Accelerazione

Ai costruttori di auto piace vantarsi di quanti secondi servono alle loro vetture per passare da zero a cento. Per una normale auto di famiglia ne servono circa dieci. Che cosa dice davvero questo numero? Prima convertiamo i cento chilometri all’ora in metri al secondo:

$$100\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{100}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

In dieci secondi l’auto guadagna dunque 27,8 m/s. Se aumentasse la velocità in modo uniforme, a ogni secondo andrebbe più veloce di un decimo di questo valore, cioè di 2,78 m/s, arrotondando di 2,8 m/s. Dopo il primo secondo andrebbe a 2,8 m/s, dopo il secondo a 5,6 m/s, dopo il terzo a 8,4 m/s e dopo il decimo a quei 27,8 m/s. La grandezza che dice di quanto cambia la velocità in un secondo si chiama accelerazione.

La figura mostra due strade una sopra l’altra. Entrambe le auto lasciano un segno arancione a ogni secondo intero. L’auto in alto mantiene sempre lo stesso ritmo, 7 m/s, e i suoi segni sono quindi alla stessa distanza l’uno dall’altro. L’auto in basso parte da ferma e accelera esattamente di 2,8 m/s ogni secondo. Nel primo secondo percorre solo un tratto breve, appena un metro e mezzo, ma poi a ogni secondo ne percorre di più, perché va sempre più veloce. I suoi segni sono perciò sempre più distanti; di quanto, lo calcoleremo tra poco. Dopo cinque secondi le due auto si trovano nello stesso punto, a 35 m dalla partenza. L’auto in basso all’inizio è rimasta indietro, alla fine andava più veloce e ha raggiunto quella in alto proprio al traguardo.

Formula dell’accelerazione

Se cerchi solo la formula, l’accelerazione a si calcola dividendo la variazione di velocità Δv per il tempo Δt in cui la velocità è cambiata:

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$$

La lettera greca Δ indica una variazione. La variazione di velocità è la differenza tra la velocità alla fine e quella all’inizio. Indichiamo la velocità iniziale con v₀ e quella finale con v:

$$\mathrm{\Delta }v=v-v_0$$

Per l’auto dell’inizio scriviamo i dati:

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =0\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v& =100\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =10\mathrm{s}\\ a& =?\end{array}$$

Sostituiamo:

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}-0\mathrm{m}/\mathrm{s}}{10\mathrm{s}}\approx 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

L’auto di famiglia ha un’accelerazione di circa 2,8 m/s². In realtà l’auto non accelera allo stesso modo per tutto il tempo: con una marcia più alta aggiunge meno velocità. Il numero calcolato è quindi l’accelerazione media sull’intero intervallo di dieci secondi. L’accelerazione istantanea si ottiene con lo stesso trucco della velocità istantanea: si misura la variazione di velocità in un intervallo Δt così breve che l’accelerazione, in quel tempo, non cambia in modo apprezzabile. Chi conosce le derivate riconosce qui la derivata della velocità rispetto al tempo, a = v'(t).

Perché metri al secondo quadrato

L’unità di misura dell’accelerazione si ottiene dividendo l’unità della velocità per l’unità del tempo. Dividere per un numero equivale a moltiplicare per il suo reciproco:

$$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}\cdot \mathrm{s}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

I due secondi al denominatore sembrano strani, ma ciascuno è lì per un motivo diverso. Il primo appartiene alla velocità (quanti metri al secondo percorre l’auto), il secondo dice in quanto tempo quella velocità è cambiata. L’espressione 2,8 m/s² va quindi letta come «ogni secondo più veloce di 2,8 m/s».

Chi preferisce ragionare in chilometri all’ora può dirlo anche così: un’auto che passa da zero a cento in dieci secondi guadagna 10 km/h ogni secondo. Il risultato di 10 km/h al secondo è un’accelerazione a tutti gli effetti, solo espressa in un’unità che nessuno usa, perché mescola ore e secondi.

Attenzione a non confonderle: una grande accelerazione non significa una grande velocità. Un’auto in autostrada con il cruise control a 130 km/h ha accelerazione nulla, perché la sua velocità non cambia. Un’auto che riparte al verde all’inizio ha una velocità quasi nulla, eppure un’accelerazione notevole. L’accelerazione non dice quanto velocemente va il corpo, ma quanto velocemente cambia la sua velocità.

Perché i segni si allontanano

Guardiamo di nuovo l’auto in basso della figura. Ha un’accelerazione di 2,8 m/s², quindi nel primo secondo passa da zero a 2,8 m/s. La velocità cresce in modo uniforme, perciò nel primo secondo l’auto va in media a metà di quella velocità, 1,4 m/s, e percorre 1,4 m. Nel secondo secondo passa da 2,8 m/s a 5,6 m/s, va in media a 4,2 m/s e percorre 4,2 m, il triplo del primo. Nel terzo secondo va in media a 7 m/s, come l’auto in alto, e percorre gli stessi 7 m.

A ogni secondo la velocità media aumenta di 2,8 m/s, e il tratto di strada percorso quindi di 2,8 m. Le distanze tra i segni sono nell’ordine 1,4 m, 4,2 m, 7 m, 9,8 m e 12,6 m, nel rapporto 1:3:5:7:9, e in totale fanno 35 m. L’auto in alto va per tutto il tempo a 7 m/s e in cinque secondi percorre anch’essa 35 m. Il fatto che la velocità media stia esattamente a metà tra la velocità all’inizio e alla fine del secondo vale solo quando la velocità cresce in modo uniforme. Il perché lo spiegheremo parlando del moto uniformemente accelerato.

Frenare

Un’auto viaggia a 72 km/h, cioè 20 m/s, il conducente frena e in 4 s l’auto si ferma. La velocità finale è nulla, quella iniziale è 20 m/s:

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{0\mathrm{m}/\mathrm{s}-20\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{s}}=-5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

L’accelerazione è risultata negativa. La velocità dell’auto non aumenta, anzi diminuisce, di 5 m/s ogni secondo. Nel linguaggio comune parleremmo di decelerazione; il fisico invece dice che l’auto rallenta con un’accelerazione di −5 m/s², ovvero con una decelerazione di 5 m/s². Le due espressioni significano la stessa cosa.

Ma che cosa significa davvero il segno meno? La velocità è un vettore e l’accelerazione pure. La freccia dell’accelerazione $\overrightarrow{a}$ indica in che direzione cambia la velocità.

Entrambe le auto vanno verso destra, quindi la freccia rossa della velocità $\overrightarrow{v}$ punta a destra. L’auto in alto accelera e la freccia verde dell’accelerazione $\overrightarrow{a}$ ha lo stesso verso della velocità: a ogni secondo alla velocità si aggiunge un pezzetto e la freccia della velocità si allunga. L’auto in basso frena e la sua accelerazione ha verso opposto, all’indietro. A ogni secondo la freccia della velocità si accorcia, finché non ne resta nulla. Su una retta basta il segno per indicare il verso. Se scegliamo come verso positivo quello di marcia, come per l’auto che frena, un’accelerazione positiva ha lo stesso verso della velocità e il corpo accelera. Una negativa ha verso opposto alla velocità e il corpo rallenta.

Accelerazione in curva

Un’auto percorre una rotonda e il tachimetro segna sempre 54 km/h. Eppure la velocità come vettore cambia, perché la freccia della velocità ruota di continuo. E dove cambia la velocità, c’è accelerazione. L’accelerazione come vettore è la variazione del vettore velocità nell’unità di tempo:

$$\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{{\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1}{\mathrm{\Delta }t}$$

Per sottrarre due vettori si portano entrambe le frecce nello stesso punto. La differenza ${\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1$ è allora la freccia che va dalla punta di ${\overrightarrow{v}}_1$ alla punta di ${\overrightarrow{v}}_2$, perché se la sommiamo a ${\overrightarrow{v}}_1$ otteniamo proprio ${\overrightarrow{v}}_2$. Le frecce della velocità sulla rotonda hanno la stessa lunghezza, ma puntano in direzioni diverse, quindi la loro differenza non è nulla. Un’auto che percorre una curva a velocità costante ha un’accelerazione diversa da zero. Non la causano l’acceleratore né il freno, ma il fatto di curvare.

Esempio: Un’auto percorre un quarto di rotonda a velocità costante di 54 km/h = 15 m/s in 3 s. All’inizio va verso est, alla fine verso nord. Quanto vale la sua accelerazione media e dove punta? Scriviamo i dati:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v_2& =15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =3\mathrm{s}\\ a& =?\end{array}$$

La freccia ${\overrightarrow{v}}_1$ punta a est, nella figura verso destra, la freccia ${\overrightarrow{v}}_2$ a nord, verso l’alto.

A destra le due frecce sono portate nello stesso punto e formano un angolo retto. La differenza verde $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ va dalla punta di ${\overrightarrow{v}}_1$ alla punta di ${\overrightarrow{v}}_2$, cioè di 15 m/s a sinistra e di 15 m/s verso l’alto. È l’ipotenusa di un triangolo rettangolo, quindi il suo modulo si calcola con il teorema di Pitagora:

$$\mathrm{\Delta }v=\sqrt{{15}^2+{15}^2}\mathrm{m}/\mathrm{s}=\sqrt{450}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

La differenza punta in diagonale verso l’alto a sinistra, cioè a nord-ovest, proprio come la freccia grigia a sinistra, che va da metà del quarto di rotonda al centro. L’accelerazione si ottiene dividendo la variazione di velocità per il tempo. Dividere per un numero si limita ad accorciare la freccia, quindi anche l’accelerazione punta verso il centro della rotonda. Sostituiamo:

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}\approx \frac{21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

L’auto ha un’accelerazione media di circa 7,1 m/s² verso il centro della rotonda. È quasi come in una frenata brusca su strada asciutta, intorno a 7 m/s², e intanto il tachimetro segna sempre 54 km/h. Ecco perché in curva devi puntellarti, anche se il conducente non accelera e non frena. Abbiamo ottenuto l’accelerazione media, su tutto il quarto di rotonda. L’accelerazione istantanea in ogni punto della curva la calcoleremo con precisione parlando di accelerazione centripeta.

Forza g

L’accelerazione dell’auto la sentiamo sul nostro corpo: un’auto sportiva in partenza ti schiaccia contro il sedile. Per dire quanto forte, la si confronta con l’accelerazione di gravità g ≈ 9,81 m/s². È l’accelerazione con cui cade un sasso che lasci andare dalla mano, se l’aria non lo frena. Un’auto sportiva riesce ad andare da zero a cento in tre secondi, quindi ha un’accelerazione di

$$a=\frac{27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,$$

quasi uguale a quella di un sasso che cade.

La forza g dice quante volte più forte ti spinge il sedile, il pavimento o lo schienale rispetto a quando stai seduto tranquillo. Mentre ora sei seduto su una sedia, la forza g vale 1g, benché tu non stia accelerando. La forza g quindi non è la stessa cosa dell’accelerazione. A 4g il sedile ti spingerebbe quattro volte più forte, come se pesassi quattro volte di più.

In un’auto sportiva a tutto gas lo schienale ti spinge sulla schiena quasi con la stessa forza con cui il sedile ti spinge da sotto, perché l’auto accelera quasi come un sasso che cade. Sulle montagne russe, nel punto più basso di una valle o di un giro della morte, ti schiaccia contro il sedile una forza g da 3 a 4g. Lì il carrello cambia rapidamente direzione, da discesa a salita, e questa è una grande accelerazione diretta verso l’alto.

In discesa il sedile spinge più debolmente di quando stai seduto, nel punto più basso della valle circa tre volte più forte.

Il pilota di un caccia in una virata stretta sopporta fino a 9g, ma solo con una tuta speciale che impedisce al sangue di defluire dalla testa alle gambe. Una persona non allenata, con una forza g così, perderebbe i sensi in pochi secondi. È interessante che in caduta libera non sentiamo nulla, benché stiamo accelerando: niente ci spinge, la forza g è nulla e il corpo si trova in assenza di peso. Perché l’accelerazione la percepiamo come la spinta del sedile lo spiegherà solo la dinamica, cioè la parte sulle forze.

Il moto più semplice è quello in cui l’accelerazione non cambia affatto, come per l’auto in basso nella prima figura. La velocità cresce allora di una quantità uguale a ogni secondo, e sia lo spazio sia la velocità in un istante qualsiasi si calcolano con formule semplici. A questo moto è dedicato l’articolo successivo, Moto uniformemente accelerato.