Acceleration

Biltillverkare skryter gärna med hur många sekunder deras bil behöver för att komma från noll till hundra. För en vanlig familjebil blir det ungefär tio sekunder. Vad säger egentligen den siffran? Först räknar vi om hundra kilometer i timmen till meter per sekund:

$$100\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{100}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

På tio sekunder ökar alltså bilens fart till 27,8 m/s. Om den ökade jämnt skulle den för varje sekund köra en tiondel av det fortare, alltså 2,78 m/s, avrundat 2,8 m/s. Efter första sekunden skulle den köra 2,8 m/s, efter andra 5,6 m/s, efter tredje 8,4 m/s och efter tionde de 27,8 m/s. Storheten som anger hur mycket hastigheten ändras per sekund kallar vi acceleration.

Figuren visar två vägar ovanför varandra. Båda bilarna lämnar efter sig en orange markering varje hel sekund. Den övre bilen håller hela tiden samma tempo, 7 m/s, och därför ligger markeringarna lika långt ifrån varandra. Den nedre bilen startar från stillastående och accelererar med exakt 2,8 m/s varje sekund. Under första sekunden kör den bara en bit, knappt en och en halv meter, men sedan allt längre för varje sekund, eftersom den kör allt fortare. Dess markeringar hamnar därför allt längre från varandra, hur mycket längre räknar vi ut strax. Efter fem sekunder är båda bilarna på samma plats, 35 m från starten. Den nedre bilen låg först efter, körde till slut fortare och hann ikapp den övre bilen exakt i mål.

Formeln för acceleration

Om du bara letar efter formeln räknar du ut accelerationen a genom att dela hastighetsändringen Δv med tiden Δt som hastigheten ändrades under:

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$$

Den grekiska bokstaven Δ betecknar en förändring. Hastighetsändringen är skillnaden mellan hastigheten i slutet och i början. Begynnelsehastigheten betecknar vi v₀, sluthastigheten v:

$$\mathrm{\Delta }v=v-v_0$$

För bilen i inledningen skriver vi upp uppgiften:

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =0\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v& =100\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =10\mathrm{s}\\ a& =?\end{array}$$

Vi sätter in värdena:

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}-0\mathrm{m}/\mathrm{s}}{10\mathrm{s}}\approx 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

En familjebil har en acceleration på ungefär 2,8 m/s². I verkligheten accelererar bilen inte lika mycket hela tiden, med en högre växel ökar den farten mindre. Det uträknade talet är därför medelaccelerationen under hela de tio sekunderna. Momentanaccelerationen får vi med samma knep som momentanhastigheten: vi mäter hastighetsändringen under så kort tid Δt att accelerationen inte märkbart ändras under den. Känner du till derivator ser du att det är derivatan av hastigheten med avseende på tiden, a = v'(t).

Varför meter per sekund i kvadrat

Enheten för acceleration får vi genom att dela enheten för hastighet med enheten för tid. Att dela med ett tal är detsamma som att multiplicera med dess inverterade värde:

$$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}\cdot \mathrm{s}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

De två sekunderna i nämnaren ser konstiga ut, men var och en står där av ett eget skäl. Den första hör till hastigheten (hur många meter per sekund bilen kör), den andra säger hur lång tid det tog att ändra hastigheten. Läs därför 2,8 m/s² som ”2,8 m/s fortare varje sekund”.

Den som hellre räknar i kilometer i timmen kan uttrycka det så här: en bil som accelererar från noll till hundra på tio sekunder ökar farten med 10 km/h varje sekund. Resultatet 10 km/h per sekund är en fullgod acceleration, bara i en enhet som ingen använder, eftersom den blandar timmar med sekunder.

Se upp för förväxlingen: stor acceleration betyder inte stor fart. En bil på motorvägen med farthållaren inställd på 130 km/h har accelerationen noll, eftersom dess hastighet inte ändras. En bil som startar vid grönt ljus kör till en början med nästan noll fart och har ändå en rejäl acceleration. Accelerationen säger inte hur fort en kropp rör sig, utan hur fort dess hastighet ändras.

Varför markeringarna hamnar längre från varandra

Vi tittar på nytt på den nedre bilen i figuren. Den har accelerationen 2,8 m/s², så under första sekunden ökar den farten från noll till 2,8 m/s. Hastigheten växer jämnt, så under första sekunden kör den i genomsnitt med halva farten, 1,4 m/s, och hinner 1,4 m. Under andra sekunden ökar den farten från 2,8 m/s till 5,6 m/s, kör i genomsnitt 4,2 m/s och hinner 4,2 m, tre gånger mer än under den första. Under tredje sekunden kör den i genomsnitt 7 m/s, precis som den övre bilen, och hinner samma 7 m.

Varje sekund ökar medelfarten med 2,8 m/s, och den körda vägsträckan därför med 2,8 m. Avstånden mellan markeringarna blir efter varandra 1,4 m, 4,2 m, 7 m, 9,8 m och 12,6 m, i förhållandet 1:3:5:7:9, och tillsammans ger de 35 m. Den övre bilen kör hela tiden 7 m/s och kör på fem sekunder också 35 m. Att medelfarten ligger exakt mitt emellan farten i början och i slutet av sekunden gäller bara när hastigheten växer jämnt. Varför det är så förklarar vi vid likformigt accelererad rörelse.

Inbromsning

En bil kör med farten 72 km/h, alltså 20 m/s, föraren bromsar och på 4 s står bilen still. Sluthastigheten är noll, begynnelsehastigheten 20 m/s:

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{0\mathrm{m}/\mathrm{s}-20\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{s}}=-5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Accelerationen blev negativ. Bilens hastighet ökar inte, utan minskar, med 5 m/s varje sekund. I vardagligt tal skulle vi kalla det inbromsning, men en fysiker säger att bilen saktar in med accelerationen −5 m/s², eller med retardationen 5 m/s². Båda betyder samma sak.

Men vad betyder minustecknet egentligen? Hastigheten är en vektor och accelerationen också. Accelerationens pil $\overrightarrow{a}$ visar åt vilket håll hastigheten ändras.

Båda bilarna kör åt höger, och därför pekar den röda hastighetspilen $\overrightarrow{v}$ åt höger. Den övre bilen accelererar och den gröna accelerationspilen $\overrightarrow{a}$ pekar åt samma håll som hastigheten: varje sekund läggs en bit till hastigheten och hastighetspilen blir längre. Den nedre bilen bromsar och dess acceleration pekar åt motsatt håll, bakåt. Varje sekund blir hastighetspilen kortare, tills inget finns kvar av den. På en rät linje räcker ett tecken för riktningen. När vi väljer färdriktningen som positiv riktning, som för den bromsande bilen, pekar en positiv acceleration åt samma håll som hastigheten och kroppen ökar farten. En negativ pekar mot hastigheten och kroppen saktar in.

Acceleration i en kurva

En bil kör genom en rondell och hastighetsmätaren visar hela tiden 54 km/h. Hastigheten som vektor ändras ändå, eftersom hastighetspilen hela tiden vrids. Och där hastigheten ändras finns det en acceleration. Acceleration som vektor är ändringen av hastighetsvektorn per tidsenhet:

$$\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{{\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1}{\mathrm{\Delta }t}$$

Två vektorer subtraherar vi genom att flytta båda pilarna till en gemensam punkt. Skillnaden ${\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1$ är då pilen från spetsen av ${\overrightarrow{v}}_1$ till spetsen av ${\overrightarrow{v}}_2$, eftersom vi får just ${\overrightarrow{v}}_2$ när vi lägger den till ${\overrightarrow{v}}_1$. Hastighetspilarna i rondellen är lika långa men pekar åt olika håll, så deras skillnad är inte noll. En bil som kör genom en kurva med konstant fart har en acceleration som inte är noll. Den orsakas inte av gaspedalen eller bromsen, utan av att bilen svänger.

Exempel: En bil kör en fjärdedel av en rondell med konstant fart 54 km/h = 15 m/s på 3 s. I början kör den åt öster, i slutet åt norr. Hur stor är dess medelacceleration och åt vilket håll pekar den? Vi skriver upp uppgiften:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v_2& =15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =3\mathrm{s}\\ a& =?\end{array}$$

Pilen ${\overrightarrow{v}}_1$ pekar åt öster, i figuren åt höger, pilen ${\overrightarrow{v}}_2$ åt norr, uppåt.

Till höger är båda pilarna flyttade till en punkt och bildar en rät vinkel. Den gröna skillnaden $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ går från spetsen av ${\overrightarrow{v}}_1$ till spetsen av ${\overrightarrow{v}}_2$, alltså 15 m/s åt vänster och 15 m/s uppåt. Den är hypotenusa i en rätvinklig triangel, så vi räknar ut dess belopp med Pythagoras sats:

$$\mathrm{\Delta }v=\sqrt{{15}^2+{15}^2}\mathrm{m}/\mathrm{s}=\sqrt{450}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Skillnaden pekar snett åt vänster och uppåt, mot nordväst, precis som den grå pilen till vänster, som går från mitten av fjärdedelen mot rondellens mitt. Accelerationen får vi när vi delar hastighetsändringen med tiden. Division med ett tal förkortar bara pilen, så accelerationen pekar också mot rondellens mitt. Vi sätter in värdena:

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}\approx \frac{21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Bilen har en medelacceleration på ungefär 7,1 m/s² mot rondellens mitt. Det är nästan lika mycket som vid en kraftig inbromsning på torr väg, omkring 7 m/s², och ändå visar hastighetsmätaren hela tiden 54 km/h. Därför måste du hålla emot i en kurva, även om föraren varken gasar eller bromsar. Vi fick medelaccelerationen, under hela fjärdedelen av rondellen. Momentanaccelerationen på varje ställe i kurvan räknar vi ut exakt vid centripetalacceleration.

G-kraft

Bilens acceleration känner vi på den egna kroppen: en sportbil trycker in dig i sätet när den startar. Hur kraftigt det är jämför man med tyngdaccelerationen g ≈ 9,81 m/s². Med den accelerationen faller en sten som du släpper från handen, om inte luften bromsar den. En sportbil klarar noll till hundra på tre sekunder, så den har accelerationen

$$a=\frac{27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,$$

nästan lika stor som för den fallande stenen.

G-kraften anger hur många gånger kraftigare sätet, golvet eller ryggstödet trycker på dig än när du sitter lugnt. När du nu sitter på en stol är g-kraften 1g, trots att du inte accelererar. G-kraft är alltså inte detsamma som acceleration. Vid 4g skulle sätet trycka fyra gånger kraftigare, som om du vägde fyra gånger så mycket.

I en sportbil med gasen i botten trycker ryggstödet mot ryggen nästan lika kraftigt som sätet underifrån, eftersom bilen accelererar nästan som en fallande sten. I en berg-och-dalbana pressas du mot sätet av en g-kraft på 3 till 4g längst ned i en dal eller en looping. Vagnen ändrar där snabbt riktning från färd nedåt till färd uppåt, och det är en stor acceleration som pekar uppåt.

På väg nedåt trycker sätet svagare än vid lugnt sittande, längst ned i dalen ungefär tre gånger kraftigare.

En stridspilot tål i en snäv sväng upp till 9g, men bara i en särskild dräkt som hindrar blodet från att rinna från huvudet ned i benen. En otränad människa skulle svimma på några sekunder vid en sådan g-kraft. Intressant är att vi i fritt fall inte känner något, trots att vi accelererar: ingenting trycker på oss, g-kraften är noll och kroppen är tyngdlös. Varför vi alls känner acceleration som tryck från sätet förklarar först dynamiken, alltså avsnittet om krafter.

Enklast är en rörelse där accelerationen inte ändras alls, som för den nedre bilen i den första figuren. Hastigheten ökar då lika mycket varje sekund, och både sträckan och hastigheten i ett godtyckligt ögonblick kan vi räkna ut med enkla formler. Nästa artikel handlar om en sådan rörelse, Likformigt accelererad rörelse.