Mișcarea circulară uniformă

Calul de la carusel, vârful acului secundar sau o pietricică prinsă în profilul unei anvelope (privită din mașină) se mișcă pe un cerc. Dacă își păstrează tot timpul același ritm, vorbim despre mișcare circulară uniformă: traiectoria este un cerc, iar mărimea vitezei nu se schimbă. În intervale de timp egale, corpul descrie arce de cerc de lungimi egale.

Direcția vitezei, în schimb, se schimbă fără încetare, pentru că săgeata vitezei este mereu tangentă la cerc. Mișcarea este uniformă doar în privința mărimii vitezei. Cum o putem descrie prin numere?

Pe o dreaptă era de ajuns un singur număr pentru a stabili poziția, coordonata pe axă. Pe cerc ne ajunge tot un singur număr: unghiul cu care s-a rotit corpul față de start. De aceea unghiurile ne vor însoți la fiecare pas.

Perioada și frecvența

Caruselul de la bâlci pornește și apoi se rotește mereu în același ritm. Stai lângă el cu un cronometru și măsori că prietena ta de pe cal trece pe lângă tine la fiecare zece secunde. Durata unei rotații complete se numește perioadă, se notează cu T și se măsoară în secunde:

$$T=10\mathrm{s}$$

Putem întreba și invers: câte rotații face caruselul într-o secundă. Aceasta este frecvența ν. Dacă o rotație durează zece secunde, într-o secundă caruselul face o zecime de rotație. În general, frecvența se calculează ca o rotație împărțită la perioadă:

$$\nu =\frac{1}{T}$$

Înlocuim:

$$\nu =\frac{1}{10\mathrm{s}}=0,1{\mathrm{s}}^{-1}$$

Unitatea „pe secundă”, adică $\frac{1}{\mathrm{s}}$, poartă numele de hertz și simbolul Hz. Caruselul are frecvența 0,1 Hz. Relația este valabilă și invers, $T=\frac{1}{\nu }$: cu cât sunt mai multe rotații pe secundă, cu atât o rotație este mai scurtă. Perioada și frecvența spun același lucru, privit din direcții opuse: una indică secundele pe rotație, cealaltă rotațiile pe secundă.

Acul secundar înconjoară cadranul într-un minut, deci perioada lui este T = 60 s, iar frecvența $\nu =\frac{1}{60\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,017}\mathrm{Hz}$. Perioada acului minutar este o oră întreagă, 3.600 s. Ce se târăște are perioadă lungă și frecvență mică; la ce se grăbește e invers.

Motoarele și mașinile de spălat indică frecvența în rotații pe minut. O mașină de spălat care stoarce la 1.200 rot/min rotește tamburul de o mie două sute de ori pe minut. Un minut are șaizeci de secunde, deci pe secundă sunt

$$\nu =\frac{1.200\mathrm{rot}}{60\mathrm{s}}=20\mathrm{rot}/\mathrm{s}=20\mathrm{Hz}.$$

Numărul de rotații este un simplu număr, deci rotațiile pe secundă și hertzii coincid. O rotație a tamburului durează

$$T=\frac{1}{\nu }=\frac{1}{20\mathrm{Hz}}=0,05\mathrm{s},$$

cinci sutimi de secundă. Nu e de mirare că rufele din spatele hubloului le vezi doar ca pe o pată neclară.

Unghiul măsurat cu arcul

Într-un interval de timp caruselul se rotește cu un anumit unghi. În grade știm să-l măsurăm: un sfert de rotație înseamnă 90°, o rotație întreagă 360°. Fizica preferă însă să măsoare unghiurile în radiani și vom vedea îndată de ce.

Închipuie-ți un unghi cu vârful în centrul cercului. Laturile lui taie pe cerc un arc de lungime s. Pe un cerc mai mare arcul aceluiași unghi este mai lung, și anume exact de câte ori este mai mare raza: un cerc de două ori mai mare, un arc de două ori mai lung. Raportul dintre lungimea arcului și rază nu depinde deci de mărimea cercului, ci doar de unghi. Tocmai acest raport dă mărimea unghiului în radiani:

$$\phi =\frac{s}{r}$$

Unghiul cu care se rotește corpul pe cerc îl numim unghi la centru (deplasare unghiulară) și îl notăm cu litera greacă φ (fi). Un radian este unghiul al cărui arc are aceeași lungime ca raza. Numărul în radiani spune deci de câte ori încape raza în arc.

Și câți radiani are o rotație întreagă? Arcul este atunci întreaga lungime a cercului, adică 2π · r:

$$\phi =\frac{2\pi \cdot r}{r}=2\pi$$

Raza s-a simplificat, așa cum ne așteptam. O rotație întreagă are 2π radiani, aproximativ 6,28:

$$360°=2\pi \mathrm{rad}$$

O jumătate de rotație este π rad = 180°, un sfert de rotație $\frac{\pi }{2}\mathrm{rad}=90°$. Un radian este $\frac{360°}{2\pi }\approx 57,3°$, deci într-un cerc întreg încap șase radiani și ceva pe deasupra.

Să vedem ce s-a întâmplat cu unitățile. Lungimea arcului și raza sunt în metri, iar la împărțire metrii se simplifică, $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}}=1$. Radianul este de aceea o unitate adimensională, de fapt un simplu număr, la fel ca scara hărții, care este și ea raportul a două lungimi. Simbolul rad doar amintește că numărul reprezintă un unghi, iar în calcule îl putem scrie sau omite. Ne va folosi imediat.

Să revenim la carusel. Calul din interior, la 2 m de centru, se deplasează pe arcul său cu 3 m. Cu ce unghi s-a rotit? În formulă înlocuim arcul și raza:

$$\phi =\frac{s}{r}=\frac{3\mathrm{m}}{2\mathrm{m}}=1,5\mathrm{rad}$$

Raza încape în arc de o dată și jumătate. În grade este 1,5 · 57,3° ≈ 86°, aproape un sfert de rotație.

De ce nu grade? Numărul 360 este o convenție moștenită de la vechii babilonieni, în timp ce radianul decurge direct din cerc. Datorită lui, lungimea arcului se calculează foarte simplu, s = φ · r. Cu gradele ar apărea în formulă fracția $\frac{2\pi }{360}$. În formulele de fizică unghiurile se înlocuiesc de aceea aproape întotdeauna în radiani. Cine calculează pe calculator sinusul sau cosinusul unui astfel de unghi trebuie să-l treacă din modul DEG în RAD. Cine vrea să afle mai multe despre radiani găsește detalii în articolul Măsura în radiani a unghiului.

Viteza unghiulară

Ritmul de rotație al caruselului îl exprimă viteza unghiulară ω (omega). Este unghiul cu care se rotește corpul într-o unitate de timp:

$$\omega =\frac{\phi }{t}$$

Unghiul îl măsurăm în radiani, iar timpul în secunde, deci viteza unghiulară se măsoară în rad/s. La mișcarea circulară uniformă corpul se rotește în intervale de timp egale cu unghiuri egale, așa că viteza unghiulară este constantă.

Într-o perioadă caruselul face o rotație completă, adică se rotește cu 2π radiani. De aceea

$$\omega =\frac{2\pi }{T}.$$

În formulă intră perioada caruselului nostru:

$$\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{10\mathrm{s}}=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 0,63\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

În fiecare secundă caruselul se rotește cu ceva mai mult de o jumătate de radian, adică cu aproximativ 36°. Acul secundar, cu perioada 60 s, este de șase ori mai lent, $\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{60\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,105}\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Deoarece $\frac{1}{T}=\nu$, este valabilă și relația ω = 2π · ν. Tamburul mașinii de spălat are viteza unghiulară

$$\omega =2\pi \cdot 20\mathrm{Hz}=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 126\mathrm{rad}/\mathrm{s}.$$

Frecvența și viteza unghiulară se confundă ușor, așa că fii atent. Amândouă descriu cât de repede se rotește caruselul, doar că în unități diferite: frecvența în rotații pe secundă, viteza unghiulară în radiani pe secundă. O rotație are 2π radiani, de aceea viteza unghiulară este întotdeauna un număr de 2π ori mai mare decât frecvența. Cine uită 2π obține pentru carusel 0,1 rad/s în loc de 0,63 rad/s. Radianul este un simplu număr, deci după simplificare atât rad/s, cât și Hz înseamnă doar „pe secundă”. Totuși viteza unghiulară nu o scriem în hertzi, tocmai ca să nu o confunde nimeni cu frecvența.

Când viteza unghiulară este constantă, unghiul se obține la fel ca distanța parcursă la mișcarea rectilinie uniformă, doar că în loc de viteză avem viteza unghiulară, iar în loc de distanță, unghiul. Din $\omega =\frac{\phi }{t}$, înmulțind cu timpul, obținem φ = ω · t. În 2,5 s caruselul se rotește cu

$$\phi =\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2,5\mathrm{s}=\frac{\pi }{2}\mathrm{rad},$$

adică cu un sfert de rotație. Un sfert de perioadă durează de altfel tocmai 2,5 s.

Esențial la viteza unghiulară este că ea este comună întregului carusel. Calul de la margine și calul de lângă centru fac câte o rotație completă în aceleași zece secunde și se rotesc în fiecare secundă cu același unghi.

De ce merge marginea mai repede

Pe carusel merg unul lângă altul doi cai, cel din interior la 2 m de centru și cel din exterior la 4 m de centru. Se mișcă împreună, ca prinși de aceeași bară, și de aceea în același timp descriu același unghi. Calul din exterior însă merge pe un cerc mai mare și de aceea în același timp parcurge un arc de două ori mai lung. Amândoi fac în timpul plimbării același număr de ture, numai că tura calului din exterior este de două ori mai lungă. Animația arată asta: raza cu cei doi cai se rotește ca un întreg, unghiul îl au comun, iar urma roșie crește totuși de două ori mai repede decât cea albastră.

În același timp, o distanță dublă înseamnă o viteză dublă. Hai să o calculăm. Într-o rotație calul parcurge întreaga lungime a cercului său, 2π · r, și îi ia o perioadă T. Viteza este distanța împărțită la timp:

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}$$

Atenție, r este distanța de la centru, raza cercului pe care merge calul, și nu diametrul întregului carusel. Pentru calul din exterior înlocuim 4 m:

$$v=\frac{2\pi \cdot 4\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Asta înseamnă aproximativ 9 km/h, un trap potrivit. Calul din interior:

$$v=\frac{2\pi \cdot 2\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Asta înseamnă aproximativ 4,5 km/h, un mers obișnuit. Cine stă exact în centru se rotește pe loc și nu merge nicăieri. De aceea se bat copiii pe caii de la margine, de altfel acolo și bate mai tare vântul. Cine se așază lângă centru călărește, de fapt, un ponei.

La viteză se poate ajunge și pornind de la viteza unghiulară. Viteza este distanța parcursă în unitatea de timp, $v=\frac{s}{t}$, iar distanța parcursă pe cerc este lungimea arcului s = φ · r. Înlocuim:

$$v=\frac{\phi \cdot r}{t}=\frac{\phi }{t}\cdot r$$

Fracția $\frac{\phi }{t}$ este viteza unghiulară, deci

$$v=\omega \cdot r.$$

Viteza v se mai numește viteză liniară, ca să nu se confunde cu cea unghiulară. La aceeași viteză unghiulară ea crește direct proporțional cu distanța de la centru. Verificăm pe calul din exterior:

$$v=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 4\mathrm{m}=\frac{4\pi }{5}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Se potrivește. Pentru calul din interior iese $\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2\mathrm{m}\approx 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$, exact jumătate. Uită-te la unități: radian pe secundă ori metru dă metru pe secundă, pentru că radianul este un simplu număr și dispare din rezultat fără urmă. Dacă am fi înlocuit unghiul în grade, ar fi ieșit un număr fără sens, fiindcă formula s = φ · r este valabilă doar pentru radiani.

Formula servește și în sens invers. Proprietarul caruselului ar vrea ca calul din exterior să meargă cu 3 m/s. Cu ce viteză trebuie să se rotească caruselul? Din relația v = ω · r împărțim ambele părți la rază:

$$\omega =\frac{v}{r}=\frac{3\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{m}}=0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Perioada o obținem din relația $\omega =\frac{2\pi }{T}$, în care e de ajuns să schimbăm între ele perioada și viteza unghiulară:

$$T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi \mathrm{rad}}{0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}}\approx 8,4\mathrm{s}$$

O rotație a caruselului trebuie deci să dureze aproximativ opt secunde și jumătate în loc de zece. Calul din interior va merge atunci cu jumătate din viteză, 1,5 m/s.

Pentru extrema cealaltă ne uităm la ceas. Vârful unui ac minutar lung de 10 cm se rotește cu perioada 3.600 s, deci

$$v=\frac{2\pi \cdot 0,1\mathrm{m}}{3.600\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,000}17\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Asta înseamnă aproximativ o șesime de milimetru pe secundă, așa că un melc l-ar depăși. De aceea mișcarea acului nu se vede cu ochiul liber, dar după cinci minute se observă deja.

La final revenim la mașina de spălat. Tamburul are raza de aproximativ 25 cm, adică 0,25 m, și viteza unghiulară 40π rad/s:

$$v=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 0,25\mathrm{m}=10\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 31,4\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Asta înseamnă aproximativ 113 km/h. Un ciorap lipit de peretele tamburului gonește la stoarcere cu viteza unei mașini pe autostradă, deși mașina de spălat rămâne pe loc în baie.

Calul de la carusel și ciorapul din tambur merg mereu la fel de repede, și totuși săgeata vitezei lor arată în fiecare clipă în altă parte. De ce o astfel de mișcare este accelerată, încotro arată accelerația și cât este de mare, vei afla în articolul următor, Accelerația centripetă.