Akselerasjon

Bilprodusenter liker å skryte av hvor mange sekunder bilen deres bruker fra null til hundre. For en vanlig familiebil blir det omtrent ti sekunder. Hva sier egentlig det tallet? Først regner vi om hundre kilometer i timen til meter per sekund:

$$100\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{100}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

På ti sekunder får bilen altså opp farten til 27,8 m/s. Hvis den la jevnt til, ville den for hvert sekund kjørt en tidel av det fortere, 2,78 m/s, avrundet 2,8 m/s. Etter det første sekundet ville den kjørt 2,8 m/s, etter det andre 5,6 m/s, etter det tredje 8,4 m/s og etter det tiende de 27,8 m/s. Størrelsen som sier hvor mye farten endrer seg per sekund, kaller vi akselerasjon.

Bildet viser to veier over hverandre. Begge bilene etterlater et oransje merke for hvert hele sekund. Den øverste bilen holder hele tiden samme tempo, 7 m/s, og merkene ligger derfor like langt fra hverandre. Den nederste bilen kommer i gang fra ro og øker farten med nøyaktig 2,8 m/s hvert sekund. I det første sekundet kommer den bare et lite stykke, knapt halvannen meter, men så stadig lenger for hvert sekund, fordi den kjører stadig fortere. Merkene dens ligger derfor stadig lenger fra hverandre, hvor mye regner vi ut om litt. Etter fem sekunder er begge bilene på samme sted, 35 m fra starten. Den nederste bilen lå først bak, kjørte til slutt fortere og tok igjen den øverste nøyaktig i mål.

Formelen for akselerasjon

Hvis du bare leter etter formelen, regner du ut akselerasjonen a ved å dele endringen i fart Δv på tiden Δt farten endret seg i løpet av:

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$$

Det greske Δ betyr endring. Endringen i fart er differansen mellom farten på slutten og i begynnelsen. Startfarten kaller vi v₀, sluttfarten v:

$$\mathrm{\Delta }v=v-v_0$$

For bilen fra innledningen skriver vi opp oppgaven:

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =0\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v& =100\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =10\mathrm{s}\\ a& =?\end{array}$$

Vi setter inn:

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}-0\mathrm{m}/\mathrm{s}}{10\mathrm{s}}\approx 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Familiebilen har en akselerasjon på omtrent 2,8 m/s². I virkeligheten akselererer ikke bilen like mye hele tiden, i et høyere gir øker den farten mindre. Tallet vi regnet ut, er derfor gjennomsnittsakselerasjonen over hele de ti sekundene. Momentanakselerasjonen får vi med samme knep som momentanfarten: vi måler endringen i fart på en så kort tid Δt at akselerasjonen ikke endrer seg merkbart i løpet av den. Den som kan derivasjon, kjenner igjen den deriverte av farten med hensyn på tiden, a = v'(t).

Hvorfor meter per sekund i andre

Enheten for akselerasjon får vi ved å dele enheten for fart på enheten for tid. Å dele på et tall er det samme som å multiplisere med den omvendte verdien:

$$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}\cdot \mathrm{s}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

De to sekundene i nevneren ser rare ut, men hver av dem står der av sin egen grunn. Den første hører til farten (hvor mange meter per sekund bilen kjører), den andre sier hvor lang tid det tok før farten endret seg. Skrivemåten 2,8 m/s² leser du derfor som «2,8 m/s fortere hvert sekund».

Den som heller regner i kilometer i timen, kan uttrykke det slik: en bil som akselererer fra null til hundre på ti sekunder, legger til 10 km/h hvert sekund. Resultatet 10 km/h per sekund er en fullverdig akselerasjon, bare i en enhet ingen bruker, fordi den blander timer med sekunder.

Pass på en vanlig forveksling: stor akselerasjon betyr ikke stor fart. En bil på motorveien med cruisekontrollen satt på 130 km/h har akselerasjon null, fordi farten ikke endrer seg. En bil som starter på grønt lys, har først nesten null fart, og har likevel en solid akselerasjon. Akselerasjon sier ikke hvor fort legemet kjører, men hvor fort farten endrer seg.

Hvorfor merkene kommer lenger fra hverandre

Vi ser på den nederste bilen fra bildet igjen. Den har akselerasjonen 2,8 m/s², så det første sekundet øker den farten fra null til 2,8 m/s. Farten vokser jevnt, så det første sekundet kjører den i gjennomsnitt med halv fart, 1,4 m/s, og kommer 1,4 m. I det andre sekundet øker den farten fra 2,8 m/s til 5,6 m/s, kjører i gjennomsnitt 4,2 m/s og kommer 4,2 m, tre ganger så langt som i det første. I det tredje sekundet kjører den i gjennomsnitt 7 m/s, som den øverste bilen, og kommer de samme 7 m.

Hvert sekund øker gjennomsnittsfarten med 2,8 m/s, og stykket av veien den kjører, derfor med 2,8 m. Avstandene mellom merkene er etter hverandre 1,4 m, 4,2 m, 7 m, 9,8 m og 12,6 m, i forholdet 1:3:5:7:9, og til sammen blir det 35 m. Den øverste bilen kjører hele tiden 7 m/s og kommer på fem sekunder også 35 m. At gjennomsnittsfarten ligger nøyaktig midt mellom farten i begynnelsen og på slutten av sekundet, gjelder bare når farten vokser jevnt. Hvorfor, begrunner vi ved bevegelse med konstant akselerasjon.

Bremsing

Bilen kjører 72 km/h, altså 20 m/s, sjåføren bremser, og etter 4 s står bilen stille. Sluttfarten er null, startfarten 20 m/s:

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{0\mathrm{m}/\mathrm{s}-20\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{s}}=-5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Akselerasjonen ble negativ. Farten til bilen vokser ikke, den avtar, med 5 m/s hvert sekund. I dagligtale ville vi sagt at bilen bremser ned, men en fysiker sier at bilen har akselerasjonen −5 m/s², eller retardasjonen 5 m/s². Begge deler betyr det samme.

Men hva betyr minustegnet egentlig? Hastighet er en vektor, og akselerasjon også. Pilen for akselerasjonen $\overrightarrow{a}$ viser i hvilken retning hastigheten endrer seg.

Begge bilene kjører mot høyre, og derfor peker den røde hastighetspilen $\overrightarrow{v}$ mot høyre. Den øverste bilen øker farten, og den grønne akselerasjonspilen $\overrightarrow{a}$ peker som hastigheten: hvert sekund legges det litt til hastigheten, og hastighetspilen blir lengre. Den nederste bilen bremser, og akselerasjonen peker motsatt, bakover. Hvert sekund blir hastighetspilen kortere, til det ikke er noe igjen. På en rett linje er fortegnet nok til å angi retningen. Når vi velger positiv retning i kjøreretningen, som for bilen som bremser, peker positiv akselerasjon som hastigheten, og legemet øker farten. Negativ peker mot hastigheten, og legemet bremser.

Akselerasjon i en sving

En bil kjører rundt en rundkjøring, og fartsmåleren viser hele tiden 54 km/h. Hastigheten som vektor endrer seg likevel, fordi hastighetspilen hele tiden dreier. Og der hastigheten endrer seg, er det også akselerasjon. Akselerasjon som vektor er endringen av hastighetsvektoren per tidsenhet:

$$\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{{\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1}{\mathrm{\Delta }t}$$

To vektorer subtraherer vi ved å flytte begge pilene til ett punkt. Differansen ${\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1$ er da pilen fra spissen av ${\overrightarrow{v}}_1$ til spissen av ${\overrightarrow{v}}_2$, for når vi legger den til ${\overrightarrow{v}}_1$, får vi nettopp ${\overrightarrow{v}}_2$. Hastighetspilene i rundkjøringen er like lange, men peker ulike veier, så differansen deres er ikke null. En bil som kjører gjennom en sving med konstant fart, har en akselerasjon som ikke er null. Den skyldes verken gass eller brems, men svingingen.

Eksempel: En bil kjører en fjerdedel av rundkjøringen med konstant fart 54 km/h = 15 m/s på 3 s. I begynnelsen kjører den mot øst, på slutten mot nord. Hvor stor er gjennomsnittsakselerasjonen, og hvor peker den? Vi skriver opp oppgaven:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v_2& =15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =3\mathrm{s}\\ a& =?\end{array}$$

Pilen ${\overrightarrow{v}}_1$ peker mot øst, på bildet mot høyre, pilen ${\overrightarrow{v}}_2$ mot nord, oppover.

Til høyre er begge pilene flyttet til ett punkt og danner en rett vinkel. Den grønne differansen $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ går fra spissen av ${\overrightarrow{v}}_1$ til spissen av ${\overrightarrow{v}}_2$, altså 15 m/s mot venstre og 15 m/s oppover. Den er hypotenusen i en rettvinklet trekant, så lengden regner vi ut med Pytagoras' setning:

$$\mathrm{\Delta }v=\sqrt{{15}^2+{15}^2}\mathrm{m}/\mathrm{s}=\sqrt{450}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Differansen peker på skrå mot venstre og oppover, mot nordvest, akkurat som den grå pilen til venstre, som går fra midten av fjerdedelen inn til sentrum av rundkjøringen. Akselerasjonen får vi når vi deler endringen i hastighet på tiden. Å dele på et tall gjør bare pilen kortere, så akselerasjonen peker også mot sentrum av rundkjøringen. Vi setter inn:

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}\approx \frac{21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Bilen har en gjennomsnittsakselerasjon på omtrent 7,1 m/s² mot sentrum av rundkjøringen. Det er nesten som ved kraftig bremsing på tørr vei, rundt 7 m/s², og likevel viser fartsmåleren hele tiden 54 km/h. Derfor må du støtte deg i en sving, selv om sjåføren verken gir gass eller bremser. Det vi fikk, er gjennomsnittsakselerasjonen over hele fjerdedelen av rundkjøringen. Momentanakselerasjonen på hvert sted i svingen regner vi ut nøyaktig i artikkelen om sentripetalakselerasjon.

g-krefter

Akselerasjonen til en bil kjenner vi på kroppen: en sportsbil presser deg ned i setet når den setter i gang. Hvor kraftig, sammenligner vi med tyngdeakselerasjonen g ≈ 9,81 m/s². Med denne akselerasjonen faller en stein du slipper fra hånden, hvis ikke luften bremser den. En sportsbil klarer fra null til hundre på tre sekunder, så den har akselerasjonen

$$a=\frac{27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,$$

nesten den samme som en stein som faller.

g-kraften sier hvor mange ganger kraftigere setet, gulvet eller ryggstøtten presser deg enn når du sitter rolig. Når du nå sitter på en stol, er g-kraften 1g, selv om du ikke akselererer. g-kraften er altså ikke det samme som akselerasjon. Ved 4g ville setet presset deg fire ganger kraftigere, som om du veide fire ganger så mye.

I en sportsbil på full gass presser ryggstøtten deg i ryggen nesten like kraftig som setet nedenfra, fordi bilen akselererer nesten som en stein som faller. I en berg-og-dal-bane presser en g-kraft på 3 til 4g deg mot setet i det laveste punktet i dalen eller loopen. Vognen endrer der raskt retning fra å kjøre nedover til å kjøre oppover, og det er en stor akselerasjon som peker oppover.

På vei nedover presser setet svakere enn ved rolig sitting, i det laveste punktet i dalen omtrent tre ganger kraftigere.

En jagerpilot i en krapp sving tåler opptil 9g, men bare i en spesiell dress som hindrer at blodet renner ut av hodet og ned i beina. Et utrent menneske ville besvimt i løpet av få sekunder ved en slik g-kraft. Interessant nok kjenner vi ingenting i fritt fall, selv om vi akselererer: ingenting presser oss, g-kraften er null og kroppen er vektløs. Hvorfor vi egentlig kjenner akselerasjon som trykk fra setet, forklarer først dynamikken, altså delen om krefter.

Enklest er en bevegelse der akselerasjonen ikke endrer seg i det hele tatt, som for den nederste bilen på det første bildet. Farten øker da like mye hvert sekund, og strekning og fart i et hvilket som helst øyeblikk kan vi regne ut med enkle formler. Den bevegelsen handler neste artikkel om, Bevegelse med konstant akselerasjon.