Ομαλή κυκλική κίνηση

Το αλογάκι ενός καρουζέλ, η άκρη του δευτερολεπτοδείκτη ή ένα βοτσαλάκι σφηνωμένο στο πέλμα ενός ελαστικού (όπως φαίνεται από το αυτοκίνητο) κινούνται σε κύκλο. Αν κρατούν συνεχώς τον ίδιο ρυθμό, μιλάμε για ομαλή κυκλική κίνηση: η τροχιά είναι κύκλος και το μέτρο της ταχύτητας δεν αλλάζει. Σε ίσους χρόνους διαγράφονται ίσα τόξα.

Η κατεύθυνση της ταχύτητας αντίθετα αλλάζει διαρκώς, επειδή το βέλος της ταχύτητας δείχνει πάντα κατά την εφαπτομένη του κύκλου. Η κίνηση είναι ομαλή μόνο ως προς το μέτρο της ταχύτητας. Πώς την περιγράφουμε με αριθμούς;

Πάνω σε ευθεία αρκεί ένας αριθμός για να προσδιορίσουμε τη θέση, η θέση πάνω στον άξονα. Και στον κύκλο αρκεί ένας αριθμός: η γωνία κατά την οποία έχει στραφεί το σώμα από την εκκίνηση. Οι γωνίες θα μας συνοδεύουν γι' αυτό σε κάθε βήμα.

Περίοδος και συχνότητα

Το καρουζέλ στο λούνα παρκ ξεκινά και μετά περιστρέφεται συνεχώς με τον ίδιο ρυθμό. Στέκεσαι δίπλα του με ένα χρονόμετρο και μετράς ότι η φίλη σου πάνω στο αλογάκι περνά μπροστά σου κάθε δέκα δευτερόλεπτα. Τον χρόνο μιας περιστροφής τον ονομάζουμε περίοδο, τη συμβολίζουμε T και μετριέται σε δευτερόλεπτα:

$$T=10\mathrm{s}$$

Μπορούμε να ρωτήσουμε και αντίστροφα: πόσες περιστροφές προλαβαίνει να κάνει το καρουζέλ σε ένα δευτερόλεπτο. Αυτή είναι η συχνότητα f. Αν μία περιστροφή διαρκεί δέκα δευτερόλεπτα, σε ένα δευτερόλεπτο το καρουζέλ προλαβαίνει το ένα δέκατο της περιστροφής. Γενικά τη συχνότητα την υπολογίζουμε ως μία περιστροφή διά την περίοδο:

$$f=\frac{1}{T}$$

Αντικαθιστούμε:

$$f=\frac{1}{10\mathrm{s}}=0,1{\mathrm{s}}^{-1}$$

Η μονάδα «ανά δευτερόλεπτο», δηλαδή $\frac{1}{\mathrm{s}}$, έχει το όνομα χερτζ και το σύμβολο Hz. Το καρουζέλ έχει συχνότητα 0,1 Hz. Η σχέση ισχύει και αντίστροφα, $T=\frac{1}{f}$: όσο περισσότερες οι περιστροφές το δευτερόλεπτο, τόσο μικρότερη η διάρκεια μιας περιστροφής. Η περίοδος και η συχνότητα λένε το ίδιο πράγμα από αντίθετες πλευρές: η μία δίνει τα δευτερόλεπτα ανά περιστροφή, η άλλη τις περιστροφές ανά δευτερόλεπτο.

Ο δευτερολεπτοδείκτης κάνει τον γύρο του καντράν σε ένα λεπτό, η περίοδός του είναι λοιπόν T = 60 s και η συχνότητά του $f=\frac{1}{60\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,017}\mathrm{Hz}$. Η περίοδος του λεπτοδείκτη είναι ολόκληρη ώρα, 3.600 s. Ό,τι σέρνεται έχει μεγάλη περίοδο και μικρή συχνότητα, ό,τι τρέχει έχει το αντίθετο.

Για τους κινητήρες και τα πλυντήρια η συχνότητα δίνεται σε στροφές ανά λεπτό. Ένα πλυντήριο που στύβει στις 1.200 στρ/min γυρίζει το τύμπανο χίλιες διακόσιες φορές το λεπτό. Το λεπτό έχει εξήντα δευτερόλεπτα, άρα το δευτερόλεπτο είναι

$$f=\frac{1.200\mathrm{\sigma }\mathrm{\tau }\mathrm{\rho }}{60\mathrm{s}}=20\mathrm{\sigma }\mathrm{\tau }\mathrm{\rho }/\mathrm{s}=20\mathrm{Hz}.$$

Η στροφή είναι απλώς ένας αριθμός, άρα οι στροφές ανά δευτερόλεπτο και τα χερτζ ταυτίζονται. Μία στροφή του τυμπάνου διαρκεί

$$T=\frac{1}{f}=\frac{1}{20\mathrm{Hz}}=0,05\mathrm{s},$$

πέντε εκατοστά του δευτερολέπτου. Δεν είναι περίεργο που τα ρούχα πίσω από το τζαμάκι τα βλέπεις μόνο σαν θολή κηλίδα.

Γωνία μετρημένη με τόξο

Σε κάποιο χρονικό διάστημα το καρουζέλ στρέφεται κατά μια ορισμένη γωνία. Σε μοίρες ξέρουμε να τη μετράμε: το ένα τέταρτο της στροφής είναι 90°, ολόκληρη η στροφή 360°. Η φυσική όμως προτιμά να μετρά τις γωνίες σε ακτίνια και αμέσως θα δούμε γιατί.

Φαντάσου μια γωνία με κορυφή στο κέντρο ενός κύκλου. Οι πλευρές της αποκόπτουν πάνω στον κύκλο ένα τόξο μήκους s. Σε μεγαλύτερο κύκλο το τόξο της ίδιας γωνίας είναι μακρύτερο, και μάλιστα ακριβώς τόσες φορές όσες φορές είναι μεγαλύτερη η ακτίνα: διπλάσιος κύκλος, διπλάσιο τόξο. Το πηλίκο του μήκους του τόξου και της ακτίνας δεν εξαρτάται λοιπόν από το μέγεθος του κύκλου, μόνο από τη γωνία. Ακριβώς αυτό το πηλίκο δίνει το μέγεθος της γωνίας σε ακτίνια:

$$\phi =\frac{s}{R}$$

Τη γωνία κατά την οποία στρέφεται ένα σώμα πάνω στον κύκλο τη λέμε γωνία που διαγράφει η επιβατική ακτίνα (το ευθύγραμμο τμήμα από το κέντρο ως το σώμα) και τη συμβολίζουμε με το ελληνικό γράμμα φ (φι). Ένα ακτίνιο είναι η γωνία της οποίας το τόξο έχει το ίδιο μήκος με την ακτίνα. Ο αριθμός σε ακτίνια λέει γι' αυτό πόσες ακτίνες χωρούν στο τόξο.

Και πόσα ακτίνια είναι μια ολόκληρη στροφή; Το τόξο είναι τότε ολόκληρο το μήκος του κύκλου, δηλαδή 2π · R:

$$\phi =\frac{2\pi \cdot R}{R}=2\pi$$

Η ακτίνα απλοποιήθηκε, όπως περιμέναμε. Μια ολόκληρη στροφή έχει 2π ακτίνια, περίπου 6,28:

$$360°=2\pi \mathrm{rad}$$

Μισή στροφή είναι π rad = 180°, ένα τέταρτο της στροφής $\frac{\pi }{2}\mathrm{rad}=90°$. Ένα ακτίνιο είναι $\frac{360°}{2\pi }\approx 57,3°$, άρα σε έναν ολόκληρο κύκλο χωρούν έξι ακτίνια και κάτι παραπάνω.

Ας δούμε τι έγινε με τις μονάδες. Το μήκος του τόξου και η ακτίνα είναι σε μέτρα και στη διαίρεση τα μέτρα απλοποιούνται, $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}}=1$. Το ακτίνιο είναι γι' αυτό αδιάστατη μονάδα, στην ουσία ένας απλός αριθμός, όπως η κλίμακα ενός χάρτη, κι αυτή είναι πηλίκο δύο μηκών. Το σύμβολο rad απλώς υπενθυμίζει ότι ο αριθμός εκφράζει γωνία και στους υπολογισμούς μπορούμε και να το γράψουμε και να το παραλείψουμε. Αμέσως θα μας φανεί χρήσιμο.

Ας γυρίσουμε στο καρουζέλ. Το εσωτερικό αλογάκι, 2 m από το κέντρο, μετακινείται πάνω στο τόξο του κατά 3 m. Κατά ποια γωνία έχει στραφεί; Στον τύπο αντικαθιστούμε το τόξο και την ακτίνα:

$$\phi =\frac{s}{R}=\frac{3\mathrm{m}}{2\mathrm{m}}=1,5\mathrm{rad}$$

Η ακτίνα χωρά στο τόξο μιάμιση φορά. Σε μοίρες είναι 1,5 · 57,3° ≈ 86°, σχεδόν ένα τέταρτο της στροφής.

Γιατί όχι μοίρες; Ο αριθμός 360 είναι συμβατική επιλογή που κληρονομήσαμε από τους αρχαίους Βαβυλώνιους, ενώ το ακτίνιο προκύπτει κατευθείαν από τον κύκλο. Χάρη σ' αυτό το μήκος τόξου υπολογίζεται πολύ απλά, s = φ · R. Με μοίρες στον τύπο αυτό θα εμφανιζόταν το κλάσμα $\frac{2\pi }{360}$. Στους τύπους της φυσικής οι γωνίες γι' αυτό αντικαθίστανται σχεδόν πάντα σε ακτίνια. Όποιος υπολογίζει ημίτονο ή συνημίτονο τέτοιας γωνίας στο κομπιουτεράκι, πρέπει να το αλλάξει από τη λειτουργία DEG σε RAD. Όποιος θέλει να μάθει περισσότερα για τα ακτίνια, θα τα βρει στο άρθρο Μέτρηση γωνιών σε ακτίνια.

Γωνιακή ταχύτητα

Τον ρυθμό περιστροφής του καρουζέλ τον εκφράζει η γωνιακή ταχύτητα ω (ωμέγα). Είναι η γωνία κατά την οποία στρέφεται στη μονάδα του χρόνου:

$$\omega =\frac{\phi }{t}$$

Τη γωνία τη μετράμε σε ακτίνια και τον χρόνο σε δευτερόλεπτα, άρα η γωνιακή ταχύτητα μετριέται σε rad/s. Στην ομαλή κυκλική κίνηση το σώμα σε ίσους χρόνους στρέφεται κατά ίσες γωνίες, και γι' αυτό η γωνιακή ταχύτητα είναι σταθερή.

Σε μία περίοδο το καρουζέλ στρέφεται κατά μία ολόκληρη στροφή, κατά 2π ακτίνια. Επομένως

$$\omega =\frac{2\pi }{T}.$$

Στον τύπο μπαίνει η περίοδος του καρουζέλ μας:

$$\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{10\mathrm{s}}=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 0,63\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Κάθε δευτερόλεπτο το καρουζέλ στρέφεται κατά κάτι παραπάνω από μισό ακτίνιο, δηλαδή περίπου 36°. Ο δευτερολεπτοδείκτης με περίοδο 60 s είναι έξι φορές πιο αργός, $\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{60\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,105}\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Επειδή $\frac{1}{T}=f$, ισχύει και ω = 2π · f. Το τύμπανο του πλυντηρίου έχει γωνιακή ταχύτητα

$$\omega =2\pi \cdot 20\mathrm{Hz}=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 126\mathrm{rad}/\mathrm{s}.$$

Τη συχνότητα και τη γωνιακή ταχύτητα εύκολα τις μπερδεύεις, γι' αυτό πρόσεχε. Και οι δύο περιγράφουν πόσο γρήγορα γυρίζει το καρουζέλ, απλώς σε διαφορετικές μονάδες: η συχνότητα σε στροφές το δευτερόλεπτο, η γωνιακή ταχύτητα σε ακτίνια το δευτερόλεπτο. Μία στροφή έχει 2π ακτίνια, και γι' αυτό η γωνιακή ταχύτητα είναι πάντα 2π φορές μεγαλύτερος αριθμός από τη συχνότητα. Όποιος ξεχάσει το 2π, βρίσκει για το καρουζέλ 0,1 rad/s αντί για 0,63 rad/s. Το ακτίνιο είναι απλός αριθμός, άρα τόσο το rad/s όσο και το Hz είναι μετά την απλοποίηση απλώς «ανά δευτερόλεπτο». Τη γωνιακή ταχύτητα ωστόσο δεν τη γράφουμε σε χερτζ, ακριβώς για να μην τη μπερδέψει κανείς με τη συχνότητα.

Με σταθερή γωνιακή ταχύτητα η γωνία προκύπτει όπως το διάστημα στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση, μόνο που στη θέση της ταχύτητας μπαίνει η γωνιακή ταχύτητα και στη θέση του διαστήματος η γωνία. Από το $\omega =\frac{\phi }{t}$ με πολλαπλασιασμό επί τον χρόνο παίρνουμε φ = ω · t. Σε 2,5 s το καρουζέλ στρέφεται κατά

$$\phi =\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2,5\mathrm{s}=\frac{\pi }{2}\mathrm{rad},$$

δηλαδή κατά το ένα τέταρτο της στροφής. Το ένα τέταρτο της περιόδου άλλωστε διαρκεί ακριβώς 2,5 s.

Το ουσιώδες στη γωνιακή ταχύτητα είναι ότι είναι κοινή για όλο το καρουζέλ. Το αλογάκι στην άκρη και το αλογάκι κοντά στο κέντρο κάνουν έναν γύρο στα ίδια δέκα δευτερόλεπτα, και κάθε δευτερόλεπτο στρέφονται κατά την ίδια γωνία.

Γιατί η άκρη κινείται ταχύτερα

Στο καρουζέλ κινούνται δίπλα δίπλα δύο αλογάκια, το εσωτερικό σε απόσταση 2 m από το κέντρο και το εξωτερικό σε απόσταση 4 m. Κινούνται μαζί σαν να βρίσκονται πάνω στην ίδια ράβδο, και γι' αυτό σε ίσο χρόνο διαγράφουν ίση γωνία. Το εξωτερικό αλογάκι όμως κινείται πάνω σε μεγαλύτερο κύκλο, και γι' αυτό στον ίδιο χρόνο διανύει διπλάσιο τόξο. Και τα δύο κάνουν στη διαδρομή τον ίδιο αριθμό γύρων, μόνο που ο γύρος του εξωτερικού είναι διπλάσιος. Η κινούμενη εικόνα το δείχνει: η ακτίνα με τα δύο αλογάκια στρέφεται ως ένα σώμα, η γωνία είναι κοινή και παρ' όλα αυτά το κόκκινο ίχνος μεγαλώνει δύο φορές πιο γρήγορα από το μπλε.

Διπλάσιο διάστημα στον ίδιο χρόνο σημαίνει διπλάσια ταχύτητα. Ας την υπολογίσουμε. Σε μία περιστροφή το αλογάκι διανύει ολόκληρο το μήκος του κύκλου του 2π · R και χρειάζεται γι' αυτό μία περίοδο T. Η ταχύτητα είναι διάστημα διά χρόνο:

$$\upsilon =\frac{2\pi \cdot R}{T}$$

Προσοχή, το R είναι η απόσταση από το κέντρο, η ακτίνα του κύκλου πάνω στον οποίο κινείται το αλογάκι, και όχι η διάμετρος ολόκληρου του καρουζέλ. Για το εξωτερικό αλογάκι αντικαθιστούμε 4 m:

$$\upsilon =\frac{2\pi \cdot 4\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Αυτό είναι περίπου 9 km/h, ένα αξιοπρεπές τροχάδην. Το εσωτερικό αλογάκι:

$$\upsilon =\frac{2\pi \cdot 2\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Αυτό είναι περίπου 4,5 km/h, ένα συνηθισμένο περπάτημα. Όποιος στέκεται ακριβώς στο κέντρο, γυρίζει στο ίδιο σημείο και δεν πηγαίνει πουθενά. Γι' αυτό τα παιδιά τσακώνονται για τα αλογάκια στην άκρη, εκεί άλλωστε φυσάει και περισσότερο. Όποιος κάθεται κοντά στο κέντρο, κάνει ουσιαστικά βόλτα με πόνι.

Στην ταχύτητα μπορούμε να φτάσουμε και από τη γωνιακή ταχύτητα. Η ταχύτητα είναι διάστημα διά χρόνο, $\upsilon =\frac{s}{t}$, και το διάστημα πάνω στον κύκλο είναι το μήκος τόξου s = φ · R. Αντικαθιστούμε:

$$\upsilon =\frac{\phi \cdot R}{t}=\frac{\phi }{t}\cdot R$$

Το κλάσμα $\frac{\phi }{t}$ είναι η γωνιακή ταχύτητα, άρα

$$\upsilon =\omega \cdot R.$$

Την ταχύτητα υ τη λέμε ειδικότερα γραμμική ταχύτητα, για να μη συγχέεται με τη γωνιακή. Για την ίδια γωνιακή ταχύτητα η γραμμική ταχύτητα αυξάνεται ανάλογα με την απόσταση από το κέντρο. Θα το επαληθεύσουμε στο εξωτερικό αλογάκι:

$$\upsilon =\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 4\mathrm{m}=\frac{4\pi }{5}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Συμφωνεί. Για το εσωτερικό αλογάκι βγαίνει $\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2\mathrm{m}\approx 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$, ακριβώς η μισή. Κοίτα τις μονάδες: ακτίνιο το δευτερόλεπτο επί μέτρο δίνει μέτρο το δευτερόλεπτο, επειδή το ακτίνιο είναι απλός αριθμός και εξαφανίζεται από το αποτέλεσμα χωρίς ίχνος. Αν αντικαθιστούσαμε τη γωνία σε μοίρες, θα έβγαινε παράλογος αριθμός, επειδή ο τύπος s = φ · R ισχύει μόνο για ακτίνια.

Ο τύπος χρησιμεύει και αντίστροφα. Ο ιδιοκτήτης του καρουζέλ θα ήθελε το εξωτερικό αλογάκι να κινείται με 3 m/s. Πόσο γρήγορα πρέπει να γυρίζει το καρουζέλ; Από τη σχέση υ = ω · R διαιρούμε και τα δύο μέλη με την ακτίνα:

$$\omega =\frac{\upsilon }{R}=\frac{3\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{m}}=0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Την περίοδο τη βρίσκουμε από τη σχέση $\omega =\frac{2\pi }{T}$, αρκεί να εναλλάξουμε σε αυτήν την περίοδο με τη γωνιακή ταχύτητα:

$$T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi \mathrm{rad}}{0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}}\approx 8,4\mathrm{s}$$

Μία περιστροφή του καρουζέλ πρέπει λοιπόν να διαρκεί περίπου οκτώμισι δευτερόλεπτα αντί για δέκα. Το εσωτερικό αλογάκι θα κινείται τότε με τη μισή ταχύτητα, 1,5 m/s.

Για το άλλο άκρο ας πάρουμε ένα ρολόι. Η άκρη ενός λεπτοδείκτη μήκους 10 cm διαγράφει κύκλο με περίοδο 3.600 s, άρα

$$\upsilon =\frac{2\pi \cdot 0,1\mathrm{m}}{3.600\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,000}17\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Αυτό είναι περίπου το ένα έκτο του χιλιοστού το δευτερόλεπτο, άρα ένα σαλιγκάρι θα τον προσπερνούσε. Την κίνηση του δείκτη γι' αυτό δεν τη βλέπουμε με γυμνό μάτι, μετά από πέντε λεπτά όμως ναι.

Στο τέλος ξαναγυρίζουμε στο πλυντήριο. Το τύμπανο έχει ακτίνα περίπου 25 cm, δηλαδή 0,25 m, και γωνιακή ταχύτητα 40π rad/s:

$$\upsilon =40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 0,25\mathrm{m}=10\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 31,4\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Αυτό είναι περίπου 113 km/h. Μια κάλτσα κολλημένη στο τοίχωμα του τυμπάνου τρέχει στο στύψιμο με ταχύτητα αυτοκινήτου στον αυτοκινητόδρομο, ενώ το πλυντήριο μένει ακίνητο στο μπάνιο.

Το αλογάκι στο καρουζέλ και η κάλτσα στο τύμπανο κινούνται συνεχώς εξίσου γρήγορα, κι όμως το βέλος της ταχύτητάς τους κάθε στιγμή δείχνει αλλού. Γιατί μια τέτοια κίνηση είναι επιταχυνόμενη, προς τα πού δείχνει η επιτάχυνση και πόση είναι, θα το δείξει το επόμενο άρθρο, Κεντρομόλος επιτάχυνση.