Kiihtyvyys

Autonvalmistajat kehuvat mielellään, kuinka monessa sekunnissa heidän autonsa kiihtyy nollasta sataan. Tavallisella perheautolla se on suunnilleen kymmenen sekuntia. Mitä tuo luku oikeastaan kertoo? Muunnetaan ensin sata kilometriä tunnissa metreiksi sekunnissa:

$$100\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{100}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Kymmenessä sekunnissa auto siis saavuttaa nopeuden 27,8 m/s. Jos se lisäisi nopeuttaan tasaisesti, se ajaisi joka sekunti kymmenesosan siitä nopeammin, 2,78 m/s enemmän, pyöristettynä 2,8 m/s. Ensimmäisen sekunnin jälkeen se ajaisi nopeudella 2,8 m/s, toisen jälkeen 5,6 m/s, kolmannen jälkeen 8,4 m/s ja kymmenennen jälkeen tuota 27,8 m/s. Suuretta, joka kertoo, kuinka paljon nopeus muuttuu sekunnissa, sanotaan kiihtyvyydeksi.

Kuvassa on kaksi tietä päällekkäin. Kumpikin auto jättää taakseen oranssin merkin joka täyden sekunnin jälkeen. Ylempi auto pitää koko ajan saman vauhdin, 7 m/s, ja sen merkit ovat siksi yhtä kaukana toisistaan. Alempi auto lähtee levosta ja kiihtyy täsmälleen 2,8 m/s joka sekunti. Ensimmäisessä sekunnissa se kulkee vain pienen matkan, tuskin puolitoista metriä, mutta sitten joka sekunti enemmän, koska se ajaa yhä nopeammin. Sen merkit ovat siksi yhä kauempana toisistaan, kuinka paljon, lasketaan hetken kuluttua. Viiden sekunnin kuluttua molemmat autot ovat samassa paikassa, 35 m lähdöstä. Alempi auto jäi aluksi jälkeen, mutta ajoi lopussa nopeammin ja saavutti ylemmän auton täsmälleen maalissa.

Kiihtyvyyden kaava

Jos haluat vain kaavan, kiihtyvyyden a saat jakamalla nopeuden muutoksen Δv ajalla Δt, jossa nopeus muuttui:

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$$

Kreikkalainen Δ tarkoittaa muutosta. Nopeuden muutos on nopeuden erotus lopussa ja alussa. Alkunopeutta merkitään v₀, loppunopeutta v:

$$\mathrm{\Delta }v=v-v_0$$

Johdannon autolle kirjoitetaan tehtävänanto:

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =0\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v& =100\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =10\mathrm{s}\\ a& =?\end{array}$$

Sijoitetaan:

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}-0\mathrm{m}/\mathrm{s}}{10\mathrm{s}}\approx 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Perheauton kiihtyvyys on noin 2,8 m/s². Todellisuudessa auto ei kiihdy koko ajan yhtä lujaa, suuremmalla vaihteella se lisää nopeutta vähemmän. Laskettu luku on siksi keskikiihtyvyys koko kymmenen sekunnin ajalta. Hetkellinen kiihtyvyys saadaan samalla kikalla kuin hetkellinen nopeus: nopeuden muutos mitataan niin lyhyessä ajassa Δt, ettei kiihtyvyys sen aikana havaittavasti muutu. Joka tuntee derivaatan, tunnistaa tässä nopeuden derivaatan ajan suhteen, a = v'(t).

Miksi metriä sekunnin neliötä kohti

Kiihtyvyyden yksikkö saadaan jakamalla nopeuden yksikön ajan yksiköllä. Luvulla jakaminen on sama kuin sen käänteisluvulla kertominen:

$$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}\cdot \mathrm{s}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Kaksi sekuntia nimittäjässä näyttää oudolta, mutta kumpikin on siinä eri syystä. Ensimmäinen kuuluu nopeuteen (montako metriä sekunnissa auto ajaa), toinen kertoo, kuinka kauan nopeuden muuttuminen kesti. Merkintä 2,8 m/s² kannattaa siksi lukea ”joka sekunti 2,8 m/s nopeammin”.

Joka laskee mieluummin kilometreinä tunnissa, voi ilmaista saman myös näin: auto, joka kiihtyy nollasta sataan kymmenessä sekunnissa, lisää joka sekunti 10 km/h. Tulos 10 km/h sekunnissa on täysipainoinen kiihtyvyys, vain yksikössä, jota kukaan ei käytä, koska se sekoittaa tunnit ja sekunnit.

Varo sekoitusta: suuri kiihtyvyys ei tarkoita suurta nopeutta. Moottoritiellä ajavalla autolla, jonka vakionopeussäädin on asetettu nopeuteen 130 km/h, kiihtyvyys on nolla, koska sen nopeus ei muutu. Vihreissä valoissa liikkeelle lähtevä auto ajaa aluksi lähes nollanopeudella, ja silti sen kiihtyvyys on kunnollinen. Kiihtyvyys ei kerro, kuinka nopeasti kappale liikkuu, vaan kuinka nopeasti sen nopeus muuttuu.

Miksi merkit etääntyvät toisistaan

Katsotaan vielä kuvan alempaa autoa. Sen kiihtyvyys on 2,8 m/s², joten ensimmäisessä sekunnissa se kiihtyy nollasta nopeuteen 2,8 m/s. Nopeus kasvaa tasaisesti, joten ensimmäisen sekunnin ajan se ajaa keskimäärin puolta nopeudesta, 1,4 m/s, ja kulkee 1,4 m. Toisessa sekunnissa se kiihtyy nopeudesta 2,8 m/s nopeuteen 5,6 m/s, ajaa keskimäärin 4,2 m/s ja kulkee 4,2 m, kolme kertaa enemmän kuin ensimmäisessä. Kolmannessa sekunnissa se ajaa keskimäärin 7 m/s, kuten ylempi auto, ja kulkee samat 7 m.

Joka sekunti keskinopeus kasvaa 2,8 m/s ja kuljettu tienpätkä siksi 2,8 m. Merkkien välit ovat peräkkäin 1,4 m, 4,2 m, 7 m, 9,8 m ja 12,6 m, suhteessa 1:3:5:7:9, ja yhteensä ne antavat 35 m. Ylempi auto ajaa koko ajan nopeudella 7 m/s ja kulkee viidessä sekunnissa myös 35 m. Se, että keskinopeus on täsmälleen sekunnin alun ja lopun nopeuden puolivälissä, pätee vain, kun nopeus kasvaa tasaisesti. Miksi, perustellaan tasaisesti kiihtyvän liikkeen yhteydessä.

Jarrutus

Auto ajaa nopeudella 72 km/h, eli 20 m/s, kuljettaja jarruttaa ja 4 s:ssa auto seisoo. Loppunopeus on nolla, alkunopeus 20 m/s:

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{0\mathrm{m}/\mathrm{s}-20\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{s}}=-5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Kiihtyvyys tuli negatiivinen. Auton nopeus ei kasva vaan pienenee, joka sekunti 5 m/s. Arkikielessä puhuttaisiin hidastuvuudesta, mutta fyysikko sanoo, että auto hidastuu kiihtyvyydellä −5 m/s², eli hidastuvuudella 5 m/s². Molemmat tarkoittavat samaa.

Mutta mitä miinusmerkki oikeastaan tarkoittaa? Nopeus on vektori ja kiihtyvyyskin. Kiihtyvyyden nuoli $\overline{a}$ osoittaa, mihin suuntaan nopeus muuttuu.

Molemmat autot ajavat oikealle, ja siksi punainen nopeusnuoli $\overline{v}$ osoittaa oikealle. Ylempi auto kiihtyy ja vihreä kiihtyvyysnuoli $\overline{a}$ osoittaa samaan suuntaan kuin nopeus: joka sekunti nopeuteen tulee vähän lisää ja nopeusnuoli pitenee. Alempi auto jarruttaa ja sen kiihtyvyys osoittaa vastakkaiseen suuntaan, taaksepäin. Joka sekunti nopeusnuoli lyhenee, kunnes siitä ei jää mitään. Suoralla suunnan ilmaisemiseen riittää etumerkki. Kun positiivinen suunta valitaan ajosuuntaan, kuten jarruttavalla autolla, positiivinen kiihtyvyys osoittaa samaan suuntaan kuin nopeus ja kappale kiihtyy. Negatiivinen osoittaa nopeutta vastaan ja kappale hidastuu.

Kiihtyvyys kaarteessa

Auto kiertää liikenneympyrää ja nopeusmittari näyttää koko ajan 54 km/h. Nopeus vektorina kuitenkin muuttuu, koska nopeusnuoli kääntyy jatkuvasti. Ja missä nopeus muuttuu, siellä on myös kiihtyvyys. Kiihtyvyys vektorina on nopeusvektorin muutos aikayksikköä kohti:

$$\overline{a}=\frac{\mathrm{\Delta }\overline{v}}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{{\overline{v}}_2-{\overline{v}}_1}{\mathrm{\Delta }t}$$

Kaksi vektoria vähennetään siirtämällä molemmat nuolet samaan pisteeseen. Erotus ${\overline{v}}_2-{\overline{v}}_1$ on silloin nuoli vektorin ${\overline{v}}_1$ kärjestä vektorin ${\overline{v}}_2$ kärkeen, koska kun se lisätään vektoriin ${\overline{v}}_1$, saadaan juuri vektori ${\overline{v}}_2$. Nopeusnuolet liikenneympyrässä ovat yhtä pitkiä mutta osoittavat eri suuntiin, joten niiden erotus ei ole nolla. Autolla, joka ajaa kaarteen vakionopeudella, on nollasta poikkeava kiihtyvyys. Kiihtyvyyttä ei aiheuta kaasu eikä jarru vaan kaartaminen.

Esimerkki: Auto ajaa neljänneksen liikenneympyrästä vakionopeudella 54 km/h = 15 m/s ajassa 3 s. Alussa se ajaa itään, lopussa pohjoiseen. Kuinka suuri on sen keskikiihtyvyys ja minne se osoittaa? Kirjoitetaan tehtävänanto:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v_2& =15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =3\mathrm{s}\\ a& =?\end{array}$$

Nuoli ${\overline{v}}_1$ osoittaa itään, kuvassa oikealle, nuoli ${\overline{v}}_2$ pohjoiseen, ylös.

Oikealla molemmat nuolet on siirretty samaan pisteeseen ja ne muodostavat suoran kulman. Vihreä erotus $\mathrm{\Delta }\overline{v}$ kulkee vektorin ${\overline{v}}_1$ kärjestä vektorin ${\overline{v}}_2$ kärkeen, eli 15 m/s vasemmalle ja 15 m/s ylös. Se on suorakulmaisen kolmion hypotenuusa, joten sen suuruus lasketaan Pythagoraan lauseella:

$$\mathrm{\Delta }v=\sqrt{{15}^2+{15}^2}\mathrm{m}/\mathrm{s}=\sqrt{450}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Erotus osoittaa vinosti vasemmalle ylös, luoteeseen, aivan kuten harmaa nuoli vasemmalla, joka kulkee neljänneksen puolivälistä liikenneympyrän keskipisteeseen. Kiihtyvyys saadaan jakamalla nopeuden muutos ajalla. Luvulla jakaminen vain lyhentää nuolta, joten kiihtyvyys osoittaa myös liikenneympyrän keskipisteeseen. Sijoitetaan:

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}\approx \frac{21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Auton keskikiihtyvyys on noin 7,1 m/s² liikenneympyrän keskipisteeseen päin. Se on melkein yhtä paljon kuin kovassa jarrutuksessa kuivalla tiellä, noin 7 m/s², ja silti nopeusmittari näyttää koko ajan 54 km/h. Siksi kaarteessa täytyy ottaa tukea, vaikka kuljettaja ei kiihdytä eikä jarruta. Tulokseksi saatiin keskikiihtyvyys koko neljänneksen ajalta. Hetkellinen kiihtyvyys jokaisessa kaarteen kohdassa lasketaan tarkasti keskeiskiihtyvyyden yhteydessä.

G-voima

Auton kiihtyvyyden tuntee omassa kehossaan: urheiluauto painaa sinut liikkeelle lähtiessä istuimeen. Kuinka voimakkaasti, sitä verrataan putoamiskiihtyvyyteen g ≈ 9,81 m/s². Tällä kiihtyvyydellä putoaa kivi, jonka päästät irti kädestäsi, jos ilma ei hidasta sitä. Urheiluauto kiihtyy nollasta sataan kolmessa sekunnissa, joten sen kiihtyvyys on

$$a=\frac{27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,$$

melkein sama kuin putoavan kiven.

G-voima kertoo, kuinka monta kertaa voimakkaammin istuin, lattia tai selkänoja painaa sinua kuin rauhallisessa istumisessa. Kun istut nyt tuolilla, g-voima on 1g, vaikka et kiihdy. G-voima ei siis ole sama asia kuin kiihtyvyys. Kun g-voima on 4g, istuin painaisi sinua neljä kertaa voimakkaammin, ikään kuin painaisit neljä kertaa enemmän.

Urheiluautossa täyskaasulla selkänoja painaa sinua selkään melkein yhtä voimakkaasti kuin istuin altapäin, koska auto kiihtyy melkein kuin putoava kivi. Vuoristoradalla laakson tai silmukan alimmassa kohdassa sinua painaa istuinta vasten 3–4g:n g-voima. Vaunu muuttaa siinä nopeasti suuntaansa alaspäin ajamisesta ylöspäin ajamiseen, ja se on suuri ylöspäin osoittava kiihtyvyys.

Alas mennessä istuin painaa heikommin kuin tavallisesti istuessa, laakson alimmassa kohdassa noin kolme kertaa voimakkaammin.

Hävittäjälentäjä kestää jyrkässä kaarteessa jopa 9g, mutta vain erikoispuvussa, joka estää veren valumisen päästä jalkoihin. Harjoittelematon ihminen pyörtyisi tällaisessa g-voimassa muutamassa sekunnissa. Mielenkiintoista on, että vapaassa pudotuksessa ei tunne mitään, vaikka kiihtyy: mikään ei paina, g-voima on nolla ja keho on painottomassa tilassa. Miksi kiihtyvyys oikeastaan tuntuu istuimen painona, selittää vasta dynamiikka, eli voimia käsittelevä osa.

Yksinkertaisin on liike, jossa kiihtyvyys ei muutu lainkaan, kuten ensimmäisen kuvan alemmalla autolla. Nopeus kasvaa silloin joka sekunti yhtä paljon, ja matkan ja nopeuden mille tahansa hetkelle voi laskea yksinkertaisilla kaavoilla. Tällaista liikettä käsittelee seuraava artikkeli, Tasaisesti kiihtyvä liike.