Επιτάχυνση

Οι κατασκευαστές αυτοκινήτων καυχιούνται συχνά για το σε πόσα δευτερόλεπτα το αυτοκίνητό τους επιταχύνει από το μηδέν στα εκατό. Σε ένα συνηθισμένο οικογενειακό αυτοκίνητο βγαίνουν περίπου δέκα δευτερόλεπτα. Τι λέει στην πραγματικότητα αυτός ο αριθμός; Πρώτα μετατρέπουμε τα εκατό χιλιόμετρα την ώρα σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο:

$$100\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{100}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Σε δέκα δευτερόλεπτα το αυτοκίνητο αποκτά λοιπόν ταχύτητα 27,8 m/s. Αν αύξανε την ταχύτητά του ομοιόμορφα, με κάθε δευτερόλεπτο θα κινούνταν κατά το ένα δέκατο αυτής της τιμής ταχύτερα, κατά 2,78 m/s, με στρογγυλοποίηση κατά 2,8 m/s. Μετά το πρώτο δευτερόλεπτο θα κινούνταν με 2,8 m/s, μετά το δεύτερο με 5,6 m/s, μετά το τρίτο με 8,4 m/s και μετά το δέκατο με εκείνα τα 27,8 m/s. Το μέγεθος που δείχνει κατά πόσο αλλάζει η ταχύτητα σε ένα δευτερόλεπτο το ονομάζουμε επιτάχυνση.

Το σχήμα δείχνει δύο δρόμους τον έναν πάνω από τον άλλον. Και τα δύο αυτοκίνητα αφήνουν πίσω τους ένα πορτοκαλί σημάδι σε κάθε ακέραιο δευτερόλεπτο. Το πάνω αυτοκίνητο κρατά όλη την ώρα τον ίδιο ρυθμό, 7 m/s, και γι' αυτό τα σημάδια του απέχουν μεταξύ τους εξίσου. Το κάτω αυτοκίνητο ξεκινά από την ηρεμία και επιταχύνει ακριβώς κατά 2,8 m/s κάθε δευτερόλεπτο. Στο πρώτο δευτερόλεπτο διανύει μόνο ένα μικρό κομμάτι, μόλις ενάμισι μέτρο, μετά όμως κάθε δευτερόλεπτο όλο και περισσότερο, επειδή κινείται ολοένα ταχύτερα. Τα σημάδια του απέχουν γι' αυτό όλο και περισσότερο μεταξύ τους, κατά πόσο, θα το υπολογίσουμε σε λίγο. Σε πέντε δευτερόλεπτα τα δύο αυτοκίνητα βρίσκονται στο ίδιο σημείο, 35 m από την εκκίνηση. Το κάτω αυτοκίνητο στην αρχή έμενε πίσω, στο τέλος κινούνταν ταχύτερα και έφτασε το πάνω ακριβώς στο τέρμα.

Ο τύπος της επιτάχυνσης

Αν ψάχνεις μόνο τον τύπο, την επιτάχυνση α τη βρίσκεις διαιρώντας τη μεταβολή της ταχύτητας Δυ με τον χρόνο Δt στον οποίο μεταβλήθηκε η ταχύτητα:

$$\alpha =\frac{\mathrm{\Delta }\upsilon }{\mathrm{\Delta }t}$$

Το γράμμα Δ δηλώνει μεταβολή. Η μεταβολή της ταχύτητας είναι η διαφορά της ταχύτητας στο τέλος και στην αρχή. Την αρχική ταχύτητα τη συμβολίζουμε υ₀, την τελική υ:

$$\mathrm{\Delta }\upsilon =\upsilon -{\upsilon }_0$$

Για το αυτοκίνητο της εισαγωγής γράφουμε τα δεδομένα:

$$\begin{array}{rl}{\upsilon }_0& =0\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \upsilon & =100\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =10\mathrm{s}\\ \alpha & =?\end{array}$$

Αντικαθιστούμε:

$$\alpha =\frac{\upsilon -{\upsilon }_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}-0\mathrm{m}/\mathrm{s}}{10\mathrm{s}}\approx 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Το οικογενειακό αυτοκίνητο έχει επιτάχυνση περίπου 2,8 m/s². Στην πραγματικότητα το αυτοκίνητο δεν επιταχύνει όλη την ώρα το ίδιο, σε μεγαλύτερη σχέση του κιβωτίου προσθέτει πια λιγότερη ταχύτητα. Ο αριθμός που υπολογίσαμε είναι γι' αυτό η μέση επιτάχυνση σε ολόκληρα τα δέκα δευτερόλεπτα. Τη στιγμιαία επιτάχυνση τη βρίσκουμε με το ίδιο κόλπο όπως τη στιγμιαία ταχύτητα: μετράμε τη μεταβολή της ταχύτητας σε τόσο μικρό χρόνο Δt, ώστε η επιτάχυνση να μην αλλάζει αισθητά μέσα σε αυτόν. Όποιος ξέρει τις παραγώγους, αναγνωρίζει εδώ την παράγωγο της ταχύτητας ως προς τον χρόνο, α = υ'(t).

Γιατί μέτρα ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο

Τη μονάδα της επιτάχυνσης την παίρνουμε διαιρώντας τη μονάδα της ταχύτητας με τη μονάδα του χρόνου. Το να διαιρέσουμε με έναν αριθμό είναι το ίδιο με το να πολλαπλασιάσουμε με τον αντίστροφό του:

$$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}\cdot \mathrm{s}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Τα δύο δευτερόλεπτα στον παρονομαστή φαίνονται παράξενα, το καθένα όμως βρίσκεται εκεί για διαφορετικό λόγο. Το πρώτο ανήκει στην ταχύτητα (πόσα μέτρα το δευτερόλεπτο κινείται το αυτοκίνητο), το δεύτερο λέει σε πόσο χρόνο άλλαξε αυτή η ταχύτητα. Το 2,8 m/s² να το διαβάζεις λοιπόν ως «κάθε δευτερόλεπτο κατά 2,8 m/s ταχύτερα».

Όποιος προτιμά να υπολογίζει σε χιλιόμετρα την ώρα, μπορεί να το εκφράσει και έτσι: ένα αυτοκίνητο που επιταχύνει από το μηδέν στα εκατό σε δέκα δευτερόλεπτα προσθέτει κάθε δευτερόλεπτο 10 km/h. Το αποτέλεσμα 10 km/h ανά δευτερόλεπτο είναι κανονικότατη επιτάχυνση, απλώς σε μια μονάδα που δεν τη χρησιμοποιεί κανείς, επειδή αναμειγνύει ώρες με δευτερόλεπτα.

Προσοχή στη σύγχυση: μεγάλη επιτάχυνση δεν σημαίνει μεγάλη ταχύτητα. Ένα αυτοκίνητο στον αυτοκινητόδρομο με τον ρυθμιστή ταχύτητας στα 130 km/h έχει μηδενική επιτάχυνση, επειδή η ταχύτητά του δεν αλλάζει. Ένα αυτοκίνητο που ξεκινά με το πράσινο κινείται στην αρχή με σχεδόν μηδενική ταχύτητα και παρ' όλα αυτά έχει αξιόλογη επιτάχυνση. Η επιτάχυνση δεν λέει πόσο γρήγορα κινείται το σώμα, αλλά πόσο γρήγορα αλλάζει η ταχύτητά του.

Γιατί τα σημάδια απομακρύνονται

Ας κοιτάξουμε πάλι το κάτω αυτοκίνητο του σχήματος. Έχει επιτάχυνση 2,8 m/s², άρα στο πρώτο δευτερόλεπτο επιταχύνει από το μηδέν στα 2,8 m/s. Η ταχύτητα αυξάνεται ομοιόμορφα, άρα το πρώτο δευτερόλεπτο κινείται κατά μέσο όρο με τη μισή ταχύτητα, 1,4 m/s, και διανύει 1,4 m. Στο δεύτερο δευτερόλεπτο επιταχύνει από 2,8 m/s σε 5,6 m/s, κινείται κατά μέσο όρο με 4,2 m/s και διανύει 4,2 m, τρεις φορές περισσότερο απ' ό,τι στο πρώτο. Στο τρίτο δευτερόλεπτο κινείται κατά μέσο όρο με 7 m/s, όπως το πάνω αυτοκίνητο, και διανύει τα ίδια 7 m.

Κάθε δευτερόλεπτο η μέση ταχύτητα αυξάνεται κατά 2,8 m/s, και το κομμάτι του δρόμου που διανύεται γι' αυτό κατά 2,8 m. Οι αποστάσεις ανάμεσα στα σημάδια είναι διαδοχικά 1,4 m, 4,2 m, 7 m, 9,8 m και 12,6 m, σε λόγο 1:3:5:7:9, και μαζί δίνουν 35 m. Το πάνω αυτοκίνητο κινείται όλη την ώρα με 7 m/s και σε πέντε δευτερόλεπτα διανύει επίσης 35 m. Ότι η μέση ταχύτητα βρίσκεται ακριβώς στη μέση ανάμεσα στην ταχύτητα στην αρχή και στο τέλος του δευτερολέπτου, ισχύει μόνο όταν η ταχύτητα αυξάνεται ομοιόμορφα. Γιατί, θα το αιτιολογήσουμε στο άρθρο για την ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση.

Επιβράδυνση

Ένα αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα 72 km/h, δηλαδή 20 m/s, ο οδηγός φρενάρει και σε 4 s το αυτοκίνητο σταματά. Η τελική ταχύτητα είναι μηδέν, η αρχική 20 m/s:

$$\alpha =\frac{\upsilon -{\upsilon }_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{0\mathrm{m}/\mathrm{s}-20\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{s}}=-5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Η επιτάχυνση βγήκε αρνητική. Η ταχύτητα του αυτοκινήτου δεν αυξάνεται, αντίθετα μειώνεται, και μάλιστα κάθε δευτερόλεπτο κατά 5 m/s. Στην καθομιλουμένη θα λέγαμε επιβράδυνση, ο φυσικός όμως λέει ότι το αυτοκίνητο επιβραδύνεται με επιτάχυνση −5 m/s², ή αλλιώς με επιβράδυνση 5 m/s². Και τα δύο σημαίνουν το ίδιο.

Τι σημαίνει όμως στην πραγματικότητα το πρόσημο μείον; Η ταχύτητα είναι διάνυσμα και η επιτάχυνση επίσης. Το βέλος της επιτάχυνσης $\overrightarrow{\alpha }$ δείχνει προς ποια κατεύθυνση αλλάζει η ταχύτητα.

Και τα δύο αυτοκίνητα κινούνται προς τα δεξιά, και γι' αυτό το κόκκινο βέλος της ταχύτητας $\overrightarrow{\upsilon }$ δείχνει προς τα δεξιά. Το πάνω αυτοκίνητο επιταχύνει και το πράσινο βέλος της επιτάχυνσης $\overrightarrow{\alpha }$ δείχνει όπως η ταχύτητα: κάθε δευτερόλεπτο στην ταχύτητα προστίθεται ένα κομμάτι και το βέλος της ταχύτητας επιμηκύνεται. Το κάτω αυτοκίνητο φρενάρει και η επιτάχυνσή του δείχνει αντίθετα, προς τα πίσω. Κάθε δευτερόλεπτο το βέλος της ταχύτητας κονταίνει, ώσπου δεν μένει τίποτε από αυτό. Στην κίνηση πάνω σε ευθεία, για την κατεύθυνση αρκεί το πρόσημο. Όταν τη θετική φορά την επιλέξουμε κατά τη φορά της κίνησης, όπως στο αυτοκίνητο που φρενάρει, η θετική επιτάχυνση δείχνει όπως η ταχύτητα και το σώμα επιταχύνει. Η αρνητική δείχνει αντίθετα από την ταχύτητα και το σώμα επιβραδύνεται.

Επιτάχυνση σε στροφή

Ένα αυτοκίνητο κάνει τον γύρο ενός κυκλικού κόμβου και το κοντέρ δείχνει συνέχεια 54 km/h. Η ταχύτητα ως διάνυσμα όμως παρ' όλα αυτά αλλάζει, επειδή το βέλος της ταχύτητας στρέφεται διαρκώς. Και όπου αλλάζει η ταχύτητα, υπάρχει και επιτάχυνση. Η επιτάχυνση ως διάνυσμα είναι η μεταβολή του διανύσματος της ταχύτητας στη μονάδα του χρόνου:

$$\overrightarrow{\alpha }=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{\upsilon }}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{{\overrightarrow{\upsilon }}_2-{\overrightarrow{\upsilon }}_1}{\mathrm{\Delta }t}$$

Δύο διανύσματα τα αφαιρούμε μεταφέροντας και τα δύο βέλη στο ίδιο σημείο. Η διαφορά ${\overrightarrow{\upsilon }}_2-{\overrightarrow{\upsilon }}_1$ είναι τότε το βέλος από το πέρας του ${\overrightarrow{\upsilon }}_1$ στο πέρας του ${\overrightarrow{\upsilon }}_2$, επειδή όταν το προσθέσουμε στο ${\overrightarrow{\upsilon }}_1$, παίρνουμε ακριβώς το ${\overrightarrow{\upsilon }}_2$. Τα βέλη της ταχύτητας στον κυκλικό κόμβο έχουν το ίδιο μήκος, δείχνουν όμως αλλού, οπότε η διαφορά τους δεν είναι μηδέν. Ένα αυτοκίνητο που περνά μια στροφή με σταθερό μέτρο ταχύτητας έχει μη μηδενική επιτάχυνση. Δεν την προκαλεί το γκάζι ή το φρένο, αλλά η στροφή.

Παράδειγμα: Ένα αυτοκίνητο διανύει το ένα τέταρτο του κυκλικού κόμβου με ταχύτητα σταθερού μέτρου 54 km/h = 15 m/s σε 3 s. Στην αρχή κινείται προς την ανατολή, στο τέλος προς το βορρά. Πόση είναι η μέση επιτάχυνσή του και προς τα πού δείχνει; Γράφουμε τα δεδομένα:

$$\begin{array}{rl}{\upsilon }_1& =15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ {\upsilon }_2& =15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =3\mathrm{s}\\ \alpha & =?\end{array}$$

Το βέλος ${\overrightarrow{\upsilon }}_1$ δείχνει προς την ανατολή, στο σχήμα προς τα δεξιά, το βέλος ${\overrightarrow{\upsilon }}_2$ προς το βορρά, προς τα πάνω.

Δεξιά τα δύο βέλη έχουν μεταφερθεί στο ίδιο σημείο και σχηματίζουν ορθή γωνία. Η πράσινη διαφορά $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{\upsilon }$ πηγαίνει από το πέρας του ${\overrightarrow{\upsilon }}_1$ στο πέρας του ${\overrightarrow{\upsilon }}_2$, δηλαδή κατά 15 m/s προς τα αριστερά και κατά 15 m/s προς τα πάνω. Είναι η υποτείνουσα ενός ορθογώνιου τριγώνου, άρα το μέτρο της το υπολογίζουμε με το Πυθαγόρειο θεώρημα:

$$\mathrm{\Delta }\upsilon =\sqrt{{15}^2+{15}^2}\mathrm{m}/\mathrm{s}=\sqrt{450}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Η διαφορά δείχνει λοξά προς τα αριστερά και πάνω, προς τα βορειοδυτικά, όπως το γκρίζο βέλος αριστερά, που πηγαίνει από τη μέση του τετάρτου προς το κέντρο του κυκλικού κόμβου. Την επιτάχυνση τη βρίσκουμε αν διαιρέσουμε τη μεταβολή της ταχύτητας με τον χρόνο. Η διαίρεση με αριθμό απλώς κονταίνει το βέλος, άρα και η επιτάχυνση δείχνει προς το κέντρο του κυκλικού κόμβου. Αντικαθιστούμε:

$$\alpha =\frac{\mathrm{\Delta }\upsilon }{\mathrm{\Delta }t}\approx \frac{21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Το αυτοκίνητο έχει μέση επιτάχυνση περίπου 7,1 m/s² προς το κέντρο του κυκλικού κόμβου. Αυτό είναι σχεδόν όσο σε απότομο φρενάρισμα σε στεγνό δρόμο, γύρω στα 7 m/s², και παρ' όλα αυτά το κοντέρ δείχνει συνέχεια 54 km/h. Γι' αυτό σε μια στροφή πρέπει να στηριχτείς, ακόμη κι αν ο οδηγός ούτε πατά γκάζι ούτε φρενάρει. Η επιτάχυνση που βρήκαμε είναι μέση, για ολόκληρο το ένα τέταρτο του κυκλικού κόμβου. Τη στιγμιαία επιτάχυνση σε κάθε σημείο της στροφής θα την υπολογίσουμε με ακρίβεια στο άρθρο για την κεντρομόλο επιτάχυνση.

Φορτίο g

Την επιτάχυνση ενός αυτοκινήτου την αισθανόμαστε στο ίδιο μας το σώμα: ένα σπορ αυτοκίνητο στην εκκίνηση σε κολλά στο κάθισμα. Πόσο δυνατά, το συγκρίνουμε με την επιτάχυνση της βαρύτητας g ≈ 9,81 m/s². Με αυτή την επιτάχυνση πέφτει μια πέτρα που αφήνεις από το χέρι σου, αν δεν τη φρενάρει ο αέρας. Ένα σπορ αυτοκίνητο καταφέρνει να πάει από το μηδέν στα εκατό σε τρία δευτερόλεπτα, άρα έχει επιτάχυνση

$$\alpha =\frac{27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,$$

σχεδόν ίδια με την πέτρα που πέφτει.

Το φορτίο g δείχνει πόσες φορές πιο δυνατά σε πιέζει το κάθισμα, το δάπεδο ή η πλάτη του καθίσματος απ' ό,τι όταν κάθεσαι ήρεμα. Όταν τώρα κάθεσαι σε μια καρέκλα, το φορτίο g είναι 1g, παρότι δεν επιταχύνεις. Το φορτίο g δεν είναι λοιπόν το ίδιο με την επιτάχυνση. Στα 4g το κάθισμα θα σε πίεζε τέσσερις φορές πιο δυνατά, σαν να ζύγιζες τέσσερις φορές περισσότερο.

Σε ένα σπορ αυτοκίνητο με πατημένο γκάζι η πλάτη του καθίσματος σε πιέζει από πίσω σχεδόν εξίσου δυνατά όσο το κάθισμα από κάτω, επειδή το αυτοκίνητο επιταχύνει σχεδόν όπως μια πέτρα που πέφτει. Σε ένα τρενάκι του λούνα παρκ στο χαμηλότερο σημείο της κοιλάδας ή του βρόχου σε κολλά στο κάθισμα φορτίο 3 ως 4g. Το βαγονάκι αλλάζει εκεί γρήγορα κατεύθυνση, από κίνηση προς τα κάτω σε κίνηση προς τα πάνω, και αυτό είναι μεγάλη επιτάχυνση που δείχνει προς τα πάνω.

Στον δρόμο προς τα κάτω το κάθισμα πιέζει λιγότερο δυνατά απ' ό,τι όταν κάθεσαι, στο χαμηλότερο σημείο της κοιλάδας περίπου τρεις φορές πιο δυνατά.

Ο πιλότος ενός μαχητικού αεροσκάφους σε μια απότομη στροφή αντέχει ως και 9g, αλλά μόνο με ειδική στολή που εμποδίζει το αίμα να φύγει από το κεφάλι προς τα πόδια. Ένας ανεκπαίδευτος άνθρωπος με τέτοιο φορτίο θα λιποθυμούσε μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα. Ενδιαφέρον είναι ότι στην ελεύθερη πτώση δεν αισθανόμαστε τίποτε, παρότι επιταχύνουμε: τίποτε δεν μας πιέζει, το φορτίο g είναι μηδέν και το σώμα βρίσκεται σε κατάσταση έλλειψης βάρους. Γιατί αισθανόμαστε την επιτάχυνση ως πίεση του καθίσματος, θα το εξηγήσουμε αργότερα στη δυναμική, δηλαδή στο μέρος για τις δυνάμεις.

Η πιο απλή κίνηση είναι εκείνη στην οποία η επιτάχυνση δεν αλλάζει καθόλου, όπως στο κάτω αυτοκίνητο του πρώτου σχήματος. Η ταχύτητα τότε αυξάνεται κάθε δευτερόλεπτο κατά το ίδιο κομμάτι και το διάστημα και την ταχύτητα σε οποιαδήποτε στιγμή τα υπολογίζουμε με απλούς τύπους. Σε μια τέτοια κίνηση είναι αφιερωμένο το επόμενο άρθρο, Ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση.