Przyspieszenie

Producenci samochodów lubią się chwalić, w ile sekund ich auto przyspiesza od zera do setki. W zwykłym samochodzie rodzinnym wychodzi mniej więcej dziesięć sekund. Co ta liczba właściwie mówi? Najpierw przeliczmy sto kilometrów na godzinę na metry na sekundę:

$$100\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{100}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

W dziesięć sekund samochód rozpędza się więc do 27,8 m/s. Gdyby przyspieszał równomiernie, z każdą sekundą jechałby szybciej o jedną dziesiątą tej wartości, o 2,78 m/s, w zaokrągleniu o 2,8 m/s. Po pierwszej sekundzie jechałby 2,8 m/s, po drugiej 5,6 m/s, po trzeciej 8,4 m/s, a po dziesiątej owe 27,8 m/s. Wielkość, która mówi, o ile prędkość zmienia się w ciągu sekundy, nazywamy przyspieszeniem.

Rysunek pokazuje dwie drogi jedna nad drugą. Oba samochody co pełną sekundę zostawiają za sobą pomarańczowy znak. Górny samochód utrzymuje cały czas to samo tempo, 7 m/s, i dlatego jego znaki są od siebie równo oddalone. Dolny samochód rusza ze spoczynku i przyspiesza dokładnie o 2,8 m/s w każdej sekundzie. W pierwszej sekundzie przejeżdża tylko kawałek, ledwie półtora metra, ale potem z każdą sekundą więcej, bo jedzie coraz szybciej. Jego znaki są więc coraz dalej od siebie, o ile, policzymy za chwilę. Po pięciu sekundach oba samochody są w tym samym miejscu, 35 m od startu. Dolny samochód początkowo zostawał w tyle, w końcu jechał szybciej i dogonił górny dokładnie na mecie.

Wzór na przyspieszenie

Jeśli szukasz tylko wzoru: przyspieszenie a obliczysz, dzieląc zmianę prędkości Δv przez czas Δt, w którym prędkość się zmieniła:

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$$

Grecka litera Δ oznacza zmianę. Zmiana prędkości to różnica prędkości na końcu i na początku. Prędkość początkową oznaczymy v₀, końcową v:

$$\mathrm{\Delta }v=v-v_0$$

Dla samochodu ze wstępu zapisujemy dane:

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =0\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v& =100\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =10\mathrm{s}\\ a& =?\end{array}$$

Podstawiamy:

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}-0\mathrm{m}/\mathrm{s}}{10\mathrm{s}}\approx 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Samochód rodzinny ma przyspieszenie około 2,8 m/s². W rzeczywistości samochód nie przyspiesza cały czas jednakowo, na wyższym biegu przyspiesza już słabiej. Obliczona liczba to więc przyspieszenie średnie z całych dziesięciu sekund. Przyspieszenie chwilowe dostajemy tym samym sposobem co prędkość chwilową: zmianę prędkości mierzymy w tak krótkim czasie Δt, żeby przyspieszenie nie zmieniło się w nim zauważalnie. Jeśli znasz pochodne, rozpoznasz w tym pochodną prędkości względem czasu, a = v'(t).

Dlaczego metry na sekundę do kwadratu

Jednostkę przyspieszenia dostajemy, dzieląc jednostkę prędkości przez jednostkę czasu. Dzielenie przez liczbę to to samo co mnożenie przez jej odwrotność:

$$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}\cdot \mathrm{s}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Dwie sekundy w mianowniku wyglądają dziwnie, ale każda jest tam z innego powodu. Pierwsza należy do prędkości (ile metrów na sekundę samochód jedzie), druga mówi, w jakim czasie ta prędkość się zmieniła. Zapis 2,8 m/s² czytaj więc jako „w każdej sekundzie o 2,8 m/s szybciej”.

Kto woli liczyć w kilometrach na godzinę, może to wyrazić także tak: samochód, który przyspiesza od zera do setki w dziesięć sekund, w każdej sekundzie dodaje 10 km/h. Wynik 10 km/h na sekundę to pełnoprawne przyspieszenie, tylko w jednostce, której nikt nie używa, bo miesza godziny z sekundami.

Uwaga, nie myl pojęć: duże przyspieszenie nie oznacza dużej prędkości. Samochód na autostradzie z tempomatem ustawionym na 130 km/h ma przyspieszenie zerowe, bo jego prędkość się nie zmienia. Samochód ruszający na zielonym świetle jedzie początkowo z prawie zerową prędkością, a mimo to ma spore przyspieszenie. Przyspieszenie nie mówi, jak szybko ciało jedzie, tylko jak szybko zmienia się jego prędkość.

Dlaczego znaki się rozsuwają

Spójrzmy jeszcze raz na dolny samochód z rysunku. Ma przyspieszenie 2,8 m/s², więc w pierwszej sekundzie przyspiesza od zera do 2,8 m/s. Prędkość rośnie równomiernie, więc przez pierwszą sekundę jedzie średnio z połową tej prędkości, 1,4 m/s, i przejeżdża 1,4 m. W drugiej sekundzie przyspiesza od 2,8 m/s do 5,6 m/s, jedzie średnio 4,2 m/s i przejeżdża 4,2 m, trzy razy więcej niż w pierwszej. W trzeciej sekundzie jedzie średnio 7 m/s, tak samo jak górny samochód, i przejeżdża te same 7 m.

W każdej sekundzie prędkość średnia zwiększa się o 2,8 m/s, więc przejechany odcinek rośnie o 2,8 m. Odstępy między znakami wynoszą kolejno 1,4 m, 4,2 m, 7 m, 9,8 m i 12,6 m, są w stosunku 1:3:5:7:9 i razem dają 35 m. Górny samochód jedzie cały czas 7 m/s i w pięć sekund też przejeżdża 35 m. To, że prędkość średnia leży dokładnie pośrodku między prędkością na początku i na końcu sekundy, jest prawdą tylko przy równomiernym wzroście prędkości. Dlaczego, uzasadnimy przy ruchu jednostajnie przyspieszonym.

Hamowanie

Samochód jedzie z prędkością 72 km/h, czyli 20 m/s, kierowca hamuje i po 4 s samochód stoi. Prędkość końcowa jest zerowa, początkowa 20 m/s:

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{0\mathrm{m}/\mathrm{s}-20\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{s}}=-5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Przyspieszenie wyszło ujemne. Prędkość samochodu nie rośnie, tylko maleje, i to w każdej sekundzie o 5 m/s. Potocznie mówimy o hamowaniu, a fizyk powie, że samochód zwalnia z przyspieszeniem −5 m/s², czyli z opóźnieniem 5 m/s². Jedno i drugie oznacza to samo.

Co jednak naprawdę oznacza znak minus? Prędkość jest wektorem i przyspieszenie też. Strzałka przyspieszenia $\overrightarrow{a}$ pokazuje, w którą stronę zmienia się prędkość.

Oba samochody jadą w prawo i dlatego czerwona strzałka prędkości $\overrightarrow{v}$ jest skierowana w prawo. Górny samochód przyspiesza, a zielona strzałka przyspieszenia $\overrightarrow{a}$ ma ten sam zwrot co prędkość: w każdej sekundzie do prędkości dochodzi kawałek i strzałka prędkości się wydłuża. Dolny samochód hamuje, a jego przyspieszenie ma zwrot przeciwny, do tyłu. W każdej sekundzie strzałka prędkości się skraca, aż nic z niej nie zostaje. Na prostej do określenia zwrotu wystarczy znak. Gdy dodatni zwrot wybierzemy zgodnie z kierunkiem jazdy, jak przy hamującym samochodzie, dodatnie przyspieszenie ma ten sam zwrot co prędkość i ciało przyspiesza. Ujemne ma zwrot przeciwny do prędkości i ciało zwalnia.

Przyspieszenie na zakręcie

Samochód objeżdża rondo, a prędkościomierz pokazuje cały czas 54 km/h. Prędkość jako wektor mimo to się zmienia, bo strzałka prędkości nieustannie się obraca. A gdzie zmienia się prędkość, tam jest też przyspieszenie. Przyspieszenie jako wektor to zmiana wektora prędkości w jednostce czasu:

$$\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{{\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1}{\mathrm{\Delta }t}$$

Dwa wektory odejmujemy, przenosząc obie strzałki do jednego punktu. Różnica ${\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1$ to wtedy strzałka od grotu ${\overrightarrow{v}}_1$ do grotu ${\overrightarrow{v}}_2$, bo gdy dodamy ją do ${\overrightarrow{v}}_1$, dostaniemy właśnie ${\overrightarrow{v}}_2$. Strzałki prędkości na rondzie są równie długie, ale skierowane gdzie indziej, więc ich różnica nie jest zerowa. Samochód, który pokonuje zakręt ze stałą wartością prędkości, ma niezerowe przyspieszenie. Nie powoduje go gaz ani hamulec, tylko skręcanie.

Zadanie: Samochód przejeżdża ćwierć ronda ze stałą wartością prędkości 54 km/h = 15 m/s w 3 s. Na początku jedzie na wschód, na końcu na północ. Jaką wartość ma jego przyspieszenie średnie i dokąd jest skierowane? Zapisujemy dane:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v_2& =15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =3\mathrm{s}\\ a& =?\end{array}$$

Strzałka ${\overrightarrow{v}}_1$ jest skierowana na wschód, na rysunku w prawo, strzałka ${\overrightarrow{v}}_2$ na północ, w górę.

Po prawej obie strzałki są przeniesione do jednego punktu i tworzą kąt prosty. Zielona różnica $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ prowadzi od grotu ${\overrightarrow{v}}_1$ do grotu ${\overrightarrow{v}}_2$, czyli o 15 m/s w lewo i o 15 m/s w górę. Jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, więc jej wartość obliczymy z twierdzenia Pitagorasa:

$$\mathrm{\Delta }v=\sqrt{{15}^2+{15}^2}\mathrm{m}/\mathrm{s}=\sqrt{450}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Różnica jest skierowana ukośnie w lewo w górę, na północny zachód, tak samo jak szara strzałka po lewej, która prowadzi ze środka ćwiartki do środka ronda. Przyspieszenie dostaniemy, dzieląc zmianę prędkości przez czas. Dzielenie przez liczbę tylko skraca strzałkę, więc przyspieszenie też jest skierowane do środka ronda. Podstawiamy:

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}\approx \frac{21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Samochód ma przyspieszenie średnie około 7,1 m/s² skierowane do środka ronda. To prawie tyle co przy gwałtownym hamowaniu na suchej drodze, około 7 m/s², a przecież prędkościomierz cały czas pokazuje 54 km/h. Dlatego na zakręcie musisz się zaprzeć, nawet gdy kierowca nie dodaje gazu ani nie hamuje. Wyszło nam przyspieszenie średnie, z całej ćwiartki ronda. Przyspieszenie chwilowe w każdym miejscu zakrętu obliczymy dokładnie przy przyspieszeniu dośrodkowym.

Przeciążenie

Przyspieszenie samochodu czujemy na własnym ciele: sportowe auto przy ruszaniu wciska cię w fotel. Jak mocno, porównuje się z przyspieszeniem ziemskim g ≈ 9,81 m/s². Z takim przyspieszeniem spada kamień, który wypuścisz z ręki, jeśli nie hamuje go powietrze. Sportowy samochód potrafi przyspieszyć od zera do setki w trzy sekundy, więc ma przyspieszenie

$$a=\frac{27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,$$

prawie takie samo jak spadający kamień.

Przeciążenie mówi, ile razy mocniej naciska na ciebie siedzenie, podłoga albo oparcie niż wtedy, gdy spokojnie siedzisz. Gdy siedzisz teraz na krześle, przeciążenie wynosi 1g, chociaż nie przyspieszasz. Przeciążenie nie jest więc tym samym co przyspieszenie. Przy 4g siedzenie naciskałoby na ciebie cztery razy mocniej, tak jakbyś ważył cztery razy więcej.

W sportowym samochodzie przy pełnym gazie oparcie naciska ci na plecy prawie tak samo mocno jak siedzenie od spodu, bo samochód przyspiesza prawie jak spadający kamień. Na kolejce górskiej w najniższym miejscu doliny albo pętli dociska cię do siedzenia przeciążenie od 3 do 4g. Wagonik szybko zmienia tam kierunek z jazdy w dół na jazdę w górę, a to oznacza duże przyspieszenie skierowane do góry.

W drodze w dół siedzenie naciska słabiej niż wtedy, gdy siedzisz na krześle, w najniższym miejscu doliny mniej więcej trzy razy mocniej.

Pilot myśliwca na ostrym zakręcie wytrzymuje nawet 9g, ale tylko w specjalnym kombinezonie, który nie pozwala, żeby krew odpłynęła mu z głowy do nóg. Niewytrenowany człowiek przy takim przeciążeniu zemdlałby po kilku sekundach. Ciekawe, że w spadku swobodnym nic nie czujemy, chociaż przyspieszamy: nic na nas nie naciska, przeciążenie jest zerowe, a ciało jest w stanie nieważkości. Dlaczego właściwie czujemy przyspieszenie jako nacisk siedzenia, wyjaśni dopiero dynamika, czyli część o siłach.

Najprostszy jest ruch, w którym przyspieszenie w ogóle się nie zmienia, tak jak w przypadku dolnego samochodu na pierwszym rysunku. Prędkość rośnie wtedy w każdej sekundzie o tyle samo, a drogę i prędkość w dowolnej chwili potrafimy obliczyć prostymi wzorami. Takiemu ruchowi poświęcony jest kolejny artykuł, Ruch jednostajnie przyspieszony.