Egyenletes körmozgás

A körhinta lova, a másodpercmutató hegye vagy az autógumi mintájába szorult kavics (az autóból nézve) körpályán halad. Ha eközben végig ugyanazt a tempót tartja, egyenletes körmozgásról beszélünk: a pálya kör, és a sebesség nagysága nem változik. Egyenlő idők alatt egyenlő hosszú íveket tesz meg.

A sebesség iránya ezzel szemben folyamatosan változik, mert a sebesség nyila mindig a kör érintője mentén mutat. A mozgás csak a sebesség nagysága szempontjából egyenletes. Hogyan írjuk le számokkal?

Egyenes mentén a helyzet megadásához egyetlen szám is elég volt, a helyzet a tengelyen. A körön is egyetlen számmal beérjük: azzal a szöggel, amellyel a test az indulás óta elfordult. A szögek ezért minden lépésnél elkísérnek minket.

Periódusidő és frekvencia

A búcsú körhintája elindul, majd mindig ugyanazzal a tempóval forog. Odaállsz mellé a stopperrel, és azt méred, hogy a barátnőd a lovon tíz másodpercenként suhan el melletted. Egy körülfordulás idejét periódusidőnek hívjuk, jele T, és másodpercben mérjük:

$$T=10\mathrm{s}$$

Fordítva is kérdezhetünk: hány körülfordulást tesz meg a körhinta egy másodperc alatt. Ez a frekvencia, f. Ha egy körülfordulás tíz másodpercig tart, a körhinta egy másodperc alatt a körülfordulás tizedét teszi meg. Általában a frekvenciát úgy számoljuk ki, hogy egy körülfordulást elosztunk a periódusidővel:

$$f=\frac{1}{T}$$

Behelyettesítünk:

$$f=\frac{1}{10\mathrm{s}}=0,1{\mathrm{s}}^{-1}$$

Az „egy per másodperc” mértékegység, vagyis $\frac{1}{\mathrm{s}}$, a hertz nevet viseli, jele Hz. A körhinta frekvenciája 0,1 Hz. Az összefüggés fordítva is igaz, $T=\frac{1}{f}$: minél több a körülfordulás másodpercenként, annál rövidebb egy körülfordulás. A periódusidő és a frekvencia ugyanarról beszél ellenkező oldalról: az egyik azt adja meg, hány másodperc jut egy körülfordulásra, a másik azt, hány körülfordulás jut egy másodpercre.

A másodpercmutató egy perc alatt jár körbe a számlapon, a periódusideje ezért T = 60 s, a frekvenciája pedig $f=\frac{1}{60\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,017}\mathrm{Hz}$. A percmutató periódusideje egy egész óra, 3600 s. Ami vánszorog, annak hosszú a periódusideje és kicsi a frekvenciája, ami száguld, annak fordítva.

A motorok és a mosógépek frekvenciáját percenkénti fordulatszámban adják meg. A mosógép, amely 1200 ford/min fordulatszámmal centrifugál, a dobját percenként ezerkétszázszor forgatja körbe. Egy percben hatvan másodperc van, így másodpercenként

$$f=\frac{1200\mathrm{ford}}{60\mathrm{s}}=20\mathrm{ford}/\mathrm{s}=20\mathrm{Hz}.$$

A fordulat puszta szám, ezért a másodpercenkénti fordulatszám és a hertz egybeesik. A dob egy körülfordulása

$$T=\frac{1}{f}=\frac{1}{20\mathrm{Hz}}=0,05\mathrm{s},$$

ideig tart, öt századmásodpercig. Nem csoda, hogy a ruhát az ablakon át csak elmosódott foltnak látod.

Az ív mentén mért szög

A körhinta egy idő alatt egy bizonyos szöggel fordul el. Fokban mérni tudjuk: negyed fordulat 90°, egy egész fordulat 360°. A fizika azonban a szögeket szívesebben méri radiánban, és mindjárt meglátod, miért.

Képzelj el egy szöget, amelynek csúcsa a kör középpontjában van. A szárai a körön s hosszú ívet metszenek ki. Nagyobb körön ugyanannak a szögnek az íve hosszabb, mégpedig pontosan annyiszor, ahányszor nagyobb a sugár: kétszer akkora körön kétszer hosszabb az ív. Az ív hosszának és a sugárnak a hányadosa ezért nem függ a kör méretétől, csak a szögtől. Éppen ez a hányados adja meg a szög nagyságát radiánban:

$$\phi =\frac{s}{r}$$

Azt a szöget, amellyel a test a körön elfordul, szögelfordulásnak nevezzük, és a görög φ betűvel (fí) jelöljük. Egy radián az a szög, amelynek íve ugyanolyan hosszú, mint a sugár. A radiánban megadott szám ezért azt mondja meg, hány sugár fér az ívre.

És hány radián egy egész fordulat? Az ív ekkor a teljes kör kerülete, vagyis 2π · r:

$$\phi =\frac{2\pi \cdot r}{r}=2\pi$$

A sugár kiesett, ahogy vártuk. Egy egész fordulat 2π radián, nagyjából 6,28:

$$360°=2\pi \mathrm{rad}$$

Fél fordulat π rad = 180°, negyed fordulat $\frac{\pi }{2}\mathrm{rad}=90°$. Egy radián $\frac{360°}{2\pi }\approx 57,3°$, így az egész körbe hat radián és még egy kicsi fér.

Nézzük meg, mi lett a mértékegységekkel. Az ív hossza és a sugár is méterben van, és az osztásnál a méterek kiesnek, $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}}=1$. A radián ezért dimenzió nélküli mértékegység, tulajdonképpen puszta szám, ugyanúgy, mint a térkép mérettaránya, az is két hossz hányadosa. A rad jel csak arra emlékeztet, hogy a szám szöget jelent, és a számításokban odaírhatjuk, de el is hagyhatjuk. Hamarosan jól fog jönni.

Térjünk vissza a körhintához. A belső ló, amely 2 m távolságra van a középponttól, az ívén 3 m utat tesz meg. Mekkora szöggel fordult el? Behelyettesítjük az ívet és a sugarat:

$$\phi =\frac{s}{r}=\frac{3\mathrm{m}}{2\mathrm{m}}=1,5\mathrm{rad}$$

A sugár másfélszer fér az ívre. Fokban ez 1,5 · 57,3° ≈ 86°, majdnem negyed fordulat.

Miért nem fok? A 360 a régi babiloniaktól örökölt megegyezés, a radián viszont közvetlenül a körből adódik. Ennek köszönhetően az ív hossza egészen egyszerűen számítható, s = φ · r. Fokkal ebben a képletben ott kísértene a $\frac{2\pi }{360}$ tört. A fizikai képletekben ezért a szögeket szinte mindig radiánban helyettesítjük be. Aki egy ilyen szög szinuszát vagy koszinuszát számolja a számológépen, annak át kell kapcsolnia DEG módról RAD módra. Aki többet szeretne tudni a radiánról, az ívmértékről szóló cikkben megtalálja.

Szögsebesség

A körhinta forgásának tempóját a szögsebesség, ω (omega) fejezi ki. Ez az a szög, amellyel a test egységnyi idő alatt elfordul:

$$\omega =\frac{\phi }{t}$$

A szöget radiánban, az időt másodpercben mérjük, a szögsebesség ezért rad/s mértékegységben adódik. Egyenletes körmozgásnál a test egyenlő idők alatt egyenlő szögekkel fordul el, így a szögsebesség állandó.

Egy periódusidő alatt a körhinta egy egész fordulatot, 2π radiánt fordul el. Ezért

$$\omega =\frac{2\pi }{T}.$$

A képletbe a mi körhintánk periódusideje megy:

$$\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{10\mathrm{s}}=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 0,63\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

A körhinta minden másodpercben valamivel több mint fél radiánnal fordul el, vagyis nagyjából 36° szöggel. A másodpercmutató 60 s periódusidővel hatszor lassabb, $\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{60\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,105}\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Mivel $\frac{1}{T}=f$, ezért ω = 2π · f is igaz. A mosógép dobjának szögsebessége

$$\omega =2\pi \cdot 20\mathrm{Hz}=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 126\mathrm{rad}/\mathrm{s}.$$

A frekvenciát és a szögsebességet könnyen összekeverheted, ezért vigyázz. Mindkettő azt írja le, milyen gyorsan forog a körhinta, csak más mértékegységben: a frekvencia fordulat per másodpercben, a szögsebesség radián per másodpercben. Egy fordulat 2π radián, ezért a szögsebesség számértéke mindig a frekvencia számértékének 2π-szerese. Aki a 2π tényezőt elfelejti, a körhintára 0,63 rad/s helyett 0,1 rad/s értéket kap. A radián puszta szám, így az rad/s és a Hz egyszerűsítés után egyaránt csak „egy per másodpercet” jelent. A szögsebességet mégsem írjuk hertzben, éppen hogy senki ne keverje össze a frekvenciával.

Állandó szögsebességnél a szög ugyanúgy jön ki, mint az út az egyenes vonalú egyenletes mozgásnál, csak a sebesség helyén a szögsebesség áll, az út helyén a szög. Az $\omega =\frac{\phi }{t}$ képletet az idővel megszorozva kapjuk, hogy φ = ω · t. 2,5 s alatt a körhinta

$$\phi =\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2,5\mathrm{s}=\frac{\pi }{2}\mathrm{rad},$$

szöggel fordul el, vagyis negyed fordulattal. A periódusidő negyede egyébként éppen 2,5 s.

A szögsebességben az a lényeges, hogy az egész körhintára közös. A szélső ló és a középhez közeli ló ugyanannyi, tíz másodperc alatt fordul körbe egyszer, minden másodpercben ugyanakkora szöggel.

Miért megy gyorsabban a körhinta széle

A körhintán két ló megy egymás mellett, a belső 2 m távolságra a középponttól, a külső 4 m távolságra. Úgy mennek együtt, mintha egy rúdon lennének, ezért ugyanannyi idő alatt ugyanakkora szöggel fordulnak el. A külső ló azonban nagyobb körön megy, ezért ugyanannyi idő alatt kétszer hosszabb ívet tesz meg. Mindkettő ugyanannyi kört tesz meg a menet alatt, csakhogy a külső ló köre kétszer hosszabb. Az animáció ezt mutatja: a két lovat összekötő sugár egészében fordul, a szögük közös, a piros nyom mégis kétszer gyorsabban nő, mint a kék.

Ugyanannyi idő alatt kétszeres út kétszeres sebességet jelent. Számoljuk ki. Egy körülfordulás alatt a ló megteszi a köre egész kerületét, 2π · r, és ez egy T periódusidőbe telik. A sebesség az út osztva az idővel:

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}$$

Vigyázat, az r a középponttól mért távolság, annak a körnek a sugara, amelyen a ló megy, és nem az egész körhinta átmérője. A külső lónál 4 m értéket helyettesítünk be:

$$v=\frac{2\pi \cdot 4\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Ez nagyjából 9 km/h, rendes ügetés. A belső ló:

$$v=\frac{2\pi \cdot 2\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Ez körülbelül 4,5 km/h, közönséges gyaloglás. Aki pontosan a közepén áll, a helyén fordul, és sehová sem megy. Ezért verekednek a gyerekek a szélső lovakért, hiszen ott jobban fúj a szél is. Aki a közép közelében ül, az tulajdonképpen egy pónin lovagol.

A sebességhez a szögsebességen keresztül is eljuthatunk. A sebesség az út osztva az idővel, $v=\frac{s}{t}$, a körön az út pedig az ív hossza, s = φ · r. Behelyettesítünk:

$$v=\frac{\phi \cdot r}{t}=\frac{\phi }{t}\cdot r$$

A $\frac{\phi }{t}$ tört a szögsebesség, ezért

$$v=\omega \cdot r.$$

A v sebességet külön kerületi sebességnek is nevezik, hogy ne keverjük össze a szögsebességgel. Azonos szögsebességnél egyenesen arányosan nő a középponttól mért távolsággal. Ellenőrizzük a külső lovon:

$$v=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 4\mathrm{m}=\frac{4\pi }{5}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Egyezik. A belső lóra $\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2\mathrm{m}\approx 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$ jön ki, pontosan a fele. Nézd meg a mértékegységeket: radián per másodperc szorozva méterrel méter per másodpercet ad, mert a radián puszta szám, és nyomtalanul eltűnik az eredményből. Ha a szöget fokban helyettesítenénk be, értelmetlen szám jönne ki, mert az s = φ · r képlet csak radiánra érvényes.

A képlet fordítva is használható. A körhinta tulajdonosa azt szeretné, hogy a külső ló 3 m/s sebességgel menjen. Milyen gyorsan kell forognia a körhintának? A v = ω · r összefüggésből mindkét oldalt elosztjuk a sugárral:

$$\omega =\frac{v}{r}=\frac{3\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{m}}=0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

A periódusidőt az $\omega =\frac{2\pi }{T}$ összefüggésből kapjuk, elég benne felcserélni a periódusidőt és a szögsebességet:

$$T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi \mathrm{rad}}{0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}}\approx 8,4\mathrm{s}$$

A körhinta egy körülfordulásának ezért körülbelül nyolc és fél másodpercig kell tartania tíz helyett. A belső ló ekkor fele akkora sebességgel megy, 1,5 m/s sebességgel.

A másik véglethez az órát hívjuk segítségül. A 10 cm hosszú percmutató hegye 3600 s periódusidővel kering, így

$$v=\frac{2\pi \cdot 0,1\mathrm{m}}{3600\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,000}17\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Ez nagyjából egy milliméter hatoda másodpercenként, vagyis egy csiga megelőzné. A mutató mozgását ezért szemmel nem látjuk, öt perc múlva viszont már igen.

Végül visszatérünk a mosógéphez. A dob sugara nagyjából 25 cm, azaz 0,25 m, a szögsebessége 40π rad/s:

$$v=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 0,25\mathrm{m}=10\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 31,4\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Ez nagyjából 113 km/h. A dob falára tapadt zokni centrifugáláskor autópályán haladó autó sebességével száguld, miközben a mosógép a fürdőszobában áll.

A körhinta lova és a zokni a dobban egyformán gyorsan megy, a sebességük nyila mégis minden pillanatban máshová mutat. Hogy miért gyorsuló az ilyen mozgás, merre mutat ez a gyorsulás és mekkora, azt a következő, Centripetális gyorsulás című cikk mutatja meg.