Tasainen ympyräliike

Karusellin hevonen, sekuntiviisarin kärki tai renkaan kuvioon juuttunut kivi (autosta katsottuna) kiertävät ympyrää. Jos ne pitävät samalla koko ajan saman vauhdin, puhutaan tasaisesta ympyräliikkeestä: rata on ympyrä ja nopeuden suuruus ei muutu. Yhtä pitkinä aikoina ne kulkevat yhtä pitkät kaaret.

Nopeuden suunta sen sijaan muuttuu jatkuvasti, koska nopeuden nuoli osoittaa aina ympyrän tangentin suuntaan. Liike on tasaista vain nopeuden suuruuden osalta. Miten sitä kuvataan luvuilla?

Suoralla paikan määrittämiseen riitti yksi luku, paikka akselilla. Ympyrällä pärjätään myös yhdellä luvulla: kulmalla, jonka verran kappale on lähdöstä kiertynyt. Kulmat ovat siksi mukana joka askeleella.

Jaksonaika ja taajuus

Karuselli tivolissa lähtee liikkeelle ja pyörii sitten koko ajan samaa vauhtia. Menet sen viereen sekuntikellon kanssa ja mittaat, että hevosella istuva Venla vilahtaa ohitsesi kymmenen sekunnin välein. Yhden kierroksen kestoa sanotaan jaksonajaksi, se merkitään T ja mitataan sekunteina:

$$T=10\mathrm{s}$$

Voi kysyä myös toisinpäin: montako kierrosta karuselli ehtii yhdessä sekunnissa. Se on taajuus f. Kun yksi kierros kestää kymmenen sekuntia, karuselli ehtii sekunnissa kymmenesosan kierrosta. Yleisesti taajuus lasketaan jakamalla yhden kierroksen jaksonajalla:

$$f=\frac{1}{T}$$

Sijoitetaan:

$$f=\frac{1}{10\mathrm{s}}=0,1{\mathrm{s}}^{-1}$$

Yksikön ”sekunnissa”, eli $\frac{1}{\mathrm{s}}$, nimi on hertsi ja tunnus Hz. Karusellin taajuus on 0,1 Hz. Yhteys pätee myös toisinpäin, $T=\frac{1}{f}$: mitä enemmän kierroksia sekunnissa, sitä lyhyempi yksi kierros on. Jaksonaika ja taajuus kertovat samasta asiasta vastakkaisilta puolilta: toinen ilmoittaa sekunnit kierrosta kohti, toinen kierrokset sekunnissa.

Sekuntiviisari kiertää kellotaulun minuutissa, sen jaksonaika on siksi T = 60 s ja taajuus $f=\frac{1}{60\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,017}\mathrm{Hz}$. Minuuttiviisarin jaksonaika on koko tunti, 3 600 s. Mikä matelee, sillä on pitkä jaksonaika ja pieni taajuus, mikä kiitää, sillä on päinvastoin.

Moottoreiden ja pesukoneiden taajuus ilmoitetaan kierroksina minuutissa. Pesukone, joka linkoaa nopeudella 1 200 r/min, pyörittää rumpua kaksitoistasataa kertaa minuutissa. Minuutissa on kuusikymmentä sekuntia, joten sekunnissa se on

$$f=\frac{1200\mathrm{r}}{60\mathrm{s}}=20\mathrm{r}/\mathrm{s}=20\mathrm{Hz}.$$

Kierros on pelkkä lukumäärä, joten kierrokset sekunnissa ja hertsit ovat sama asia. Yksi rummun kierros kestää

$$T=\frac{1}{f}=\frac{1}{20\mathrm{Hz}}=0,05\mathrm{s},$$

viisi sadasosasekuntia. Ei ihme, että pyykin näet luukusta vain sumuna.

Kaarella mitattu kulma

Karuselli kiertyy jossain ajassa tietyn kulman verran. Asteina sen osaa mitata: neljännes kierrosta on 90°, kokonainen kierros 360°. Fysiikka mittaa kulmia kuitenkin mieluummin radiaaneina, ja kohta nähdään miksi.

Kuvittele kulma, jonka kärki on ympyrän keskipisteessä. Sen kyljet rajaavat ympyrän kehästä kaaren, jonka pituus on s. Suuremmalla ympyrällä saman kulman kaari on pidempi, täsmälleen niin monta kertaa kuin säde on suurempi: kaksi kertaa suurempi ympyrä, kaksi kertaa pidempi kaari. Kaaren pituuden ja säteen suhde ei siksi riipu ympyrän koosta vaan vain kulmasta. Juuri tämä suhde kertoo kulman suuruuden radiaaneina:

$$\phi =\frac{s}{r}$$

Kulmaa, jonka verran kappale ympyrällä kiertyy, sanotaan kiertokulmaksi, ja sitä merkitään kreikkalaisella kirjaimella φ (fii). Yksi radiaani on kulma, jonka kaari on yhtä pitkä kuin säde. Luku radiaaneina kertoo siksi, montako sädettä kaareen mahtuu.

Entä montako radiaania on kokonainen kierros? Kaari on silloin koko ympyrän kehä, eli 2π · r:

$$\phi =\frac{2\pi \cdot r}{r}=2\pi$$

Säde supistui, kuten odotettiinkin. Kokonaisessa kierroksessa on 2π radiaania, suunnilleen 6,28:

$$360°=2\pi \mathrm{rad}$$

Puoli kierrosta on π rad = 180°, neljännes kierrosta $\frac{\pi }{2}\mathrm{rad}=90°$. Yksi radiaani on $\frac{360°}{2\pi }\approx 57,3°$, joten koko ympyrään mahtuu kuusi radiaania ja vähän päälle.

Katsotaan, mitä yksiköille kävi. Kaaren pituus ja säde ovat metreinä ja jaettaessa metrit supistuvat, $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}}=1$. Radiaani on siksi dimensioton yksikkö, oikeastaan pelkkä luku, kuten kartan mittakaavakin, sekin on kahden pituuden suhde. Tunnus rad muistuttaa vain siitä, että luku tarkoittaa kulmaa, ja laskuissa sen saa kirjoittaa tai jättää pois. Siitä on pian hyötyä.

Palataan karusellille. Sisempi hevonen, 2 m keskipisteestä, siirtyy kaarellaan 3 m. Kuinka suuren kulman verran se kiertyi? Sijoitetaan kaavaan kaari ja säde:

$$\phi =\frac{s}{r}=\frac{3\mathrm{m}}{2\mathrm{m}}=1,5\mathrm{rad}$$

Säde mahtuu kaareen puolitoista kertaa. Asteina se on 1,5 · 57,3° ≈ 86°, melkein neljännes kierrosta.

Miksei asteita? Luku 360 on sopimus, joka on peritty vanhoilta babylonialaisilta, kun taas radiaani syntyy suoraan ympyrästä. Sen ansiosta kaaren pituus lasketaan aivan yksinkertaisesti, s = φ · r. Asteilla kaavassa kummittelisi murtoluku $\frac{2\pi }{360}$. Fysiikan kaavoissa kulmat siksi sijoitetaan lähes aina radiaaneina. Joka laskee tällaisen kulman sinin tai kosinin laskimella, joutuu vaihtamaan laskimen tilasta DEG tilaan RAD. Joka haluaa tietää radiaaneista enemmän, löytää ne artikkelista Kulman kaarimitta.

Kulmanopeus

Karusellin pyörimisvauhtia kuvaa kulmanopeus ω (oomega). Se on kulma, jonka verran kiertyy aikayksikössä:

$$\omega =\frac{\phi }{t}$$

Kulma mitataan radiaaneina ja ajan sekunteina, joten kulmanopeus mitataan yksiköllä rad/s. Tasaisessa ympyräliikkeessä kappale kiertyy yhtä pitkinä aikoina yhtä suuret kulmat, joten kulmanopeus on vakio.

Yhden jaksonajan aikana karuselli kiertyy kokonaisen kierroksen, 2π radiaania. Siksi

$$\omega =\frac{2\pi }{T}.$$

Kaavaan sijoitetaan karusellin jaksonaika:

$$\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{10\mathrm{s}}=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 0,63\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Joka sekunti karuselli kiertyy vähän yli puoli radiaania, eli noin 36°. Sekuntiviisari on jaksonajalla 60 s kuusi kertaa hitaampi, $\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{60\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,105}\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Koska $\frac{1}{T}=f$, pätee myös ω = 2π · f. Pesukoneen rummun kulmanopeus on

$$\omega =2\pi \cdot 20\mathrm{Hz}=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 126\mathrm{rad}/\mathrm{s}.$$

Taajuuden ja kulmanopeuden voi helposti sekoittaa, joten ole tarkkana. Molemmat kuvaavat, kuinka nopeasti karuselli pyörii, vain eri yksiköissä: taajuus kierroksina sekunnissa, kulmanopeus radiaaneina sekunnissa. Yhdessä kierroksessa on 2π radiaania, ja siksi kulmanopeuden luku on aina 2π kertaa suurempi kuin taajuuden. Joka unohtaa 2π:n, saa karusellille 0,1 rad/s arvon 0,63 rad/s sijaan. Radiaani on pelkkä luku, joten rad/s ja Hz ovat supistamisen jälkeen kumpikin vain ”sekunnissa”. Kulmanopeutta ei silti kirjoiteta hertseinä, juuri jotta kukaan ei sekoittaisi sitä taajuuteen.

Vakiokulmanopeudella kulma saadaan samoin kuin matka tasaisessa suoraviivaisessa liikkeessä, vain nopeuden tilalla on kulmanopeus ja matkan tilalla kulma. Kaavasta $\omega =\frac{\phi }{t}$ saadaan kertomalla ajalla φ = ω · t. Ajassa 2,5 s karuselli kiertyy

$$\phi =\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2,5\mathrm{s}=\frac{\pi }{2}\mathrm{rad},$$

eli neljänneksen kierroksesta. Neljännes jaksonajasta kestää täsmälleen 2,5 s.

Kulmanopeudessa on olennaista, että se on koko karusellille yhteinen. Reunalla oleva hevonen ja keskuksen lähellä oleva hevonen kiertävät kerran ympäri samassa kymmenessä sekunnissa, joka sekunti saman kulman.

Miksi reuna kulkee nopeammin

Karusellilla ajaa vierekkäin kaksi hevosta, sisempi 2 m ja ulompi 4 m keskipisteestä. Ne kulkevat yhdessä kuin samalla tangolla, ja siksi ne kiertyvät samassa ajassa saman kulman. Ulompi hevonen kulkee kuitenkin suuremmalla ympyrällä, ja siksi se kulkee samassa ajassa kaksi kertaa pidemmän kaaren. Molemmat tekevät ajelun aikana yhtä monta kierrosta, mutta ulomman hevosen kierros on kaksi kertaa pidempi. Animaatio näyttää sen: säde, jolla molemmat hevoset ovat, kiertyy kokonaisuutena, kulma on yhteinen ja punainen jälki silti kasvaa kaksi kertaa nopeammin kuin sininen.

Samassa ajassa kaksinkertainen matka tarkoittaa kaksinkertaista nopeutta. Lasketaan se. Yhdellä kierroksella hevonen kulkee koko ympyränsä kehän 2π · r ja siihen kuluu yksi jaksonaika T. Nopeus on matka jaettuna ajalla:

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}$$

Huomaa, että r on etäisyys keskipisteestä, sen ympyrän säde, jota hevonen kulkee, eikä koko karusellin halkaisija. Ulommalle hevoselle sijoitetaan 4 m:

$$v=\frac{2\pi \cdot 4\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Se on suunnilleen 9 km/h, reipas hölkkä. Sisempi hevonen:

$$v=\frac{2\pi \cdot 2\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Se on noin 4,5 km/h, tavallista kävelyä. Joka seisoo täsmälleen keskellä, pyörii paikallaan eikä kulje minnekään. Siksi lapset tappelevat reunan hevosista, siellähän myös tuulee enemmän. Joka istuu keskuksen lähelle, ratsastaa oikeastaan ponilla.

Nopeuteen voi päästä myös kulmanopeuden kautta. Nopeus on matka ajassa, $v=\frac{s}{t}$, ja matka ympyrällä on kaaren pituus s = φ · r. Sijoitetaan:

$$v=\frac{\phi \cdot r}{t}=\frac{\phi }{t}\cdot r$$

Murtoluku $\frac{\phi }{t}$ on kulmanopeus, joten

$$v=\omega \cdot r.$$

Nopeutta v sanotaan tässä erikseen ratanopeudeksi, jotta sitä ei sekoiteta kulmanopeuteen. Samalla kulmanopeudella se kasvaa suoraan verrannollisesti etäisyyteen keskipisteestä. Tarkistetaan se ulommalla hevosella:

$$v=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 4\mathrm{m}=\frac{4\pi }{5}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Täsmää. Sisemmälle hevoselle tulee $\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2\mathrm{m}\approx 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$, täsmälleen puolet. Katso yksiköitä: radiaani sekunnissa kertaa metri antaa metrin sekunnissa, koska radiaani on pelkkä luku ja katoaa tuloksesta jäljettömiin. Jos kulma sijoitettaisiin asteina, tulisi järjetön luku, sillä kaava s = φ · r pätee vain radiaaneille.

Kaava palvelee myös toiseen suuntaan. Karusellin omistaja haluaisi, että ulompi hevonen kulkee nopeudella 3 m/s. Kuinka nopeasti karusellin täytyy pyöriä? Yhtälön v = ω · r molemmat puolet jaetaan säteellä:

$$\omega =\frac{v}{r}=\frac{3\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{m}}=0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Jaksonaika saadaan yhtälöstä $\omega =\frac{2\pi }{T}$, siinä riittää vaihtaa jaksonaika ja kulmanopeus keskenään:

$$T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi \mathrm{rad}}{0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}}\approx 8,4\mathrm{s}$$

Yhden karusellikierroksen täytyy siis kestää noin kahdeksan ja puoli sekuntia kymmenen sijaan. Sisempi hevonen kulkee silloin puolta nopeutta, 1,5 m/s.

Vastakkaista ääripäätä edustaa kello. Minuuttiviisarin kärki, kun viisari on 10 cm pitkä, kiertää jaksonajalla 3 600 s, joten

$$v=\frac{2\pi \cdot 0,1\mathrm{m}}{3600\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,000}17\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Se on noin kuudesosamillimetri sekunnissa, joten etana ohittaisi sen. Viisarin liikettä ei siksi näe silmällä, mutta viiden minuutin jälkeen sen jo huomaa.

Lopuksi palataan pesukoneeseen. Rummun säde on noin 25 cm, eli 0,25 m, ja kulmanopeus 40π rad/s:

$$v=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 0,25\mathrm{m}=10\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 31,4\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Se on noin 113 km/h. Rummun seinää vasten painunut sukka syöksyy linkouksessa moottoritieauton nopeudella, vaikka pesukone pysyy paikallaan kylpyhuoneessa.

Karusellin hevonen ja sukka rummussa kulkevat koko ajan yhtä nopeasti, ja silti niiden nopeusnuoli osoittaa joka hetki johonkin muualle. Miksi tällainen liike on kiihtyvää, minne tuo kiihtyvyys osoittaa ja kuinka suuri se on, näyttää seuraava artikkeli, Keskeiskiihtyvyys.