Ruch jednostajny po okręgu

Konik na karuzeli, koniec wskazówki sekundowej albo kamyk zaklinowany w bieżniku opony (obserwowany z samochodu) krążą po okręgu. Jeśli przy tym utrzymują cały czas to samo tempo, mówimy o ruchu jednostajnym po okręgu: torem jest okrąg, a wartość prędkości się nie zmienia. W równych odstępach czasu ciało zakreśla równie długie łuki.

Kierunek prędkości zmienia się natomiast bez przerwy, bo strzałka prędkości jest zawsze skierowana stycznie do okręgu. Ruch jest jednostajny tylko pod względem wartości prędkości. Jak opisać go liczbami?

Na prostej do określenia położenia wystarczała jedna liczba, położenie na osi. Na okręgu też wystarczy jedna liczba: kąt, o jaki ciało obróciło się od startu. Kąty będą nam więc towarzyszyć na każdym kroku.

Okres i częstotliwość

Karuzela w wesołym miasteczku rozpędza się, a potem kręci się cały czas w tym samym tempie. Stajesz obok ze stoperem i mierzysz, że koleżanka na koniku mignie ci przed oczami co dziesięć sekund. Czas jednego obiegu nazywa się okresem, oznacza się go T i mierzy w sekundach:

$$T=10\mathrm{s}$$

Możemy też zapytać odwrotnie: ile obiegów karuzela wykona w ciągu jednej sekundy. To jest częstotliwość f. Jeśli jeden obieg trwa dziesięć sekund, w ciągu jednej sekundy karuzela wykona jedną dziesiątą obiegu. W ogólności częstotliwość obliczamy jako jeden obieg podzielony przez okres:

$$f=\frac{1}{T}$$

Podstawiamy:

$$f=\frac{1}{10\mathrm{s}}=0,1{\mathrm{s}}^{-1}$$

Jednostka „na sekundę”, czyli $\frac{1}{\mathrm{s}}$, nazywa się herc i ma symbol Hz. Karuzela ma częstotliwość 0,1 Hz. Zależność działa też w drugą stronę, $T=\frac{1}{f}$: im więcej obiegów na sekundę, tym krótszy jest jeden obieg. Okres i częstotliwość mówią o tym samym z dwóch przeciwnych stron: jedno podaje sekundy na obieg, drugie obiegi na sekundę.

Wskazówka sekundowa obiega tarczę w minutę, jej okres wynosi więc T = 60 s, a częstotliwość $f=\frac{1}{60\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,017}\mathrm{Hz}$. Okres wskazówki minutowej to cała godzina, 3600 s. Co się wlecze, ma długi okres i małą częstotliwość; co pędzi, ma odwrotnie.

Silniki i pralki podają częstotliwość w obrotach na minutę. Pralka, która wiruje z prędkością 1200 obr/min, obraca bębnem tysiąc dwieście razy na minutę. Minuta ma sześćdziesiąt sekund, więc na sekundę daje to

$$f=\frac{1200\mathrm{obr}}{60\mathrm{s}}=20\mathrm{obr}/\mathrm{s}=20\mathrm{Hz}.$$

Obrót to zwykła liczba, więc obroty na sekundę i herce to to samo. Jeden obrót bębna trwa

$$T=\frac{1}{f}=\frac{1}{20\mathrm{Hz}}=0,05\mathrm{s},$$

pięć setnych sekundy. Nic dziwnego, że pranie za okienkiem widzisz tylko jako smugę.

Kąt mierzony łukiem

Karuzela w pewnym czasie obraca się o określony kąt. W stopniach umiemy go mierzyć: ćwierć obrotu to 90°, cały obrót 360°. Fizyka woli jednak mierzyć kąty w radianach i zaraz zobaczymy dlaczego.

Wyobraź sobie kąt z wierzchołkiem w środku okręgu. Jego ramiona wycinają na okręgu łuk o długości s. Na większym okręgu łuk tego samego kąta jest dłuższy, i to dokładnie tyle razy, ile razy większy jest promień: dwa razy większy okrąg, dwa razy dłuższy łuk. Iloraz długości łuku i promienia nie zależy więc od wielkości okręgu, tylko od kąta. Właśnie ten iloraz podaje miarę kąta w radianach:

$$\phi =\frac{s}{r}$$

Kąt, o jaki ciało obraca się na okręgu, nazywamy drogą kątową i oznaczamy go grecką literą φ (fi). Jeden radian to kąt, którego łuk jest tak samo długi jak promień. Liczba w radianach mówi więc, ile promieni mieści się w łuku.

A ile radianów ma cały obrót? Łukiem jest wtedy cały obwód okręgu, czyli 2π · r:

$$\phi =\frac{2\pi \cdot r}{r}=2\pi$$

Promień się skrócił, tak jak się spodziewaliśmy. Cały obrót ma 2π radianów, mniej więcej 6,28:

$$360°=2\pi \mathrm{rad}$$

Pół obrotu to π rad = 180°, ćwierć obrotu $\frac{\pi }{2}\mathrm{rad}=90°$. Jeden radian to $\frac{360°}{2\pi }\approx 57,3°$, więc w pełnym kącie mieści się sześć radianów i jeszcze kawałek.

Zobaczmy, co się stało z jednostkami. Długość łuku i promień są w metrach, a przy dzieleniu metry się skracają, $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}}=1$. Radian jest więc jednostką bezwymiarową, właściwie zwykłą liczbą, tak jak skala mapy, która też jest ilorazem dwóch długości. Symbol rad przypomina tylko, że ta liczba oznacza kąt, i w obliczeniach wolno go dopisać albo pominąć. Zaraz nam się to przyda.

Wróćmy do karuzeli. Wewnętrzny konik, 2 m od środka, przesuwa się po swoim łuku o 3 m. O jaki kąt się obrócił? Do wzoru podstawiamy łuk i promień:

$$\phi =\frac{s}{r}=\frac{3\mathrm{m}}{2\mathrm{m}}=1,5\mathrm{rad}$$

Promień mieści się w łuku półtora raza. W stopniach to 1,5 · 57,3° ≈ 86°, prawie ćwierć obrotu.

Dlaczego nie stopnie? Liczba 360 to umowa odziedziczona po starożytnych Babilończykach, a radian wynika wprost z okręgu. Dzięki temu długość łuku oblicza się całkiem prosto, s = φ · r. Ze stopniami w tym wzorze straszyłby ułamek $\frac{2\pi }{360}$. We wzorach fizycznych kąty podstawia się więc prawie zawsze w radianach. Kto liczy sinus albo cosinus takiego kąta na kalkulatorze, musi przełączyć go z trybu DEG na RAD. Kto chce wiedzieć o radianach więcej, znajdzie je w artykule Radian.

Prędkość kątowa

Tempo obracania się karuzeli wyraża prędkość kątowa ω (omega). Jest to kąt, o jaki karuzela obraca się w jednostce czasu:

$$\omega =\frac{\phi }{t}$$

Kąt mierzymy w radianach, a czas w sekundach, więc prędkość kątową mierzymy w rad/s. W ruchu jednostajnym po okręgu ciało w równych odstępach czasu obraca się o równe kąty, więc prędkość kątowa jest stała.

W ciągu jednego okresu karuzela obraca się o cały obrót, o 2π radianów. Dlatego

$$\omega =\frac{2\pi }{T}.$$

Do wzoru wstawiamy okres naszej karuzeli:

$$\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{10\mathrm{s}}=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 0,63\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Co sekundę karuzela obraca się o nieco ponad pół radiana, czyli o około 36°. Wskazówka sekundowa przy okresie 60 s jest sześć razy wolniejsza, $\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{60\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,105}\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Ponieważ $\frac{1}{T}=f$, zachodzi też ω = 2π · f. Bęben pralki ma prędkość kątową

$$\omega =2\pi \cdot 20\mathrm{Hz}=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 126\mathrm{rad}/\mathrm{s}.$$

Częstotliwość i prędkość kątową łatwo pomylić, więc uważaj. Obie opisują, jak szybko kręci się karuzela, tylko w innych jednostkach: częstotliwość w obrotach na sekundę, prędkość kątowa w radianach na sekundę. Jeden obrót ma 2π radianów, dlatego prędkość kątowa jest zawsze liczbą 2π razy większą niż częstotliwość. Kto zapomni o 2π, dostanie dla karuzeli 0,1 rad/s zamiast 0,63 rad/s. Radian jest zwykłą liczbą, więc rad/s i Hz po skróceniu oznaczają po prostu „na sekundę”. Prędkości kątowej mimo to nie zapisujemy w hercach, właśnie po to, żeby nikt nie pomylił jej z częstotliwością.

Przy stałej prędkości kątowej kąt oblicza się tak samo jak drogę w ruchu jednostajnym prostoliniowym, tylko z prędkością kątową zamiast prędkości i kątem zamiast drogi. Z $\omega =\frac{\phi }{t}$ po pomnożeniu przez czas dostajemy φ = ω · t. W ciągu 2,5 s karuzela obróci się o

$$\phi =\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2,5\mathrm{s}=\frac{\pi }{2}\mathrm{rad},$$

czyli o ćwierć obrotu. Ćwierć okresu trwa zresztą właśnie 2,5 s.

W prędkości kątowej najważniejsze jest to, że jest wspólna dla całej karuzeli. Konik przy brzegu i konik przy środku obracają się raz dookoła w tych samych dziesięciu sekundach, co sekundę o ten sam kąt.

Dlaczego brzeg jedzie szybciej

Na karuzeli obok siebie jadą dwa koniki, wewnętrzny 2 m od środka i zewnętrzny 4 m od środka. Jadą razem jak na jednym pręcie, więc w tym samym czasie zakreślają ten sam kąt. Zewnętrzny konik jedzie jednak po większym okręgu, więc w tym samym czasie pokonuje dwa razy dłuższy łuk. Oba robią w czasie jazdy tyle samo okrążeń, ale okrążenie zewnętrznego konika jest dwa razy dłuższe. Pokazuje to animacja: ramię z oboma konikami obraca się jako całość, kąt mają wspólny, a mimo to czerwony ślad rośnie dwa razy szybciej niż niebieski.

Dwa razy dłuższa droga w tym samym czasie oznacza dwa razy większą prędkość. Obliczmy ją. W ciągu jednego obiegu konik pokonuje cały obwód swojego okręgu 2π · r i zajmuje mu to jeden okres T. Prędkość to droga podzielona przez czas:

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}$$

Uwaga, r to odległość od środka, promień okręgu, po którym jedzie konik, a nie średnica całej karuzeli. Dla zewnętrznego konika podstawiamy 4 m:

$$v=\frac{2\pi \cdot 4\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

To mniej więcej 9 km/h, porządny trucht. Wewnętrzny konik:

$$v=\frac{2\pi \cdot 2\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

To około 4,5 km/h, tempo zwykłego spaceru. Kto stoi dokładnie w środku, obraca się w miejscu i nigdzie nie jedzie. Dlatego dzieci biją się o koniki na brzegu, tam przecież bardziej wieje. Kto usiądzie blisko środka, jedzie właściwie na kucyku.

Do prędkości można dojść także od prędkości kątowej. Prędkość to droga w jednostce czasu, $v=\frac{s}{t}$, a droga po okręgu to długość łuku s = φ · r. Podstawiamy:

$$v=\frac{\phi \cdot r}{t}=\frac{\phi }{t}\cdot r$$

Ułamek $\frac{\phi }{t}$ to prędkość kątowa, więc

$$v=\omega \cdot r.$$

Prędkość v nazywa się osobno prędkością liniową, żeby nie mylić jej z kątową. Przy tej samej prędkości kątowej rośnie wprost proporcjonalnie do odległości od środka. Sprawdźmy to na zewnętrznym koniku:

$$v=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 4\mathrm{m}=\frac{4\pi }{5}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Zgadza się. Dla wewnętrznego konika wychodzi $\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2\mathrm{m}\approx 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$, dokładnie połowa. Spójrz na jednostki: radian na sekundę razy metr daje metr na sekundę, bo radian jest zwykłą liczbą i bez śladu znika z wyniku. Gdybyśmy podstawili kąt w stopniach, wyszłaby bezsensowna liczba, bo wzór s = φ · r działa tylko dla radianów.

Wzór przyda się też w drugą stronę. Właściciel karuzeli chciałby, żeby zewnętrzny konik jechał 3 m/s. Jak szybko musi się kręcić karuzela? Z zależności v = ω · r dzielimy obie strony przez promień:

$$\omega =\frac{v}{r}=\frac{3\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{m}}=0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Okres dostajemy z zależności $\omega =\frac{2\pi }{T}$, wystarczy zamienić w niej miejscami okres i prędkość kątową:

$$T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi \mathrm{rad}}{0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}}\approx 8,4\mathrm{s}$$

Jeden obieg karuzeli musi więc trwać około ośmiu i pół sekundy zamiast dziesięciu. Wewnętrzny konik pojedzie wtedy z dwa razy mniejszą prędkością, 1,5 m/s.

Drugą skrajność pokaże zegar. Koniec wskazówki minutowej o długości 10 cm obiega tarczę z okresem 3600 s, więc

$$v=\frac{2\pi \cdot 0,1\mathrm{m}}{3600\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,000}17\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

To mniej więcej jedna szósta milimetra na sekundę, więc ślimak by go wyprzedził. Ruchu wskazówki dlatego nie widzimy gołym okiem, ale po pięciu minutach już tak.

Na koniec wróćmy do pralki. Bęben ma promień około 25 cm, czyli 0,25 m, i prędkość kątową 40π rad/s:

$$v=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 0,25\mathrm{m}=10\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 31,4\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

To około 113 km/h. Skarpetka przyciśnięta do ścianki bębna pędzi podczas wirowania z prędkością samochodu na autostradzie, choć pralka stoi spokojnie w łazience.

Konik na karuzeli i skarpetka w bębnie jadą cały czas tak samo szybko, a jednak ich strzałka prędkości co chwilę wskazuje gdzie indziej. Dlaczego taki ruch jest przyspieszony, dokąd skierowane jest to przyspieszenie i jak jest duże, pokaże następny artykuł, Przyspieszenie dośrodkowe.