=\frac{\phi }{t}\cdot r$$

De breuk $\frac{\phi }{t}$ is de hoeksnelheid, dus

$$v=\omega \cdot r.$$

De snelheid v noemen we in dit verband de baansnelheid, zodat ze niet met de hoeksnelheid wordt verward. Bij dezelfde hoeksnelheid neemt ze recht evenredig toe met de afstand tot het midden. We controleren het aan het buitenste paardje:

$$v=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 4\mathrm{m}=\frac{4\pi }{5}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Klopt. Voor het binnenste paardje komt $\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2\mathrm{m}\approx 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$ uit, precies de helft. Kijk naar de eenheden: radiaal per seconde keer meter geeft meter per seconde, omdat de radiaal een kaal getal is en spoorloos uit het resultaat verdwijnt. Als we de hoek in graden hadden ingevuld, zou er een onzinnig getal uitkomen, want de formule s = φ · r geldt alleen voor radialen.

De formule dient ook in de andere richting. De eigenaar van de draaimolen wil dat het buitenste paardje 3 m/s rijdt. Hoe snel moet de draaimolen draaien? Uit het verband v = ω · r delen we beide kanten door de straal:

$$\omega =\frac{v}{r}=\frac{3\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{m}}=0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

De omlooptijd krijgen we uit het verband $\omega =\frac{2\pi }{T}$, we hoeven in die formule alleen de omlooptijd en de hoeksnelheid te verwisselen:

$$T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi \mathrm{rad}}{0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}}\approx 8,4\mathrm{s}$$

Eén omloop van de draaimolen moet dus ongeveer achteneenhalve seconde duren in plaats van tien. Het binnenste paardje rijdt dan met de halve snelheid, 1,5 m/s.

Voor het tegenovergestelde uiterste pakken we de klok. De punt van een minutenwijzer van 10 cm lang draait met een omlooptijd van 3600 s, dus

$$v=\frac{2\pi \cdot 0,1\mathrm{m}}{3600\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,000}17\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Dat is ongeveer een zesde millimeter per seconde, dus een slak zou hem inhalen. De beweging van de wijzer zien we daarom niet met het oog, maar na vijf minuten wel.

Tot slot gaan we terug naar de wasmachine. De trommel heeft een straal van ongeveer 25 cm, dus 0,25 m, en een hoeksnelheid van 40π rad/s:

$$v=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 0,25\mathrm{m}=10\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 31,4\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Dat is ongeveer 113 km/h. Een sok die tijdens het centrifugeren tegen de wand van de trommel gedrukt zit, raast met de snelheid van een auto op de snelweg, ook al blijft de wasmachine in de badkamer staan.

Het paardje in de draaimolen en de sok in de trommel bewegen steeds even snel, en toch wijst hun snelheidspijl elk moment een andere kant op. Waarom zo'n beweging versneld is, waarheen die versnelling wijst en hoe groot ze is, laat het volgende artikel zien, Middelpuntzoekende versnelling.