Прискорення

Виробники автомобілів люблять хвалитися, за скільки секунд їхня машина розганяється від нуля до ста. У звичайного сімейного автомобіля виходить приблизно десять секунд. Що це число насправді означає? Спершу переведемо сто кілометрів за годину в метри за секунду:

$$100\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}=\frac{100}{3,6}\mathrm{м}/\mathrm{с}\approx 27,8\mathrm{м}/\mathrm{с}$$

За десять секунд автомобіль, отже, набирає 27,8 м/с. Якби він розганявся рівномірно, то з кожною секундою їхав би швидше на десяту частину цього значення, на 2,78 м/с, округлено на 2,8 м/с. Після першої секунди він їхав би зі швидкістю 2,8 м/с, після другої — 5,6 м/с, після третьої — 8,4 м/с, а після десятої — тих самих 27,8 м/с. Величину, яка показує, на скільки змінюється швидкість за секунду, називають прискоренням.

Рисунок показує дві дороги одна над одною. Обидва автомобілі залишають за собою помаранчеву позначку кожної цілої секунди. Верхній автомобіль увесь час тримає той самий темп, 7 м/с, тож його позначки розташовані на однакових відстанях. Нижній автомобіль розганяється зі стану спокою і прискорюється рівно на 2,8 м/с щосекунди. За першу секунду він проїжджає зовсім небагато, ледве півтора метра, але далі з кожною секундою більше, бо їде щоразу швидше. Тому його позначки віддаляються одна від одної дедалі більше, наскільки саме — обчислимо за мить. Через п'ять секунд обидва автомобілі опиняються в одному місці, на відстані 35 м від старту. Нижній автомобіль спочатку відставав, потім їхав швидше й наздогнав верхній рівно на фініші.

Формула прискорення

Якщо тобі потрібна лише формула, прискорення a обчислюють так: зміну швидкості Δv ділять на час Δt, за який швидкість змінилася:

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$$

Грецька літера Δ позначає зміну. Зміна швидкості — це різниця швидкості в кінці та на початку. Початкову швидкість позначимо v₀, кінцеву — v:

$$\mathrm{\Delta }v=v-v_0$$

Для автомобіля з початку запишемо умову:

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =0\mathrm{м}/\mathrm{с}\\ v& =100\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}\approx 27,8\mathrm{м}/\mathrm{с}\\ \mathrm{\Delta }t& =10\mathrm{с}\\ a& =?\end{array}$$

Підставимо:

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{27,8\mathrm{м}/\mathrm{с}-0\mathrm{м}/\mathrm{с}}{10\mathrm{с}}\approx 2,8{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2$$

Сімейний автомобіль має прискорення приблизно 2,8 м/с². Насправді автомобіль не прискорюється весь час однаково: на вищій передачі він набирає швидкість повільніше. Тому обчислене число — це середнє прискорення за всі десять секунд. Миттєве прискорення отримаємо тим самим прийомом, що й миттєву швидкість: зміну швидкості вимірюємо за такий короткий час Δt, щоб за цей час прискорення помітно не змінилося. Хто знає похідну, упізнає тут похідну швидкості за часом, a = v'(t).

Чому метри за секунду в квадраті

Одиницю прискорення отримуємо діленням одиниці швидкості на одиницю часу. Ділити на число — те саме, що множити на обернене до нього:

$$\frac{\mathrm{м}/\mathrm{с}}{\mathrm{с}}=\frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}\cdot \frac{1}{\mathrm{с}}=\frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}\cdot \mathrm{с}}={\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2$$

Дві секунди в знаменнику виглядають дивно, але кожна з'являється з іншої причини. Перша стосується швидкості (скільки метрів за секунду проїжджає автомобіль), друга показує, за який час ця швидкість змінилася. Запис 2,8 м/с² тому читай як «щосекунди на 2,8 м/с швидше».

Хто охочіше рахує в кілометрах за годину, може висловити це й так: автомобіль, що розганяється від нуля до ста за десять секунд, додає щосекунди 10 км/год. Результат 10 км/год за секунду — повноцінне прискорення, лише в одиниці, якою ніхто не користується, бо вона змішує години із секундами.

Не плутай: велике прискорення не означає великої швидкості. Автомобіль на автомагістралі з круїз-контролем, налаштованим на 130 км/год, має нульове прискорення, бо його швидкість не змінюється. Автомобіль, що рушає на зелене світло, спочатку їде майже з нульовою швидкістю, а прискорення має чимале. Прискорення показує не те, як швидко рухається тіло, а те, як швидко змінюється його швидкість.

Чому позначки розходяться

Знову подивімося на нижній автомобіль з рисунка. Він має прискорення 2,8 м/с², тож за першу секунду розганяється від нуля до 2,8 м/с. Швидкість зростає рівномірно, тому першу секунду він їде в середньому з половинною швидкістю, 1,4 м/с, і проїжджає 1,4 м. За другу секунду він розганяється з 2,8 м/с до 5,6 м/с, їде в середньому зі швидкістю 4,2 м/с і проїжджає 4,2 м, утричі більше, ніж за першу. За третю секунду він їде в середньому зі швидкістю 7 м/с, як і верхній автомобіль, і проїжджає ті самі 7 м.

Щосекунди середня швидкість збільшується на 2,8 м/с, а отже, ділянка дороги, яку він проїжджає, — на 2,8 м. Відстані між позначками послідовно дорівнюють 1,4 м, 4,2 м, 7 м, 9,8 м і 12,6 м, у відношенні 1:3:5:7:9, а разом дають 35 м. Верхній автомобіль увесь час їде зі швидкістю 7 м/с і за п'ять секунд теж проїжджає 35 м. Те, що середня швидкість лежить рівно посередині між швидкістю на початку й наприкінці секунди, справедливо лише тоді, коли швидкість зростає рівномірно. Чому так, обґрунтуємо в темі про рівноприскорений рух.

Гальмування

Автомобіль їде зі швидкістю 72 км/год, тобто 20 м/с, водій натискає на гальмо, і за 4 с автомобіль зупиняється. Кінцева швидкість нульова, початкова 20 м/с:

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{0\mathrm{м}/\mathrm{с}-20\mathrm{м}/\mathrm{с}}{4\mathrm{с}}=-5{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2$$

Прискорення вийшло від'ємним. Швидкість автомобіля не зростає, а навпаки, спадає, і то щосекунди на 5 м/с. У побуті ми б сказали «сповільнення», але фізик скаже, що автомобіль сповільнюється з прискоренням −5 м/с², або зі сповільненням 5 м/с². Обидва вислови означають те саме.

Але що насправді означає знак мінус? Швидкість — вектор, і прискорення теж. Стрілка прискорення $\overrightarrow{a}$ показує, в який бік змінюється швидкість.

Обидва автомобілі їдуть праворуч, тому червона стрілка швидкості $\overrightarrow{v}$ напрямлена праворуч. Верхній автомобіль прискорюється, і зелена стрілка прискорення $\overrightarrow{a}$ напрямлена так само, як швидкість: щосекунди до швидкості трохи додається, і стрілка швидкості подовжується. Нижній автомобіль гальмує, і його прискорення напрямлене протилежно, назад. Щосекунди стрілка швидкості коротшає, аж поки від неї нічого не лишиться. На прямій для напряму досить знака. Якщо додатний напрям осі обрати за напрямом руху, як у випадку автомобіля, що гальмує, то додатне прискорення напрямлене так само, як швидкість, і тіло прискорюється. Від'ємне напрямлене проти швидкості, і тіло сповільнюється.

Прискорення в повороті

Автомобіль об'їжджає кільцеву розв'язку, а спідометр увесь час показує 54 км/год. Проте швидкість як вектор змінюється, бо стрілка швидкості безперервно повертається. А де змінюється швидкість, там є й прискорення. Прискорення як вектор — це зміна вектора швидкості за одиницю часу:

$$\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{{\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1}{\mathrm{\Delta }t}$$

Два вектори віднімаємо так: переносимо обидві стрілки в одну точку. Різниця ${\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1$ — це стрілка від вістря ${\overrightarrow{v}}_1$ до вістря ${\overrightarrow{v}}_2$, бо коли додати її до ${\overrightarrow{v}}_1$, отримаємо саме ${\overrightarrow{v}}_2$. Стрілки швидкості на розв'язці однакової довжини, але напрямлені по-різному, тож їхня різниця не нульова. Автомобіль, що проходить поворот зі сталою швидкістю, має ненульове прискорення. Його спричиняє не газ і не гальмо, а повертання.

Задача. Автомобіль проїжджає чверть кільцевої розв'язки зі сталою швидкістю 54 км/год = 15 м/с за 3 с. На початку він їде на схід, наприкінці — на північ. Яке його середнє прискорення за модулем і куди воно напрямлене? Запишемо умову:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =15\mathrm{м}/\mathrm{с}\\ v_2& =15\mathrm{м}/\mathrm{с}\\ \mathrm{\Delta }t& =3\mathrm{с}\\ a& =?\end{array}$$

Стрілка ${\overrightarrow{v}}_1$ напрямлена на схід, на рисунку праворуч, стрілка ${\overrightarrow{v}}_2$ — на північ, угору.

Праворуч обидві стрілки перенесено в одну точку, вони утворюють прямий кут. Зелена різниця $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ іде від вістря ${\overrightarrow{v}}_1$ до вістря ${\overrightarrow{v}}_2$, тобто на 15 м/с ліворуч і на 15 м/с угору. Вона є гіпотенузою прямокутного трикутника, тому її модуль обчислимо за теоремою Піфагора:

$$\mathrm{\Delta }v=\sqrt{{15}^2+{15}^2}\mathrm{м}/\mathrm{с}=\sqrt{450}\mathrm{м}/\mathrm{с}\approx 21,2\mathrm{м}/\mathrm{с}$$

Різниця напрямлена навскіс ліворуч угору, на північний захід, так само як сіра стрілка ліворуч, що йде від середини чверті до центру розв'язки. Прискорення отримаємо, якщо поділимо зміну швидкості на час. Ділення на число стрілку лише скорочує, тож прискорення теж напрямлене до центру розв'язки. Підставимо:

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}\approx \frac{21,2\mathrm{м}/\mathrm{с}}{3\mathrm{с}}\approx 7,1{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2$$

Автомобіль має середнє прискорення приблизно 7,1 м/с² до центру розв'язки. Це майже стільки, як під час різкого гальмування на сухій дорозі, близько 7 м/с², а спідометр водночас увесь час показує 54 км/год. Саме тому в повороті доводиться упиратися, хоча водій не додає газу й не гальмує. У нас вийшло середнє прискорення за всю чверть розв'язки. Миттєве прискорення в кожному місці повороту ми точно обчислимо в темі про доцентрове прискорення.

Перевантаження

Прискорення автомобіля ми відчуваємо власним тілом: спортивний автомобіль під час старту втискає тебе в сидіння. Наскільки сильно, порівнюють із прискоренням вільного падіння g ≈ 9,81 м/с². З таким прискоренням падає камінь, випущений з руки, якщо його не гальмує повітря. Спортивний автомобіль розганяється від нуля до ста за три секунди, тож має прискорення

$$a=\frac{27,8\mathrm{м}/\mathrm{с}}{3\mathrm{с}}\approx 9,3{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2,$$

майже таке саме, як у каменя, що падає.

Перевантаження показує, у скільки разів сильніше тебе тисне сидіння, підлога чи спинка, ніж за спокійного сидіння. Коли ти зараз сидиш на стільці, перевантаження дорівнює 1g, хоча ти не прискорюєшся. Отже, перевантаження — це не те саме, що прискорення. За 4g сидіння тиснуло б на тебе вчетверо сильніше, ніби ти важиш учетверо більше.

У спортивному автомобілі з повністю натиснутою педаллю газу спинка тисне тобі в спину майже так само сильно, як сидіння знизу, бо автомобіль прискорюється майже як камінь, що падає. На американських гірках у найнижчій точці долини чи петлі тебе притискає до сидіння перевантаження 3–4g. Вагонетка там швидко змінює напрям руху з руху вниз на рух угору, а це велике прискорення, напрямлене вгору.

Під час спуску сидіння тисне слабше, ніж коли ти спокійно сидиш, у найнижчій точці долини — приблизно втричі сильніше.

Пілот винищувача в різкому повороті витримує до 9g, але лише в спеціальному костюмі, який не дає крові відтікати з голови до ніг. Нетренована людина за такого перевантаження за кілька секунд знепритомніла б. Цікаво, що під час вільного падіння ми нічого не відчуваємо, хоча й прискорюємося: ніщо нас не тисне, перевантаження нульове, і тіло перебуває в невагомості. Чому ми взагалі відчуваємо прискорення як тиск сидіння, пояснить динаміка, тобто розділ про сили.

Найпростіший рух — це той, під час якого прискорення зовсім не змінюється, як у нижнього автомобіля на першому рисунку. Швидкість тоді щосекунди зростає на однакову величину, а шлях і швидкість у довільний момент ми вміємо обчислити за простими формулами. Такому руху присвячено наступну статтю — Рівноприскорений рух.