Aceleração

Os fabricantes de carros gostam de se gabar de em quantos segundos o seu veículo acelera de zero a cem. Para um carro familiar comum, dá cerca de dez segundos. O que esse número realmente diz? Primeiro convertemos cem quilômetros por hora em metros por segundo:

$$100\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{100}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Em dez segundos, portanto, o carro ganha 27,8 m/s. Se ele acelerasse de modo uniforme, a cada segundo andaria um décimo disso mais depressa, 2,78 m/s a mais, arredondando 2,8 m/s. Depois do primeiro segundo andaria a 2,8 m/s, depois do segundo a 5,6 m/s, depois do terceiro a 8,4 m/s e depois do décimo aos tais 27,8 m/s. Chamamos de aceleração a grandeza que indica quanto a velocidade muda por segundo.

A figura mostra duas estradas, uma sobre a outra. Os dois carros deixam atrás de si, a cada segundo inteiro, uma marca laranja. O carro de cima mantém o tempo todo o mesmo ritmo, 7 m/s, e por isso as marcas ficam à mesma distância umas das outras. O carro de baixo arranca do repouso e acelera exatamente 2,8 m/s a cada segundo. No primeiro segundo ele percorre só um pedacinho, pouco mais de um metro e meio, mas depois, a cada segundo, mais, porque anda cada vez mais depressa. As marcas dele ficam, por isso, cada vez mais distantes; daqui a pouco calcularemos quanto. Em cinco segundos os dois carros estão no mesmo lugar, a 35 m da largada. O carro de baixo no início ficou para trás, no fim andou mais depressa e alcançou o de cima exatamente na chegada.

Fórmula da aceleração

Se você procura só a fórmula, a aceleração a se calcula dividindo a variação da velocidade Δv pelo tempo Δt em que a velocidade mudou:

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$$

A letra grega Δ indica variação. A variação da velocidade é a diferença entre a velocidade no fim e no início. Indicamos a velocidade inicial por v₀ e a final, por v:

$$\mathrm{\Delta }v=v-v_0$$

Para o carro do começo, anotamos os dados:

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =0\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v& =100\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =10\mathrm{s}\\ a& =?\end{array}$$

Substituímos:

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}-0\mathrm{m}/\mathrm{s}}{10\mathrm{s}}\approx 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

O carro familiar tem aceleração de cerca de 2,8 m/s². Na realidade, o carro não acelera o tempo todo do mesmo jeito, com uma marcha mais alta já ganha menos velocidade. O número calculado é, por isso, a aceleração média nos dez segundos inteiros. Obtemos a aceleração instantânea com o mesmo truque da velocidade instantânea: medimos a variação da velocidade num tempo Δt tão curto que a aceleração não mude perceptivelmente durante ele. Quem conhece a derivada reconhece nisso a derivada da velocidade em relação ao tempo, a = v'(t).

Por que metros por segundo ao quadrado

Obtemos a unidade da aceleração dividindo a unidade da velocidade pela unidade do tempo. Dividir por um número é o mesmo que multiplicar pelo seu inverso:

$$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}\cdot \mathrm{s}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Os dois segundos no denominador parecem estranhos, mas cada um está ali por um motivo diferente. O primeiro pertence à velocidade (quantos metros por segundo o carro anda), o segundo diz em quanto tempo essa velocidade mudou. Por isso, leia a notação 2,8 m/s² como “a cada segundo, 2,8 m/s mais depressa”.

Quem prefere calcular em quilômetros por hora pode expressar isso também assim: um carro que acelera de zero a cem em dez segundos ganha a cada segundo 10 km/h. O resultado de 10 km/h por segundo é uma aceleração legítima, só que numa unidade que ninguém usa, porque mistura horas com segundos.

Atenção para a confusão: aceleração grande não significa velocidade grande. Um carro na rodovia, com o piloto automático ajustado em 130 km/h, tem aceleração nula, porque a velocidade dele não muda. Um carro que arranca no sinal verde anda no início com velocidade quase nula e, no entanto, tem uma bela aceleração. A aceleração não diz com que rapidez o corpo anda, mas com que rapidez a velocidade dele muda.

Por que as marcas se afastam

Vejamos de novo o carro de baixo da figura. Ele tem aceleração de 2,8 m/s², então no primeiro segundo acelera de zero a 2,8 m/s. A velocidade cresce uniformemente, então no primeiro segundo ele anda, em média, com metade da velocidade, 1,4 m/s, e percorre 1,4 m. No segundo segundo acelera de 2,8 m/s a 5,6 m/s, anda em média a 4,2 m/s e percorre 4,2 m, três vezes mais do que no primeiro. No terceiro segundo anda em média a 7 m/s, igual ao carro de cima, e percorre os mesmos 7 m.

A cada segundo a velocidade média aumenta 2,8 m/s e, por isso, o trecho de estrada percorrido aumenta 2,8 m. Os espaçamentos entre as marcas são sucessivamente 1,4 m, 4,2 m, 7 m, 9,8 m e 12,6 m, na razão 1:3:5:7:9, e juntos dão 35 m. O carro de cima anda o tempo todo a 7 m/s e em cinco segundos percorre também 35 m. Que a velocidade média fique exatamente no meio entre a velocidade no início e no fim do segundo vale apenas quando a velocidade cresce uniformemente. Por quê, justificaremos no movimento uniformemente variado.

Frenagem

Um carro anda a 72 km/h, ou seja, 20 m/s, o motorista freia e em 4 s o carro para. A velocidade final é nula, a inicial 20 m/s:

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{0\mathrm{m}/\mathrm{s}-20\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{s}}=-5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

A aceleração saiu negativa. A velocidade do carro não aumenta, ao contrário, diminui, e isso em 5 m/s a cada segundo. Na linguagem do dia a dia diríamos desaceleração, mas um físico diz que o carro desacelera com aceleração de −5 m/s², ou seja, com desaceleração de 5 m/s². As duas coisas significam o mesmo.

Mas o que o sinal de menos realmente significa? A velocidade é um vetor, e a aceleração também. A seta da aceleração $\overrightarrow{a}$ indica em que sentido a velocidade muda.

Os dois carros andam para a direita, e por isso a seta vermelha da velocidade $\overrightarrow{v}$ aponta para a direita. O carro de cima acelera e a seta verde da aceleração $\overrightarrow{a}$ aponta como a velocidade: a cada segundo se acrescenta um pouco à velocidade e a seta da velocidade se alonga. O carro de baixo freia e a aceleração dele aponta no sentido oposto, para trás. A cada segundo a seta da velocidade encurta, até que não sobra nada dela. Numa reta, para o sentido basta o sinal. Quando escolhemos o sentido positivo no sentido do movimento, como no carro que freia, a aceleração positiva aponta como a velocidade e o corpo acelera. A negativa aponta contra a velocidade e o corpo desacelera.

Aceleração na curva

Um carro contorna uma rotatória e o velocímetro marca o tempo todo 54 km/h. A velocidade como vetor, mesmo assim, muda, porque a seta da velocidade gira continuamente. E onde a velocidade muda, há também aceleração. A aceleração como vetor é a variação do vetor velocidade por unidade de tempo:

$$\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{{\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1}{\mathrm{\Delta }t}$$

Subtraímos dois vetores transportando as duas setas para um mesmo ponto. A diferença ${\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1$ é então a seta da ponta de ${\overrightarrow{v}}_1$ até a ponta de ${\overrightarrow{v}}_2$, porque, quando a somamos a ${\overrightarrow{v}}_1$, obtemos justamente ${\overrightarrow{v}}_2$. As setas da velocidade na rotatória têm o mesmo comprimento, mas apontam para lados diferentes, então a diferença delas não é nula. Um carro que faz uma curva com velocidade constante tem aceleração não nula. Ela não é causada pelo acelerador nem pelo freio, mas pela curva.

Exemplo: Um carro percorre um quarto de uma rotatória com velocidade constante de 54 km/h = 15 m/s em 3 s. No início ele anda para o leste e, no fim, para o norte. Qual é o módulo da aceleração média dele e para onde ela aponta? Anotamos os dados:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v_2& =15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =3\mathrm{s}\\ a& =?\end{array}$$

A seta ${\overrightarrow{v}}_1$ aponta para o leste, na figura para a direita, a seta ${\overrightarrow{v}}_2$ para o norte, para cima.

À direita, as duas setas estão transportadas para um ponto e formam um ângulo reto. A diferença verde $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ vai da ponta de ${\overrightarrow{v}}_1$ até a ponta de ${\overrightarrow{v}}_2$, ou seja, 15 m/s para a esquerda e 15 m/s para cima. Ela é a hipotenusa de um triângulo retângulo, então calculamos o seu módulo pelo teorema de Pitágoras:

$$\mathrm{\Delta }v=\sqrt{{15}^2+{15}^2}\mathrm{m}/\mathrm{s}=\sqrt{450}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

A diferença aponta obliquamente para a esquerda e para cima, para o noroeste, como a seta cinza à esquerda, que vai do meio do quarto de volta ao centro da rotatória. Obtemos a aceleração dividindo a variação da velocidade pelo tempo. A divisão por um número apenas encurta a seta, então a aceleração também aponta para o centro da rotatória. Substituímos:

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}\approx \frac{21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

O carro tem aceleração média de cerca de 7,1 m/s² em direção ao centro da rotatória. Isso é quase como numa frenagem brusca em pista seca, em torno de 7 m/s², e, no entanto, o velocímetro continua marcando 54 km/h. Por isso, na curva você precisa se apoiar, mesmo que o motorista não acelere nem freie. Obtivemos a aceleração média, em todo o quarto de volta. Calcularemos com exatidão a aceleração instantânea em cada ponto da curva no artigo sobre a aceleração centrípeta.

Força g

Sentimos a aceleração de um carro no próprio corpo: um carro esportivo, na arrancada, cola você no banco. A intensidade disso é comparada com a aceleração da gravidade g ≈ 9,81 m/s². Com essa aceleração cai uma pedra que você solta da mão, se o ar não a freia. Um carro esportivo faz de zero a cem em três segundos, então tem aceleração

$$a=\frac{27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,$$

quase igual à da pedra que cai.

A força g indica quantas vezes mais forte o assento, o piso ou o encosto empurram você do que numa posição sentada tranquila. Quando você está sentado agora numa cadeira, a força g é 1g, embora você não esteja acelerando. A força g, portanto, não é o mesmo que a aceleração. Com 4g o assento empurraria você quatro vezes mais forte, como se você pesasse quatro vezes mais.

Num carro esportivo, com o pé no fundo, o encosto empurra suas costas quase tão forte quanto o assento por baixo, porque o carro acelera quase como uma pedra caindo. Na montanha-russa, no ponto mais baixo do vale ou do loop, você é pressionado contra o assento por uma força g de 3 a 4g. O carrinho muda ali depressa de direção, de descida para subida, e essa é uma grande aceleração apontando para cima.

Na descida, o assento empurra mais fraco do que na posição sentada e, no ponto mais baixo do vale, cerca de três vezes mais forte.

O piloto de um caça, numa curva fechada, aguenta até 9g, mas só com um macacão especial, que impede o sangue de escorrer da cabeça para as pernas. Uma pessoa sem treino desmaiaria em poucos segundos com uma força g dessas. O interessante é que, em queda livre, não sentimos nada, embora estejamos acelerando: nada nos empurra, a força g é nula e o corpo está em ausência de peso. Só a dinâmica, ou seja, a parte sobre as forças, explicará por que, afinal, sentimos a aceleração como a pressão do assento.

O movimento mais simples é aquele em que a aceleração não muda nada, como no carro de baixo da primeira figura. A velocidade, então, cresce a cada segundo na mesma medida e sabemos calcular a distância e a velocidade em qualquer instante por fórmulas simples. A esse movimento se dedica o próximo artigo, Movimento uniformemente variado.