Gyorsulás

Az autógyártók szívesen dicsekednek azzal, hány másodperc alatt gyorsul az autójuk nulláról százra. Egy átlagos családi autónál ez nagyjából tíz másodperc. Mit mond voltaképpen ez a szám? Először átváltjuk a száz kilométer per órát méter per másodpercre:

$$100\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{100}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Tíz másodperc alatt tehát az autó 27,8 m/s sebességre tesz szert. Ha egyenletesen gyorsulna, minden másodperccel ennek egy tizedével gyorsabban menne, vagyis 2,78 m/s értékkel, kerekítve 2,8 m/s értékkel. Az első másodperc után 2,8 m/s sebességgel haladna, a második után 5,6 m/s sebességgel, a harmadik után 8,4 m/s sebességgel, a tizedik után pedig azzal a bizonyos 27,8 m/s sebességgel. Azt a mennyiséget, amely megadja, mennyit változik a sebesség másodpercenként, gyorsulásnak nevezzük.

Az ábrán két út látható egymás alatt. Mindkét autó minden egész másodpercben egy narancssárga jelet hagy maga mögött. A felső autó végig ugyanazt a tempót tartja, azaz 7 m/s sebességet, ezért a jelei egyforma távolságra vannak egymástól. Az alsó autó állóhelyzetből indul, és másodpercenként pontosan 2,8 m/s értékkel nő a sebessége. Az első másodpercben alig tesz meg valamit, éppen csak másfél métert, aztán viszont másodpercről másodpercre többet, mert egyre gyorsabban megy. A jelei ezért egyre messzebb vannak egymástól, hogy mennyivel, azt mindjárt kiszámoljuk. Öt másodperc múlva a két autó ugyanott van, a rajttól 35 m távolságra. Az alsó autó eleinte lemaradt, a végén már gyorsabban ment, és pontosan a célban érte utol a felsőt.

A gyorsulás képlete

Ha csak a képletet keresed: az a gyorsulást úgy kapod meg, hogy a Δv sebességváltozást elosztod azzal a Δt idővel, amely alatt a sebesség megváltozott:

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$$

A görög Δ betű változást jelent. A sebességváltozás a végső és a kezdeti sebesség különbsége. A kezdősebesség jele v₀, a végsőé v:

$$\mathrm{\Delta }v=v-v_0$$

A bevezető autó adatait így írjuk fel:

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =0\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v& =100\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =10\mathrm{s}\\ a& =?\end{array}$$

Behelyettesítünk:

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}-0\mathrm{m}/\mathrm{s}}{10\mathrm{s}}\approx 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

A családi autó gyorsulása körülbelül 2,8 m/s². A valóságban az autó nem gyorsul végig egyformán, nagyobb sebességi fokozatban már kevesebbet gyorsul. A kapott szám ezért a teljes tíz másodpercre vett átlagos gyorsulás. A pillanatnyi gyorsulást ugyanazzal a fogással kapjuk, mint a pillanatnyi sebességet: a sebességváltozást olyan rövid Δt idő alatt mérjük, hogy a gyorsulás közben észrevehetően ne változzon. Aki ismeri a deriváltat, ebben felismeri a sebesség idő szerinti deriváltját, a = v'(t).

Miért méter per másodpercnégyzet

A gyorsulás mértékegységét úgy kapjuk, hogy a sebesség mértékegységét elosztjuk az idő mértékegységével. Egy számmal osztani ugyanaz, mint a reciprokával szorozni:

$$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}\cdot \mathrm{s}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

A két másodperc a nevezőben furcsán néz ki, de mindkettő más okból került oda. Az első a sebességhez tartozik (hány métert tesz meg az autó másodpercenként), a második azt mondja meg, mennyi idő alatt változott meg ez a sebesség. A 2,8 m/s² jelölést ezért így olvasd: „minden másodpercben 2,8 m/s értékkel gyorsabban”.

Aki szívesebben számol kilométer per órában, ezt is kifejezheti így: az az autó, amely tíz másodperc alatt gyorsul nulláról százra, minden másodpercben 10 km/h értékkel nő a sebessége. A másodpercenkénti 10 km/h teljes értékű gyorsulás, csak olyan mértékegységben, amelyet senki sem használ, mert az órát keveri a másodperccel.

Vigyázz az összekeveréssel: a nagy gyorsulás nem jelent nagy sebességet. Annak az autónak, amelynek tempomatját az autópályán 130 km/h értékre állították, a gyorsulása nulla, mert a sebessége nem változik. A zöldre induló autó eleinte szinte nulla sebességgel megy, mégis jókora a gyorsulása. A gyorsulás nem azt mondja meg, milyen gyorsan megy a test, hanem azt, milyen gyorsan változik a sebessége.

Miért távolodnak a jelek egyre jobban

Nézzük meg újra az ábra alsó autóját. Gyorsulása 2,8 m/s², ezért az első másodperc alatt nulláról 2,8 m/s sebességre gyorsul. A sebesség egyenletesen nő, így az első másodpercben átlagosan a felével, 1,4 m/s sebességgel megy, és 1,4 m utat tesz meg. A második másodpercben 2,8 m/s sebességről 5,6 m/s sebességre gyorsul, átlagosan 4,2 m/s sebességgel megy, és 4,2 m utat tesz meg, háromszor annyit, mint az elsőben. A harmadik másodpercben átlagosan 7 m/s sebességgel megy, ugyanúgy, mint a felső autó, és ugyanazt a 7 m utat teszi meg.

Az átlagsebesség minden másodperccel 2,8 m/s értékkel nő, így a megtett útszakasz is 2,8 m értékkel. A jelek távolsága egymás után 1,4 m, 4,2 m, 7 m, 9,8 m és 12,6 m, vagyis 1:3:5:7:9 arányban, és összesen 35 m utat adnak ki. A felső autó végig 7 m/s sebességgel megy, és öt másodperc alatt ugyancsak 35 m utat tesz meg. Az, hogy az átlagsebesség pontosan a másodperc eleji és végi sebesség között félúton van, csak egyenletes sebességnövekedésnél igaz. Hogy miért, azt az egyenletesen gyorsuló mozgásnál indokoljuk meg.

Fékezés

Az autó 72 km/h, vagyis 20 m/s sebességgel megy, a sofőr fékez, és 4 s múlva az autó megáll. A végső sebesség nulla, a kezdeti 20 m/s:

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{0\mathrm{m}/\mathrm{s}-20\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{s}}=-5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

A gyorsulás negatív lett. Az autó sebessége nem nő, hanem csökken, mégpedig másodpercenként 5 m/s értékkel. Köznapi nyelven lassulásnak mondanánk, a fizikus viszont azt mondja, hogy az autó −5 m/s² gyorsulással lassul, vagyis 5 m/s² lassulással. Mindkettő ugyanazt jelenti.

De mit jelent valójában a mínuszjel? A sebesség vektor, a gyorsulás is. A $\overrightarrow{a}$ gyorsulás nyila azt mutatja, merre változik a sebesség.

Mindkét autó jobbra megy, ezért a $\overrightarrow{v}$ sebesség piros nyila jobbra mutat. A felső autó gyorsul, és a $\overrightarrow{a}$ gyorsulás zöld nyila ugyanarra mutat, mint a sebesség: minden másodpercben hozzáadódik valami a sebességhez, és a sebesség nyila meghosszabbodik. Az alsó autó fékez, és a gyorsulása ellenkező irányba, hátrafelé mutat. Minden másodpercben megrövidül a sebesség nyila, míg el nem fogy. Egyenesen elég az irányt előjellel jelölni. Ha a pozitív irányt a haladás irányába választjuk, mint a fékező autónál, a pozitív gyorsulás ugyanarra mutat, mint a sebesség, és a test gyorsul. A negatív a sebességgel ellentétes irányba mutat, és a test lassul.

Gyorsulás a kanyarban

Az autó körforgalomban halad, és a sebességmérő végig 54 km/h értéket mutat. A sebesség mint vektor mégis változik, mert a sebesség nyila folyamatosan elfordul. Ahol pedig változik a sebesség, ott van gyorsulás is. A gyorsulás mint vektor a sebességvektor időegységre jutó változása:

$$\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{{\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1}{\mathrm{\Delta }t}$$

Két vektort úgy vonunk ki egymásból, hogy mindkét nyilat ugyanabba a pontba toljuk. A ${\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1$ különbség ekkor a ${\overrightarrow{v}}_1$ hegyétől a ${\overrightarrow{v}}_2$ hegyéig mutató nyíl, mert ha hozzáadjuk a ${\overrightarrow{v}}_1$ vektorhoz, éppen a ${\overrightarrow{v}}_2$ vektort kapjuk. A sebesség nyilai a körforgalomban egyforma hosszúak, de máshová mutatnak, így a különbségük nem nulla. Az az autó, amely állandó sebességgel megy át egy kanyaron, gyorsulása nem nulla. Ezt nem a gáz vagy a fék okozza, hanem a kanyarodás.

Példa: Az autó állandó 54 km/h = 15 m/s sebességgel 3 s alatt megteszi a körforgalom negyedét. Az elején keletnek halad, a végén északnak. Mekkora az átlagos gyorsulása, és merre mutat? Felírjuk az adatokat:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v_2& =15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =3\mathrm{s}\\ a& =?\end{array}$$

A ${\overrightarrow{v}}_1$ nyila keletre mutat, az ábrán jobbra, a ${\overrightarrow{v}}_2$ nyila északra, felfelé.

Jobbra a két nyíl egy pontba tolva látható, és derékszöget zárnak be. A zöld $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ különbség a ${\overrightarrow{v}}_1$ hegyétől a ${\overrightarrow{v}}_2$ hegyéig vezet, vagyis 15 m/s értékkel balra és 15 m/s értékkel felfelé. Egy derékszögű háromszög átfogója, így a nagyságát a Pitagorasz-tétellel számoljuk ki:

$$\mathrm{\Delta }v=\sqrt{{15}^2+{15}^2}\mathrm{m}/\mathrm{s}=\sqrt{450}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

A különbség ferdén balra fel, északnyugatra mutat, ugyanúgy, mint a bal oldali szürke nyíl, amely a negyed kör feléből a körforgalom közepére vezet. A gyorsulást úgy kapjuk, hogy a sebességváltozást elosztjuk az idővel. Számmal osztva a nyíl csak megrövidül, ezért a gyorsulás is a körforgalom közepe felé mutat. Behelyettesítünk:

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}\approx \frac{21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Az autó átlagos gyorsulása körülbelül 7,1 m/s² a körforgalom közepe felé. Ez majdnem annyi, mint száraz úton erős fékezéskor, nagyjából 7 m/s², és közben a sebességmérő végig 54 km/h értéket mutat. Ezért kell a kanyarban megkapaszkodni, pedig a sofőr nem gyorsít és nem is fékez. Átlagos gyorsulást kaptunk, a körforgalom teljes negyedére. A pillanatnyi gyorsulást a kanyar minden pontján pontosan a centripetális gyorsulásnál számoljuk ki.

Túlterhelés

Az autó gyorsulását a saját testünkön érezzük: a sportautó induláskor beleszorít az ülésbe. Hogy mennyire erősen, azt a nehézségi gyorsuláshoz viszonyítják, g ≈ 9,81 m/s². Ekkora gyorsulással esik a kő, ha elengeded, és nem fékezi a levegő. Egy sportautó három másodperc alatt gyorsul nulláról százra, tehát a gyorsulása

$$a=\frac{27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,$$

majdnem akkora, mint az eső kőé.

A túlterhelés azt adja meg, hányszor erősebben nyom az ülés, a padló vagy a háttámla, mint nyugodt ülésnél. Ha most széken ülsz, a túlterhelés 1g, pedig nem gyorsulsz. A túlterhelés tehát nem ugyanaz, mint a gyorsulás. 4g túlterhelésnél az ülés négyszer erősebben nyomna, mintha négyszer nehezebb lennél.

Egy sportautóban teljes gázzal a háttámla majdnem olyan erősen nyom hátulról, mint az ülés alulról, mert az autó majdnem úgy gyorsul, mint az eső kő. A hullámvasúton a völgy vagy a hurok legalsó pontján 3 és 4g közötti túlterhelés présel az ülésbe. A kocsi ott gyorsan vált irányt a lefelé haladásból a felfelé haladásba, és ez nagy, felfelé mutató gyorsulás.

Lefelé menet az ülés gyengébben nyom, mint ülésnél, a völgy legalsó pontján nagyjából háromszor erősebben.

A vadászpilóta éles kanyarban akár 9g túlterhelést is elvisel, de csak speciális overallban, amely megakadályozza, hogy a vér a fejéből a lábába áramoljon. Egy edzetlen ember ekkora túlterhelésnél pár másodperc alatt elájulna. Érdekes, hogy szabadesésben semmit sem érzünk, pedig gyorsulunk: semmi sem nyom, a túlterhelés nulla, a test súlytalan. Hogy miért érezzük a gyorsulást az ülés nyomásaként, azt majd a dinamika, vagyis az erőkről szóló rész magyarázza el.

A legegyszerűbb az a mozgás, amelynél a gyorsulás egyáltalán nem változik, mint az első ábra alsó autójánál. A sebesség ekkor minden másodpercben ugyanannyival nő, az utat és a sebességet pedig bármely pillanatban egyszerű képletekkel ki tudjuk számolni. Az ilyen mozgással foglalkozik a következő cikk, az Egyenletesen gyorsuló mozgás.