Accelerația

Producătorilor de mașini le place să se laude cu timpul în care mașina lor accelerează de la zero la o sută. La o mașină de familie obișnuită sunt cam zece secunde. Ce ne spune de fapt acest număr? Mai întâi transformăm o sută de kilometri pe oră în metri pe secundă:

$$100\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{100}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

În zece secunde mașina câștigă deci 27,8 m/s. Dacă ar accelera uniform, ar merge în fiecare secundă cu o zecime din aceasta mai repede, adică cu 2,78 m/s, rotunjit cu 2,8 m/s. După prima secundă ar merge cu 2,8 m/s, după a doua cu 5,6 m/s, după a treia cu 8,4 m/s, iar după a zecea cu acei 27,8 m/s. Mărimea care arată cu cât se schimbă viteza într-o secundă se numește accelerație.

Figura arată două șosele una deasupra alteia. Ambele mașini lasă în urma lor, la fiecare secundă întreagă, un semn portocaliu. Mașina de sus păstrează tot timpul același ritm, 7 m/s, de aceea semnele ei sunt la distanțe egale. Mașina de jos demarează din repaus și accelerează exact cu 2,8 m/s în fiecare secundă. În prima secundă parcurge doar puțin, abia un metru și jumătate, apoi tot mai mult cu fiecare secundă, pentru că merge tot mai repede. De aceea semnele ei sunt tot mai depărtate unul de altul; cu cât, vom calcula imediat. După cinci secunde ambele mașini se află în același loc, la 35 m de start. Mașina de jos a rămas la început în urmă, la final mergea mai repede și a ajuns din urmă mașina de sus exact la sosire.

Formula accelerației

Dacă îți trebuie doar formula, accelerația a o calculezi împărțind variația vitezei Δv la intervalul de timp Δt în care s-a schimbat viteza:

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$$

Litera grecească Δ înseamnă variație. Variația vitezei este diferența dintre viteza de la sfârșit și cea de la început. Viteza inițială o notăm v₀, pe cea finală v:

$$\mathrm{\Delta }v=v-v_0$$

Pentru mașina din introducere scriem datele problemei:

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =0\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v& =100\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =10\mathrm{s}\\ a& =?\end{array}$$

Înlocuim:

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}-0\mathrm{m}/\mathrm{s}}{10\mathrm{s}}\approx 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Mașina de familie are accelerația de aproximativ 2,8 m/s². În realitate, mașina nu accelerează tot timpul la fel, în treptele de viteză superioare accelerează mai puțin. De aceea numărul calculat este accelerația medie pe cele zece secunde întregi. Accelerația momentană o obținem cu același truc ca viteza momentană: măsurăm variația vitezei într-un interval Δt atât de scurt, încât accelerația să nu se schimbe vizibil în timpul lui. Cine cunoaște derivatele recunoaște aici derivata vitezei în raport cu timpul, a = v'(t).

De ce metri pe secundă la pătrat

Unitatea accelerației o obținem împărțind unitatea vitezei la unitatea timpului. A împărți la un număr este același lucru cu a înmulți cu inversul lui:

$$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}\cdot \mathrm{s}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Cele două secunde de la numitor par ciudate, dar fiecare este acolo dintr-un alt motiv. Prima ține de viteză (câți metri pe secundă parcurge mașina), a doua spune în cât timp s-a schimbat acea viteză. De aceea citește scrierea 2,8 m/s² ca „în fiecare secundă mai repede cu 2,8 m/s”.

Cine preferă să calculeze în kilometri pe oră poate spune și așa: o mașină care accelerează de la zero la o sută în zece secunde adaugă în fiecare secundă 10 km/h. Rezultatul 10 km/h pe secundă este o accelerație în toată regula, doar într-o unitate pe care nu o folosește nimeni, fiindcă amestecă orele cu secundele.

Atenție la confuzie: o accelerație mare nu înseamnă o viteză mare. O mașină pe autostradă, cu tempomatul reglat la 130 km/h, are accelerația zero, pentru că viteza ei nu se schimbă. O mașină care demarează la semaforul verde merge la început cu o viteză aproape nulă și totuși are o accelerație serioasă. Accelerația nu spune cât de repede merge un corp, ci cât de repede i se schimbă viteza.

De ce se depărtează semnele

Să ne uităm din nou la mașina de jos din figură. Are accelerația 2,8 m/s², deci în prima secundă accelerează de la zero la 2,8 m/s. Viteza crește uniform, așa că în prima secundă merge în medie cu jumătate din viteza finală, 1,4 m/s, și parcurge 1,4 m. În a doua secundă accelerează de la 2,8 m/s la 5,6 m/s, merge în medie cu 4,2 m/s și parcurge 4,2 m, de trei ori mai mult decât în prima. În a treia secundă merge în medie cu 7 m/s, ca mașina de sus, și parcurge aceiași 7 m.

În fiecare secundă viteza medie crește cu 2,8 m/s, și de aceea bucata de șosea parcursă crește cu 2,8 m. Distanțele dintre semne sunt pe rând 1,4 m, 4,2 m, 7 m, 9,8 m și 12,6 m, în raportul 1:3:5:7:9, și împreună dau 35 m. Mașina de sus merge tot timpul cu 7 m/s și în cinci secunde parcurge de asemenea 35 m. Faptul că viteza medie se află exact la mijloc între viteza de la începutul și cea de la sfârșitul secundei este valabil doar când viteza crește uniform. De ce, vom explica la mișcarea uniform accelerată.

Frânarea

O mașină merge cu viteza 72 km/h, adică 20 m/s, șoferul frânează și în 4 s mașina se oprește. Viteza finală este zero, cea inițială 20 m/s:

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{0\mathrm{m}/\mathrm{s}-20\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{s}}=-5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Accelerația a ieșit negativă. Viteza mașinii nu crește, ci scade, și anume cu 5 m/s în fiecare secundă. În vorbirea de zi cu zi am spune doar că mașina încetinește, dar fizicianul spune că mașina încetinește cu accelerația −5 m/s², adică are o decelerație de 5 m/s². Ambele înseamnă același lucru.

Ce înseamnă însă cu adevărat semnul minus? Viteza este un vector, iar accelerația la fel. Săgeata accelerației $\overrightarrow{a}$ arată în ce sens se schimbă viteza.

Ambele mașini merg spre dreapta, de aceea săgeata roșie a vitezei $\overrightarrow{v}$ este orientată spre dreapta. Mașina de sus accelerează, iar săgeata verde a accelerației $\overrightarrow{a}$ are același sens ca viteza: în fiecare secundă se adaugă puțin la viteză și săgeata vitezei se alungește. Mașina de jos frânează, iar accelerația ei este îndreptată invers, înapoi. În fiecare secundă săgeata vitezei se scurtează, până când nu mai rămâne nimic din ea. Pe o dreaptă, pentru sens ajunge semnul. Dacă alegem sensul pozitiv în sensul mersului, ca la mașina care frânează, accelerația pozitivă are același sens ca viteza și corpul accelerează. Cea negativă are sens opus vitezei și corpul încetinește.

Accelerația în curbă

O mașină ocolește un sens giratoriu, iar vitezometrul arată tot timpul 54 km/h. Totuși viteza, ca vector, se schimbă, pentru că săgeata vitezei se rotește neîncetat. Iar acolo unde se schimbă viteza, există și accelerație. Accelerația ca vector este variația vectorului viteză pe unitatea de timp:

$$\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{{\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1}{\mathrm{\Delta }t}$$

Doi vectori îi scădem mutând ambele săgeți în același punct. Diferența ${\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1$ este atunci săgeata de la vârful lui ${\overrightarrow{v}}_1$ la vârful lui ${\overrightarrow{v}}_2$, pentru că dacă o adunăm la ${\overrightarrow{v}}_1$, obținem exact ${\overrightarrow{v}}_2$. Săgețile vitezei din sensul giratoriu sunt la fel de lungi, dar arată în alte direcții, așa că diferența lor nu este nulă. O mașină care parcurge o curbă cu viteză constantă are accelerație nenulă. Nu o provoacă pedala de accelerație sau frâna, ci virajul.

Exemplu: O mașină parcurge un sfert din sensul giratoriu cu viteza constantă 54 km/h = 15 m/s în 3 s. La început merge spre est, la sfârșit spre nord. Cât de mare este accelerația ei medie și încotro este orientată? Scriem datele problemei:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v_2& =15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =3\mathrm{s}\\ a& =?\end{array}$$

Săgeata ${\overrightarrow{v}}_1$ este orientată spre est, în figură spre dreapta, săgeata ${\overrightarrow{v}}_2$ spre nord, în sus.

În dreapta, ambele săgeți sunt mutate în același punct și formează un unghi drept. Diferența verde $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ merge de la vârful lui ${\overrightarrow{v}}_1$ la vârful lui ${\overrightarrow{v}}_2$, adică cu 15 m/s spre stânga și cu 15 m/s în sus. Este ipotenuza unui triunghi dreptunghic, așa că modulul ei îl calculăm cu teorema lui Pitagora:

$$\mathrm{\Delta }v=\sqrt{{15}^2+{15}^2}\mathrm{m}/\mathrm{s}=\sqrt{450}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Diferența este orientată oblic spre stânga-sus, spre nord-vest, la fel ca săgeata gri din stânga, care duce de la mijlocul sfertului spre centrul sensului giratoriu. Accelerația o obținem împărțind variația vitezei la timp. Împărțirea la un număr doar scurtează săgeata, deci și accelerația este orientată spre centrul sensului giratoriu. Înlocuim:

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}\approx \frac{21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Mașina are o accelerație medie de aproximativ 7,1 m/s² spre centrul sensului giratoriu. Este aproape cât la o frânare bruscă pe șosea uscată, în jur de 7 m/s², și totuși vitezometrul arată în continuare 54 km/h. De aceea în curbă trebuie să te sprijini, chiar dacă șoferul nu accelerează și nu frânează. Ne-a ieșit accelerația medie, pe tot sfertul de sens giratoriu. Accelerația momentană din fiecare punct al curbei o vom calcula exact la accelerația centripetă.

Suprasarcina

Accelerația mașinii o simțim pe propriul corp: o mașină sport te lipește de scaun la demaraj. Cât de tare, se compară cu accelerația gravitațională g ≈ 9,81 m/s². Cu această accelerație cade piatra pe care o scapi din mână, dacă nu o frânează aerul. O mașină sport reușește de la zero la o sută în trei secunde, deci are accelerația

$$a=\frac{27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,$$

aproape la fel ca piatra care cade.

Suprasarcina arată de câte ori mai tare te apasă scaunul, podeaua sau spătarul decât atunci când stai liniștit pe scaun. Acum, când stai pe scaun, suprasarcina este 1g, deși nu accelerezi. Suprasarcina nu este deci același lucru cu accelerația. La 4g scaunul te-ar apăsa de patru ori mai tare, ca și cum ai cântări de patru ori mai mult.

Într-o mașină sport cu pedala de accelerație apăsată la maximum, spătarul te apasă în spate aproape la fel de tare ca scaunul de dedesubt, pentru că mașina accelerează aproape ca piatra care cade. La un roller coaster, în punctul cel mai de jos al văii sau al buclei, te lipește de scaun o suprasarcină de 3 până la 4g. Vagonetul își schimbă acolo rapid direcția, de la mersul în jos la mersul în sus, iar aceasta este o accelerație mare orientată în sus.

Pe drumul în jos scaunul apasă mai slab decât atunci când stai liniștit, în punctul cel mai de jos al văii de aproximativ trei ori mai tare.

Pilotul unui avion de vânătoare într-un viraj strâns rezistă până la 9g, dar numai într-un costum special, care împiedică scurgerea sângelui din cap spre picioare. Un om neantrenat ar leșina în câteva secunde la o asemenea suprasarcină. Interesant este că în cădere liberă nu simțim nimic, deși accelerăm: nimic nu ne apasă, suprasarcina este nulă, iar corpul este în imponderabilitate. De ce simțim de fapt accelerația ca apăsare a scaunului, va explica abia dinamica, adică partea despre forțe.

Cea mai simplă este mișcarea în care accelerația nu se schimbă deloc, ca la mașina de jos din prima figură. Viteza crește atunci în fiecare secundă cu aceeași valoare, iar distanța și viteza în orice moment le putem calcula cu formule simple. Unei astfel de mișcări îi este dedicat articolul următor, Mișcarea uniform accelerată.