Aceleración

A los fabricantes de coches les gusta presumir de los segundos que tarda su modelo en pasar de cero a cien. Un coche familiar corriente tarda más o menos diez segundos. ¿Qué dice realmente ese número? Primero convertimos cien kilómetros por hora a metros por segundo:

$$100\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{100}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

En diez segundos el coche gana, pues, 27,8 m/s. Si fuera aumentando de manera uniforme, cada segundo iría una décima parte de eso más deprisa, 2,78 m/s, redondeando 2,8 m/s. Tras el primer segundo iría a 2,8 m/s, tras el segundo a 5,6 m/s, tras el tercero a 8,4 m/s y tras el décimo a esos 27,8 m/s. La magnitud que indica cuánto cambia la velocidad en un segundo se llama aceleración.

La figura muestra dos carreteras una encima de otra. Cada coche deja una marca naranja en cada segundo entero. El coche de arriba mantiene todo el rato el mismo ritmo, 7 m/s, y por eso sus marcas están a la misma distancia unas de otras. El coche de abajo arranca desde el reposo y acelera exactamente 2,8 m/s cada segundo. En el primer segundo recorre apenas un trocito, ni siquiera metro y medio, pero luego cada segundo recorre más, porque va cada vez más deprisa. Por eso sus marcas están cada vez más separadas; cuánto, lo calcularemos enseguida. A los cinco segundos ambos coches están en el mismo lugar, a 35 m de la salida. El coche de abajo al principio se quedaba atrás, al final iba más rápido y alcanzó al de arriba justo en la meta.

Fórmula de la aceleración

Si solo buscas la fórmula, la aceleración a se calcula dividiendo la variación de velocidad Δv entre el tiempo Δt en el que cambió la velocidad:

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$$

La letra griega Δ indica una variación. La variación de velocidad es la diferencia entre la velocidad final y la inicial. Llamamos v₀ a la velocidad inicial y v a la final:

$$\mathrm{\Delta }v=v-v_0$$

Para el coche de la introducción escribimos los datos:

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =0\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v& =100\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =10\mathrm{s}\\ a& =?\end{array}$$

Sustituimos:

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}-0\mathrm{m}/\mathrm{s}}{10\mathrm{s}}\approx 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

El coche familiar tiene una aceleración de unos 2,8 m/s². En realidad, el coche no acelera igual todo el tiempo: con una marcha más larga ya gana menos velocidad. El número calculado es, por tanto, la aceleración media durante los diez segundos. La aceleración instantánea se obtiene con el mismo truco que la velocidad instantánea: medimos la variación de velocidad en un intervalo Δt tan corto que la aceleración no cambie apreciablemente durante él. Quien conozca las derivadas reconocerá aquí la derivada de la velocidad respecto al tiempo, a = v'(t).

Por qué metros por segundo al cuadrado

La unidad de la aceleración se obtiene dividiendo la unidad de velocidad entre la unidad de tiempo. Dividir entre un número es lo mismo que multiplicar por su inverso:

$$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}\cdot \mathrm{s}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Los dos segundos del denominador parecen raros, pero cada uno está ahí por una razón distinta. El primero pertenece a la velocidad (cuántos metros por segundo recorre el coche) y el segundo dice en cuánto tiempo cambió esa velocidad. La expresión 2,8 m/s² se lee, por tanto, como «cada segundo, 2,8 m/s más deprisa».

Quien prefiera calcular en kilómetros por hora puede expresarlo también así: un coche que acelera de cero a cien en diez segundos gana cada segundo 10 km/h. El resultado de 10 km/h por segundo es una aceleración perfectamente válida, solo que en una unidad que nadie usa, porque mezcla horas con segundos.

Cuidado con la confusión: mucha aceleración no significa mucha velocidad. Un coche en autopista con el control de crucero fijado en 130 km/h tiene aceleración nula, porque su velocidad no cambia. Un coche que arranca cuando el semáforo se pone en verde va al principio a una velocidad casi nula y, sin embargo, tiene una aceleración considerable. La aceleración no dice a qué velocidad va un cuerpo, sino con qué rapidez cambia su velocidad.

Por qué se separan las marcas

Volvamos a mirar el coche de abajo de la figura. Tiene una aceleración de 2,8 m/s², así que en el primer segundo pasa de cero a 2,8 m/s. La velocidad aumenta de manera uniforme, de modo que durante el primer segundo va en promedio a la mitad de esa velocidad, 1,4 m/s, y recorre 1,4 m. En el segundo segundo pasa de 2,8 m/s a 5,6 m/s, va en promedio a 4,2 m/s y recorre 4,2 m, tres veces más que en el primero. En el tercer segundo va en promedio a 7 m/s, igual que el coche de arriba, y recorre los mismos 7 m.

Cada segundo la velocidad media aumenta 2,8 m/s y, por tanto, el trozo de carretera recorrido aumenta 2,8 m. Las separaciones entre las marcas son sucesivamente 1,4 m, 4,2 m, 7 m, 9,8 m y 12,6 m, en la proporción 1:3:5:7:9, y entre todas suman 35 m. El coche de arriba va todo el tiempo a 7 m/s y en cinco segundos también recorre 35 m. Que la velocidad media esté exactamente a mitad de camino entre la velocidad al principio y al final del segundo solo se cumple cuando la velocidad crece de manera uniforme. Por qué, lo justificaremos en el movimiento uniformemente acelerado.

Frenado

Un coche va a 72 km/h, es decir, a 20 m/s, el conductor frena y en 4 s el coche se detiene. La velocidad final es cero y la inicial, 20 m/s:

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{0\mathrm{m}/\mathrm{s}-20\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{s}}=-5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

La aceleración ha salido negativa. La velocidad del coche no aumenta; al contrario, disminuye, y lo hace 5 m/s cada segundo. En el lenguaje cotidiano hablaríamos de deceleración, pero un físico dirá que el coche decelera con una aceleración de −5 m/s², o sea, con una deceleración de 5 m/s². Ambas expresiones significan lo mismo.

Pero ¿qué significa realmente el signo menos? La velocidad es un vector y la aceleración también. La flecha de la aceleración $\overrightarrow{a}$ indica en qué sentido cambia la velocidad.

Los dos coches van hacia la derecha, y por eso la flecha roja de la velocidad $\overrightarrow{v}$ apunta a la derecha. El coche de arriba acelera y la flecha verde de la aceleración $\overrightarrow{a}$ apunta igual que la velocidad: cada segundo se añade un poco a la velocidad y la flecha de la velocidad se alarga. El coche de abajo frena y su aceleración apunta al revés, hacia atrás. Cada segundo la flecha de la velocidad se acorta, hasta que no queda nada de ella. En una recta, para el sentido basta el signo. Si tomamos como positivo el sentido de la marcha, como en el coche que frena, la aceleración positiva apunta igual que la velocidad y el cuerpo acelera. La negativa apunta en contra de la velocidad y el cuerpo decelera.

Aceleración en una curva

Un coche toma una rotonda y el velocímetro marca todo el rato 54 km/h. Aun así, la velocidad como vector cambia, porque la flecha de la velocidad gira continuamente. Y donde cambia la velocidad, hay aceleración. La aceleración como vector es la variación del vector velocidad por unidad de tiempo:

$$\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{{\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1}{\mathrm{\Delta }t}$$

Dos vectores se restan trasladando las dos flechas a un mismo punto. La diferencia ${\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1$ es entonces la flecha que va de la punta de ${\overrightarrow{v}}_1$ a la punta de ${\overrightarrow{v}}_2$, porque si se la sumamos a ${\overrightarrow{v}}_1$ obtenemos justamente ${\overrightarrow{v}}_2$. Las flechas de la velocidad en la rotonda tienen la misma longitud, pero apuntan a otro lado, así que su diferencia no es nula. Un coche que toma una curva con velocidad constante tiene una aceleración distinta de cero. No la provoca el acelerador ni el freno, sino el giro.

Problema: Un coche recorre un cuarto de rotonda con velocidad constante de 54 km/h = 15 m/s en 3 s. Al principio va hacia el este y al final, hacia el norte. ¿Cuánto vale su aceleración media y hacia dónde apunta? Escribimos los datos:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v_2& =15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =3\mathrm{s}\\ a& =?\end{array}$$

La flecha ${\overrightarrow{v}}_1$ apunta al este, en la figura hacia la derecha, y la flecha ${\overrightarrow{v}}_2$, al norte, hacia arriba.

A la derecha están las dos flechas trasladadas a un mismo punto, formando un ángulo recto. La diferencia verde $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ va de la punta de ${\overrightarrow{v}}_1$ a la punta de ${\overrightarrow{v}}_2$, es decir, 15 m/s hacia la izquierda y 15 m/s hacia arriba. Es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, así que su módulo lo calculamos con el teorema de Pitágoras:

$$\mathrm{\Delta }v=\sqrt{{15}^2+{15}^2}\mathrm{m}/\mathrm{s}=\sqrt{450}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

La diferencia apunta en diagonal hacia la izquierda y arriba, al noroeste, igual que la flecha gris de la izquierda, que va desde la mitad del cuarto hasta el centro de la rotonda. La aceleración la obtenemos dividiendo la variación de velocidad entre el tiempo. Dividir entre un número solo acorta la flecha, así que la aceleración también apunta hacia el centro de la rotonda. Sustituimos:

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}\approx \frac{21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

El coche tiene una aceleración media de unos 7,1 m/s² hacia el centro de la rotonda. Es casi como en una frenada fuerte en carretera seca, de unos 7 m/s², y eso que el velocímetro sigue marcando 54 km/h. Por eso en una curva hay que agarrarse, aunque el conductor no acelere ni frene. Nos ha salido la aceleración media, la de todo el cuarto de rotonda. La aceleración instantánea en cada punto de la curva la calcularemos con exactitud en la aceleración centrípeta.

Sobrecarga

La aceleración de un coche se nota en el propio cuerpo: un coche deportivo te hunde en el asiento al arrancar. Cuánto, se compara con la aceleración de la gravedad g ≈ 9,81 m/s². Con esta aceleración cae una piedra que sueltas de la mano, si el aire no la frena. Un coche deportivo puede pasar de cero a cien en tres segundos, de modo que tiene una aceleración

$$a=\frac{27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,$$

casi la misma que una piedra que cae.

La sobrecarga (también llamada fuerza g) indica cuántas veces más fuerte te empuja el asiento, el suelo o el respaldo que cuando estás sentado tranquilamente. Si ahora estás sentado en una silla, la sobrecarga es 1g, aunque no aceleres. La sobrecarga, por tanto, no es lo mismo que la aceleración. Con 4g el asiento te empujaría cuatro veces más fuerte, como si pesaras cuatro veces más.

En un coche deportivo a todo gas, el respaldo te empuja la espalda casi con la misma fuerza que el asiento por debajo, porque el coche acelera casi como una piedra que cae. En una montaña rusa, en el punto más bajo del valle o del bucle, la sobrecarga te pega al asiento con 3 o 4g. Allí el vagón cambia rápidamente de dirección, de bajar a subir, y eso es una gran aceleración dirigida hacia arriba.

Al bajar, el asiento empuja más débilmente que al estar sentado; en el punto más bajo del valle, unas tres veces más fuerte.

Un piloto de caza en un viraje cerrado aguanta hasta 9g, pero solo con un traje especial que impide que la sangre se le vaya de la cabeza a las piernas. Una persona sin entrenamiento se desmayaría en pocos segundos con una sobrecarga así. Lo curioso es que en caída libre no notamos nada, aunque aceleremos: nada nos empuja, la sobrecarga es nula y el cuerpo está en ingravidez. Por qué sentimos la aceleración como la presión del asiento lo explicará la dinámica, la parte dedicada a las fuerzas.

El movimiento más sencillo es aquel en el que la aceleración no cambia en absoluto, como en el coche de abajo de la primera figura. La velocidad crece entonces cada segundo en la misma cantidad y la distancia y la velocidad en cualquier instante se calculan con fórmulas sencillas. De ese movimiento trata el siguiente artículo, Movimiento uniformemente acelerado.