Acceleration

Bilproducenter praler gerne af, hvor mange sekunder deres bil er om at accelerere fra nul til hundrede. For en almindelig familiebil bliver det cirka ti sekunder. Hvad siger det tal egentlig? Først omregner vi hundrede kilometer i timen til meter pr. sekund:

$$100\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{100}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

På ti sekunder kommer bilen altså op på 27,8 m/s. Hvis den tog fart jævnt, ville den hvert sekund køre en tiendedel af det hurtigere, 2,78 m/s, afrundet 2,8 m/s. Efter det første sekund ville den køre 2,8 m/s, efter det andet 5,6 m/s, efter det tredje 8,4 m/s og efter det tiende de 27,8 m/s. Den størrelse, der angiver, hvor meget hastigheden ændrer sig pr. sekund, kalder vi acceleration.

Figuren viser to veje oven på hinanden. Begge biler efterlader hvert helt sekund et orange mærke. Den øverste bil holder hele tiden det samme tempo, 7 m/s, og derfor ligger mærkerne lige langt fra hinanden. Den nederste bil sætter i gang fra hvile og accelererer med præcis 2,8 m/s hvert sekund. I det første sekund kører den kun et lille stykke, knap halvandet meter, men så for hvert sekund længere, fordi den kører stadig hurtigere. Dens mærker kommer derfor stadig længere fra hinanden, hvor meget, regner vi ud om lidt. Efter fem sekunder er begge biler på samme sted, 35 m fra start. Den nederste bil sakkede først bagud, til sidst kørte den hurtigere og indhentede den øverste bil præcis i mål.

Formlen for acceleration

Hvis du kun leder efter formlen, beregner du accelerationen a ved at dividere hastighedsændringen Δv med den tid Δt, som hastigheden har brugt på at ændre sig:

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$$

Det græske Δ betyder ændring. Hastighedsændringen er forskellen på hastigheden til sidst og i begyndelsen. Begyndelseshastigheden kalder vi v₀, sluthastigheden v:

$$\mathrm{\Delta }v=v-v_0$$

For bilen fra indledningen skriver vi opgaven op:

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =0\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v& =100\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =10\mathrm{s}\\ a& =?\end{array}$$

Vi sætter ind:

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}-0\mathrm{m}/\mathrm{s}}{10\mathrm{s}}\approx 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Familiebilen har en acceleration på cirka 2,8 m/s². I virkeligheden accelererer bilen ikke lige meget hele tiden, med et højere gear tager den mindre fart til. Det beregnede tal er derfor gennemsnitsaccelerationen over alle ti sekunder. Øjeblikksaccelerationen får vi med det samme trick som øjeblikshastigheden: Vi måler hastighedsændringen i så kort en tid Δt, at accelerationen ikke ændrer sig mærkbart i løbet af den. Hvis du kender afledede funktioner, kan du i det genkende den afledede af hastigheden med hensyn til tiden, a = v'(t).

Hvorfor meter pr. sekund i anden

Enheden for acceleration får vi ved at dividere hastighedens enhed med tidens enhed. At dividere med et tal er det samme som at gange med dets omvendte værdi:

$$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}\cdot \mathrm{s}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

De to sekunder i nævneren ser mærkelige ud, men hvert af dem er der af sin egen grund. Det første hører til hastigheden (hvor mange meter i sekundet bilen kører), det andet fortæller, på hvor lang tid hastigheden ændrede sig. Skrivemåden 2,8 m/s² skal du derfor læse som »hvert sekund 2,8 m/s hurtigere«.

Den, der hellere regner i kilometer i timen, kan også udtrykke det sådan: En bil, der accelererer fra nul til hundrede på ti sekunder, lægger hvert sekund 10 km/h til. Resultatet 10 km/h pr. sekund er en fuldgyldig acceleration, bare i en enhed, som ingen bruger, fordi den blander timer med sekunder.

Pas på forvekslingen: Stor acceleration betyder ikke stor fart. En bil på motorvejen med fartpiloten sat til 130 km/h har accelerationen nul, fordi dens hastighed ikke ændrer sig. En bil, der sætter i gang på grønt, kører først med en fart tæt på nul og har alligevel en ordentlig acceleration. Acceleration fortæller ikke, hvor hurtigt et legeme kører, men hvor hurtigt dets hastighed ændrer sig.

Hvorfor mærkerne kommer længere fra hinanden

Lad os se på den nederste bil fra figuren igen. Den har accelerationen 2,8 m/s², så i det første sekund accelererer den fra nul til 2,8 m/s. Hastigheden vokser jævnt, så det første sekund kører den i gennemsnit med den halve fart, 1,4 m/s, og når 1,4 m. I det andet sekund accelererer den fra 2,8 m/s til 5,6 m/s, kører i gennemsnit 4,2 m/s og når 4,2 m, tre gange så langt som i det første. I det tredje sekund kører den i gennemsnit 7 m/s, ligesom den øverste bil, og når de samme 7 m.

Hvert sekund vokser gennemsnitsfarten med 2,8 m/s, og det tilbagelagte stykke vej derfor med 2,8 m. Afstandene mellem mærkerne er efter hinanden 1,4 m, 4,2 m, 7 m, 9,8 m og 12,6 m, i forholdet 1:3:5:7:9, og tilsammen giver de 35 m. Den øverste bil kører hele tiden 7 m/s og når på fem sekunder også 35 m. At gennemsnitsfarten ligger præcis midt imellem farten i begyndelsen og i slutningen af sekundet, gælder kun ved jævn vækst af farten. Hvorfor, begrunder vi ved jævnt accelereret bevægelse.

Opbremsning

En bil kører med farten 72 km/h, altså 20 m/s, føreren træder på bremsen, og på 4 s holder bilen stille. Sluthastigheden er nul, begyndelseshastigheden 20 m/s:

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{0\mathrm{m}/\mathrm{s}-20\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{s}}=-5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Accelerationen blev negativ. Bilens hastighed vokser ikke, tværtimod falder den, og det med 5 m/s hvert sekund. I daglig tale ville vi sige, at bilen sænker farten, men en fysiker siger, at bilen bremser med accelerationen −5 m/s², eller med decelerationen 5 m/s². Begge dele betyder det samme.

Men hvad betyder minusset egentlig? Hastighed er en vektor, og det er acceleration også. Accelerationspilen $\overrightarrow{a}$ viser, i hvilken retning hastigheden ændrer sig.

Begge biler kører mod højre, og derfor peger den røde hastighedspil $\overrightarrow{v}$ mod højre. Den øverste bil accelererer, og den grønne accelerationspil $\overrightarrow{a}$ peger i samme retning som hastigheden: Hvert sekund lægges lidt til hastigheden, og hastighedspilen bliver længere. Den nederste bil bremser, og dens acceleration peger modsat, bagud. Hvert sekund bliver hastighedspilen kortere, til der intet er tilbage af den. På en ret linje er et fortegn nok til retningen. Når vi vælger den positive retning i kørselsretningen, som ved den bremsende bil, peger en positiv acceleration i samme retning som hastigheden, og legemet accelererer. En negativ peger mod hastigheden, og legemet bremser.

Acceleration i sving

En bil kører rundt i en rundkørsel, og speedometeret viser hele tiden 54 km/h. Hastigheden som vektor ændrer sig alligevel, fordi hastighedspilen hele tiden drejer. Og hvor hastigheden ændrer sig, er der også acceleration. Acceleration som vektor er ændringen af hastighedsvektoren pr. tidsenhed:

$$\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{{\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1}{\mathrm{\Delta }t}$$

To vektorer trækker vi fra hinanden ved at flytte begge pile til ét punkt. Forskellen ${\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1$ er så pilen fra spidsen af ${\overrightarrow{v}}_1$ til spidsen af ${\overrightarrow{v}}_2$, for når vi lægger den til ${\overrightarrow{v}}_1$, får vi netop ${\overrightarrow{v}}_2$. Hastighedspilene i rundkørslen er lige lange, men peger hver sit sted hen, så deres forskel er ikke nul. En bil, der kører gennem et sving med konstant fart, har en acceleration, der ikke er nul. Den er ikke forårsaget af speederen eller bremsen, men af drejningen.

Eksempel: En bil kører en fjerdedel af rundkørslen med den konstante fart 54 km/h = 15 m/s på 3 s. I begyndelsen kører den mod øst, til sidst mod nord. Hvor stor er dens gennemsnitsacceleration, og hvorhen peger den? Vi skriver opgaven op:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v_2& =15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =3\mathrm{s}\\ a& =?\end{array}$$

Pilen ${\overrightarrow{v}}_1$ peger mod øst, på figuren mod højre, pilen ${\overrightarrow{v}}_2$ mod nord, opad.

Til højre er begge pile flyttet til ét punkt, og de danner en ret vinkel. Den grønne forskel $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ går fra spidsen af ${\overrightarrow{v}}_1$ til spidsen af ${\overrightarrow{v}}_2$, altså 15 m/s mod venstre og 15 m/s opad. Den er hypotenusen i en retvinklet trekant, så dens størrelse beregner vi med Pythagoras' sætning:

$$\mathrm{\Delta }v=\sqrt{{15}^2+{15}^2}\mathrm{m}/\mathrm{s}=\sqrt{450}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Forskellen peger skråt mod venstre og opad, mod nordvest, ligesom den grå pil til venstre, der går fra midten af fjerdedelen ind til rundkørslens centrum. Accelerationen får vi, når vi dividerer hastighedsændringen med tiden. Division med et tal gør bare pilen kortere, så accelerationen peger også mod rundkørslens centrum. Vi sætter ind:

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}\approx \frac{21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Bilen har en gennemsnitsacceleration på cirka 7,1 m/s² mod rundkørslens centrum. Det er næsten som ved en kraftig opbremsning på tør vej, omkring 7 m/s², og alligevel viser speedometeret hele tiden 54 km/h. Derfor må du støtte dig i et sving, selv om føreren hverken giver gas eller bremser. Vi fik gennemsnitsaccelerationen over hele fjerdedelen af rundkørslen. Øjeblikksaccelerationen på hvert sted i svinget beregner vi præcist ved centripetalacceleration.

G-kraft

Bilens acceleration mærker vi på egen krop: En sportsvogn trykker dig ind i sædet, når den sætter i gang. Hvor kraftigt, måler man ved at sammenligne med tyngdeaccelerationen g ≈ 9,81 m/s². Med den acceleration falder en sten, som du slipper, hvis luften ikke bremser den. En sportsvogn kan accelerere fra nul til hundrede på tre sekunder, så den har accelerationen

$$a=\frac{27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,$$

næsten den samme som den faldende sten.

G-kraften angiver, hvor mange gange kraftigere sædet, gulvet eller ryglænet trykker på dig, end når du sidder roligt. Når du sidder på en stol nu, er g-kraften 1g, selv om du ikke accelererer. G-kraft er altså ikke det samme som acceleration. Ved 4g ville sædet trykke fire gange så kraftigt, som om du vejede fire gange så meget.

I en sportsvogn med speederen i bund trykker ryglænet dig i ryggen næsten lige så kraftigt som sædet nedefra, fordi bilen accelererer næsten som en faldende sten. I en rutsjebane trykkes du i den laveste del af dalen eller loopet mod sædet af en g-kraft på 3 til 4g. Vognen skifter dér hurtigt retning fra kørsel nedad til kørsel opad, og det er en stor acceleration, der peger opad.

På vej ned trykker sædet svagere, end når man sidder roligt, i dalens laveste punkt cirka tre gange så kraftigt.

En kampflypilot i et skarpt sving kan klare op til 9g, men kun i en særlig g-dragt, der forhindrer blodet i at løbe fra hovedet ned i benene. Et utrænet menneske ville besvime på få sekunder ved sådan en g-kraft. Interessant er det, at vi i frit fald ikke mærker noget, selv om vi accelererer: Intet trykker på os, g-kraften er nul, og kroppen er vægtløs. Hvorfor vi egentlig mærker acceleration som tryk fra sædet, forklarer først dynamikken, altså den del, der handler om kræfter.

Det enkleste er en bevægelse, hvor accelerationen slet ikke ændrer sig, som for den nederste bil på den første figur. Hastigheden vokser så hvert sekund med det samme stykke, og strækning og hastighed på et vilkårligt tidspunkt kan vi beregne med enkle formler. Sådan en bevægelse handler den næste artikel om, Jævnt accelereret bevægelse.