Versnelling

Autofabrikanten pronken graag met in hoeveel seconden hun wagen van nul naar honderd versnelt. Bij een gewone gezinsauto komt dat uit op ongeveer tien seconden. Wat zegt dat getal eigenlijk? Eerst rekenen we honderd kilometer per uur om naar meter per seconde:

$$100\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{100}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

In tien seconden wint de auto dus 27,8 m/s aan snelheid. Als hij gelijkmatig optrok, zou hij met elke seconde een tiende daarvan sneller rijden, 2,78 m/s, afgerond 2,8 m/s. Na de eerste seconde zou hij 2,8 m/s rijden, na de tweede 5,6 m/s, na de derde 8,4 m/s en na de tiende die 27,8 m/s. De grootheid die aangeeft hoeveel de snelheid per seconde verandert, noemen we versnelling.

De afbeelding toont twee wegen boven elkaar. Beide auto's laten elke hele seconde een oranje markering achter. De bovenste auto houdt de hele tijd hetzelfde tempo aan, 7 m/s, en zijn markeringen liggen daarom even ver uit elkaar. De onderste auto trekt op vanuit stilstand en versnelt precies 2,8 m/s per seconde. In de eerste seconde legt hij maar een klein stukje af, nauwelijks anderhalve meter, maar daarna met elke seconde meer, omdat hij steeds sneller rijdt. Zijn markeringen liggen daarom steeds verder uit elkaar, hoeveel, rekenen we zo uit. Na vijf seconden zijn beide auto's op dezelfde plek, 35 m van de start. De onderste auto bleef eerst achter, reed uiteindelijk sneller en haalde de bovenste auto precies op de finish in.

De formule voor versnelling

Als je alleen de formule zoekt, bereken je de versnelling a door de verandering van de snelheid Δv te delen door de tijd Δt waarin de snelheid veranderde:

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$$

De Griekse Δ staat voor verandering. De verandering van de snelheid is het verschil tussen de snelheid aan het einde en aan het begin. De beginsnelheid noteren we als v₀, de eindsnelheid als v:

$$\mathrm{\Delta }v=v-v_0$$

Voor de auto uit de inleiding schrijven we de gegevens op:

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =0\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v& =100\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =10\mathrm{s}\\ a& =?\end{array}$$

We vullen in:

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}-0\mathrm{m}/\mathrm{s}}{10\mathrm{s}}\approx 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Een gezinsauto heeft een versnelling van ongeveer 2,8 m/s². In werkelijkheid versnelt de auto niet de hele tijd even sterk, in een hogere stand van de versnellingsbak trekt hij minder hard op. Het uitgerekende getal is daarom de gemiddelde versnelling over de hele tien seconden. De momentane versnelling krijgen we met dezelfde truc als de momentane snelheid: we meten de verandering van de snelheid in zo'n korte tijd Δt dat de versnelling daarbinnen niet merkbaar verandert. Wie afgeleiden kent, herkent daarin de afgeleide van de snelheid naar de tijd, a = v'(t).

Waarom meter per seconde in het kwadraat

De eenheid van versnelling krijgen we door de eenheid van snelheid te delen door de eenheid van tijd. Delen door een getal is hetzelfde als vermenigvuldigen met zijn omgekeerde:

$$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}\cdot \mathrm{s}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Twee seconden in de noemer lijken vreemd, maar elke staat er om een andere reden. De eerste hoort bij de snelheid (hoeveel meter per seconde de auto rijdt), de tweede zegt in hoeveel tijd die snelheid veranderde. De notatie 2,8 m/s² lees je daarom als “elke seconde 2,8 m/s sneller”.

Wie liever in kilometer per uur rekent, kan het ook zo uitdrukken: een auto die in tien seconden van nul naar honderd versnelt, wint elke seconde 10 km/h. Het resultaat 10 km/h per seconde is een volwaardige versnelling, alleen in een eenheid die niemand gebruikt, omdat ze uren met seconden mengt.

Pas op voor verwarring: een grote versnelling betekent niet een grote snelheid. Een auto op de snelweg met cruisecontrol op 130 km/h heeft versnelling nul, omdat zijn snelheid niet verandert. Een auto die bij groen licht optrekt, rijdt in het begin bijna niet, en toch heeft hij een flinke versnelling. De versnelling zegt niet hoe snel een voorwerp rijdt, maar hoe snel zijn snelheid verandert.

Waarom de markeringen steeds verder uit elkaar liggen

We kijken nog eens naar de onderste auto uit de afbeelding. Hij heeft een versnelling van 2,8 m/s², dus in de eerste seconde versnelt hij van nul naar 2,8 m/s. De snelheid neemt gelijkmatig toe, dus de eerste seconde rijdt hij gemiddeld met de halve snelheid, 1,4 m/s, en legt 1,4 m af. In de tweede seconde versnelt hij van 2,8 m/s naar 5,6 m/s, rijdt gemiddeld 4,2 m/s en legt 4,2 m af, drie keer zoveel als in de eerste. In de derde seconde rijdt hij gemiddeld 7 m/s, net als de bovenste auto, en legt dezelfde 7 m af.

Elke seconde neemt de gemiddelde snelheid met 2,8 m/s toe, en het afgelegde stuk weg daarom met 2,8 m. De afstanden tussen de markeringen zijn achtereenvolgens 1,4 m, 4,2 m, 7 m, 9,8 m en 12,6 m, in de verhouding 1:3:5:7:9, en samen zijn ze 35 m. De bovenste auto rijdt de hele tijd 7 m/s en legt in vijf seconden ook 35 m af. Dat de gemiddelde snelheid precies in het midden ligt tussen de snelheid aan het begin en aan het einde van de seconde, geldt alleen bij gelijkmatig toenemende snelheid. Waarom, verklaren we bij de eenparig versnelde beweging.

Remmen

Een auto rijdt met 72 km/h, dus 20 m/s, de bestuurder remt en na 4 s staat de auto stil. De eindsnelheid is nul, de beginsnelheid 20 m/s:

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{0\mathrm{m}/\mathrm{s}-20\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{s}}=-5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

De versnelling is negatief uitgekomen. De snelheid van de auto neemt niet toe, maar af, en wel elke seconde met 5 m/s. In de omgangstaal zouden we vertraging zeggen, maar een natuurkundige zegt dat de auto vertraagt met een versnelling van −5 m/s², oftewel met een vertraging van 5 m/s². Beide betekenen hetzelfde.

Maar wat betekent het minteken eigenlijk? Snelheid is een vector en versnelling ook. De pijl van de versnelling $\overrightarrow{a}$ wijst in welke richting de snelheid verandert.

Beide auto's rijden naar rechts, en daarom wijst de rode snelheidspijl $\overrightarrow{v}$ naar rechts. De bovenste auto versnelt en de groene versnellingspijl $\overrightarrow{a}$ wijst in dezelfde richting als de snelheid: elke seconde komt er een stukje bij de snelheid en de snelheidspijl wordt langer. De onderste auto remt en zijn versnelling wijst de andere kant op, naar achteren. Elke seconde wordt de snelheidspijl korter, tot er niets van overblijft. Op een rechte lijn volstaat voor de richting een teken. Als we de positieve richting kiezen in de rijrichting, zoals bij de remmende auto, wijst een positieve versnelling in dezelfde richting als de snelheid en versnelt het voorwerp. Een negatieve wijst tegen de snelheid in en het voorwerp vertraagt.

Versnelling in een bocht

Een auto rijdt over een rotonde en de snelheidsmeter geeft steeds 54 km/h aan. De snelheid als vector verandert toch, omdat de snelheidspijl voortdurend draait. En waar de snelheid verandert, is er ook een versnelling. De versnelling als vector is de verandering van de snelheidsvector per tijdseenheid:

$$\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{{\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1}{\mathrm{\Delta }t}$$

Twee vectoren trek je van elkaar af door beide pijlen naar één punt te verschuiven. Het verschil ${\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1$ is dan de pijl van de punt van ${\overrightarrow{v}}_1$ naar de punt van ${\overrightarrow{v}}_2$, want als we die bij ${\overrightarrow{v}}_1$ optellen, krijgen we precies ${\overrightarrow{v}}_2$. De snelheidspijlen op de rotonde zijn even lang, maar wijzen een andere kant op, dus hun verschil is niet nul. Een auto die met constante snelheid door een bocht rijdt, heeft een versnelling die niet nul is. Die wordt niet veroorzaakt door het gaspedaal of de rem, maar door het sturen.

Voorbeeld: Een auto rijdt met constante snelheid 54 km/h = 15 m/s een kwart van de rotonde in 3 s. Aan het begin rijdt hij naar het oosten, aan het eind naar het noorden. Hoe groot is zijn gemiddelde versnelling en waarheen wijst ze? We schrijven de gegevens op:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v_2& =15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =3\mathrm{s}\\ a& =?\end{array}$$

De pijl ${\overrightarrow{v}}_1$ wijst naar het oosten, in de afbeelding naar rechts, de pijl ${\overrightarrow{v}}_2$ naar het noorden, omhoog.

Rechts zijn beide pijlen naar één punt verschoven en ze maken een rechte hoek. Het groene verschil $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ loopt van de punt van ${\overrightarrow{v}}_1$ naar de punt van ${\overrightarrow{v}}_2$, dus 15 m/s naar links en 15 m/s omhoog. Het is de schuine zijde van een rechthoekige driehoek, dus de grootte berekenen we met de stelling van Pythagoras:

$$\mathrm{\Delta }v=\sqrt{{15}^2+{15}^2}\mathrm{m}/\mathrm{s}=\sqrt{450}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Het verschil wijst schuin naar links omhoog, naar het noordwesten, net als de grijze pijl links, die van het midden van het kwart naar het middelpunt van de rotonde loopt. De versnelling krijgen we door de verandering van de snelheid door de tijd te delen. Delen door een getal maakt de pijl alleen korter, dus de versnelling wijst ook naar het middelpunt van de rotonde. We vullen in:

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}\approx \frac{21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

De auto heeft een gemiddelde versnelling van ongeveer 7,1 m/s² naar het middelpunt van de rotonde. Dat is bijna zoveel als bij hard remmen op een droge weg, rond 7 m/s², en toch geeft de snelheidsmeter nog steeds 54 km/h aan. Daarom moet je je in een bocht schrap zetten, ook als de bestuurder geen gas geeft en niet remt. We hebben de gemiddelde versnelling uitgerekend, over het hele kwart van de rotonde. De momentane versnelling op elke plek van de bocht berekenen we precies bij de middelpuntzoekende versnelling.

G-kracht

De versnelling van een auto voelen we aan ons eigen lichaam: een sportauto drukt je bij het optrekken in de stoel. Hoe sterk, wordt vergeleken met de valversnelling g ≈ 9,81 m/s². Met die versnelling valt een steen die je uit je hand laat vallen, als de lucht hem niet afremt. Een sportauto gaat in drie seconden van nul naar honderd, dus hij heeft een versnelling van

$$a=\frac{27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,$$

bijna evenveel als die van een vallende steen.

De g-kracht geeft aan hoeveel keer sterker de stoel, de vloer of de rugleuning je duwt dan bij rustig zitten. Als je nu op een stoel zit, is de g-kracht 1g, hoewel je niet versnelt. De g-kracht is dus niet hetzelfde als versnelling. Bij 4g zou de stoel je vier keer zo sterk duwen, alsof je vier keer zoveel woog.

In een sportauto met het gaspedaal volledig ingedrukt duwt de rugleuning je bijna even sterk in de rug als de stoel van onderen, omdat de auto bijna zo versnelt als een vallende steen. In een achtbaan drukt je op het laagste punt van het dal of de looping een g-kracht van 3 tot 4g tegen de stoel. Het karretje verandert daar snel van richting, van omlaag naar omhoog rijden, en dat is een grote versnelling die omhoog wijst.

Op weg omlaag duwt de stoel zwakker dan bij zitten, op het laagste punt van het dal ongeveer drie keer zo sterk.

Een gevechtspiloot kan in een scherpe bocht tot 9g aan, maar alleen in een speciaal pak dat voorkomt dat het bloed uit zijn hoofd naar zijn benen wegzakt. Een ongetraind mens zou bij zo'n g-kracht in een paar seconden flauwvallen. Interessant is dat we in een vrije val niets voelen, ook al versnellen we: niets duwt ons, de g-kracht is nul en het lichaam is gewichtloos. Waarom we versnelling eigenlijk voelen als druk van de stoel, legt pas de dynamica uit, het deel over krachten.

Het eenvoudigst is een beweging waarbij de versnelling helemaal niet verandert, zoals bij de onderste auto op de eerste afbeelding. De snelheid neemt dan elke seconde met hetzelfde stuk toe en de afgelegde weg en de snelheid op elk moment kunnen we met eenvoudige formules uitrekenen. Zo'n beweging is het onderwerp van het volgende artikel, Eenparig versnelde beweging.