Beschleunigung

Autohersteller prahlen gern damit, in wie vielen Sekunden ihr Wagen von null auf hundert beschleunigt. Bei einem normalen Familienauto sind es etwa zehn Sekunden. Was sagt uns diese Zahl eigentlich? Zuerst rechnen wir hundert Kilometer pro Stunde in Meter pro Sekunde um:

$$100\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{100}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

In zehn Sekunden gewinnt das Auto also 27,8 m/s an Geschwindigkeit. Würde es gleichmäßig zulegen, wäre es mit jeder Sekunde um ein Zehntel davon schneller, um 2,78 m/s, gerundet um 2,8 m/s. Nach der ersten Sekunde führe es 2,8 m/s, nach der zweiten 5,6 m/s, nach der dritten 8,4 m/s und nach der zehnten die genannten 27,8 m/s. Die Größe, die angibt, um wie viel sich die Geschwindigkeit pro Sekunde ändert, nennen wir Beschleunigung.

Das Bild zeigt zwei Straßen übereinander. Beide Autos hinterlassen jede volle Sekunde eine orangefarbene Markierung. Das obere Auto hält die ganze Zeit dasselbe Tempo, 7 m/s, und seine Markierungen liegen deshalb gleich weit auseinander. Das untere Auto fährt aus dem Stand an und beschleunigt jede Sekunde um genau 2,8 m/s. In der ersten Sekunde legt es nur ein kleines Stück zurück, kaum eineinhalb Meter, dann aber mit jeder Sekunde mehr, weil es immer schneller fährt. Seine Markierungen liegen daher immer weiter auseinander, um wie viel, rechnen wir gleich aus. Nach fünf Sekunden sind beide Autos am selben Ort, 35 m vom Start entfernt. Das untere Auto lag anfangs zurück, war am Ende schneller und hat das obere genau im Ziel eingeholt.

Formel für die Beschleunigung

Wenn du nur die Formel suchst: Die Beschleunigung a berechnest du, indem du die Geschwindigkeitsänderung Δv durch die Zeit Δt teilst, in der sich die Geschwindigkeit geändert hat:

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$$

Das griechische Δ steht für eine Änderung. Die Geschwindigkeitsänderung ist die Differenz aus der Geschwindigkeit am Ende und am Anfang. Die Anfangsgeschwindigkeit bezeichnen wir mit v₀, die Endgeschwindigkeit mit v:

$$\mathrm{\Delta }v=v-v_0$$

Für das Auto vom Anfang schreiben wir die Angaben so auf:

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =0\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v& =100\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =10\mathrm{s}\\ a& =?\end{array}$$

Wir setzen ein:

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}-0\mathrm{m}/\mathrm{s}}{10\mathrm{s}}\approx 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Das Familienauto hat eine Beschleunigung von etwa 2,8 m/s². In Wirklichkeit beschleunigt ein Auto nicht die ganze Zeit gleich stark, in einem höheren Gang legt es weniger zu. Die berechnete Zahl ist deshalb die durchschnittliche Beschleunigung über die gesamten zehn Sekunden. Die Momentanbeschleunigung erhalten wir mit demselben Trick wie die Momentangeschwindigkeit: Wir messen die Geschwindigkeitsänderung in einer so kurzen Zeit Δt, dass sich die Beschleunigung in dieser Zeit nicht merklich ändert. Wer die Ableitung kennt, erkennt darin die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit, a = v'(t).

Warum Meter pro Sekunde zum Quadrat

Die Einheit der Beschleunigung erhalten wir, indem wir die Einheit der Geschwindigkeit durch die Einheit der Zeit teilen. Durch eine Zahl zu teilen ist dasselbe, wie mit ihrem Kehrwert zu multiplizieren:

$$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}\cdot \mathrm{s}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Die zwei Sekunden im Nenner sehen seltsam aus, aber jede steht aus einem anderen Grund da. Die erste gehört zur Geschwindigkeit (wie viele Meter pro Sekunde das Auto fährt), die zweite sagt, in welcher Zeit sich diese Geschwindigkeit geändert hat. Die Angabe 2,8 m/s² liest du deshalb als „jede Sekunde um 2,8 m/s schneller“.

Wer lieber in Kilometern pro Stunde rechnet, kann es auch so ausdrücken: Ein Auto, das in zehn Sekunden von null auf hundert beschleunigt, legt jede Sekunde 10 km/h zu. Das Ergebnis 10 km/h pro Sekunde ist eine vollwertige Beschleunigung, nur in einer Einheit, die niemand benutzt, weil sie Stunden mit Sekunden mischt.

Vorsicht vor einer Verwechslung: Eine große Beschleunigung bedeutet nicht eine große Geschwindigkeit. Ein Auto auf der Autobahn, dessen Tempomat auf 130 km/h eingestellt ist, hat die Beschleunigung null, weil sich seine Geschwindigkeit nicht ändert. Ein Auto, das an der grünen Ampel anfährt, hat anfangs fast die Geschwindigkeit null und trotzdem eine ordentliche Beschleunigung. Die Beschleunigung sagt nicht, wie schnell ein Körper fährt, sondern wie schnell sich seine Geschwindigkeit ändert.

Warum die Markierungen auseinanderrücken

Schauen wir uns noch einmal das untere Auto aus dem Bild an. Es hat die Beschleunigung 2,8 m/s², beschleunigt also in der ersten Sekunde von null auf 2,8 m/s. Die Geschwindigkeit wächst gleichmäßig, deshalb fährt es in der ersten Sekunde im Durchschnitt mit der halben Geschwindigkeit, 1,4 m/s, und legt 1,4 m zurück. In der zweiten Sekunde beschleunigt es von 2,8 m/s auf 5,6 m/s, fährt im Durchschnitt 4,2 m/s und legt 4,2 m zurück, dreimal so viel wie in der ersten. In der dritten Sekunde fährt es im Durchschnitt 7 m/s, genau wie das obere Auto, und legt dieselben 7 m zurück.

Jede Sekunde wächst die Durchschnittsgeschwindigkeit um 2,8 m/s und das zurückgelegte Stück Straße daher um 2,8 m. Die Abstände der Markierungen betragen nacheinander 1,4 m, 4,2 m, 7 m, 9,8 m und 12,6 m, also im Verhältnis 1:3:5:7:9, und ergeben zusammen 35 m. Das obere Auto fährt die ganze Zeit mit 7 m/s und legt in fünf Sekunden ebenfalls 35 m zurück. Dass die Durchschnittsgeschwindigkeit genau in der Mitte zwischen der Geschwindigkeit am Anfang und am Ende der Sekunde liegt, gilt nur bei gleichmäßigem Wachstum der Geschwindigkeit. Warum das so ist, begründen wir bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung.

Bremsen

Ein Auto fährt mit 72 km/h, also 20 m/s, der Fahrer bremst, und nach 4 s steht das Auto. Die Endgeschwindigkeit ist null, die Anfangsgeschwindigkeit 20 m/s:

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{0\mathrm{m}/\mathrm{s}-20\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{s}}=-5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Die Beschleunigung ist negativ herausgekommen. Die Geschwindigkeit des Autos wächst nicht, sie sinkt, und zwar jede Sekunde um 5 m/s. Umgangssprachlich würden wir einfach sagen, dass das Auto langsamer wird, ein Physiker sagt aber, dass das Auto mit der Beschleunigung −5 m/s² bremst, oder mit der Verzögerung 5 m/s². Beides bedeutet dasselbe.

Was bedeutet das Minuszeichen aber wirklich? Die Geschwindigkeit ist ein Vektor und die Beschleunigung auch. Der Pfeil der Beschleunigung $\overrightarrow{a}$ zeigt, in welche Richtung sich die Geschwindigkeit ändert.

Beide Autos fahren nach rechts, deshalb zeigt der rote Geschwindigkeitspfeil $\overrightarrow{v}$ nach rechts. Das obere Auto beschleunigt, und der grüne Beschleunigungspfeil $\overrightarrow{a}$ zeigt in dieselbe Richtung wie die Geschwindigkeit: Jede Sekunde kommt ein Stück zur Geschwindigkeit hinzu und der Geschwindigkeitspfeil wird länger. Das untere Auto bremst, und seine Beschleunigung zeigt in die Gegenrichtung, nach hinten. Jede Sekunde wird der Geschwindigkeitspfeil kürzer, bis nichts mehr von ihm übrig ist. Auf einer Geraden genügt für die Richtung das Vorzeichen. Wenn wir die positive Richtung in Fahrtrichtung wählen, wie beim bremsenden Auto, zeigt eine positive Beschleunigung in dieselbe Richtung wie die Geschwindigkeit, und der Körper wird schneller. Eine negative zeigt entgegen der Geschwindigkeit, und der Körper wird langsamer.

Beschleunigung in der Kurve

Ein Auto fährt durch einen Kreisverkehr, und der Tacho zeigt die ganze Zeit 54 km/h. Trotzdem ändert sich die Geschwindigkeit als Vektor, weil sich der Geschwindigkeitspfeil ständig dreht. Und wo sich die Geschwindigkeit ändert, gibt es auch eine Beschleunigung. Die Beschleunigung als Vektor ist die Änderung des Geschwindigkeitsvektors pro Zeiteinheit:

$$\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{{\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1}{\mathrm{\Delta }t}$$

Zwei Vektoren subtrahieren wir, indem wir beide Pfeile an denselben Punkt verschieben. Die Differenz ${\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1$ ist dann der Pfeil von der Spitze von ${\overrightarrow{v}}_1$ zur Spitze von ${\overrightarrow{v}}_2$, denn wenn wir ihn an ${\overrightarrow{v}}_1$ anhängen, erhalten wir genau ${\overrightarrow{v}}_2$. Die Geschwindigkeitspfeile im Kreisverkehr sind gleich lang, zeigen aber in verschiedene Richtungen, ihre Differenz ist also nicht null. Ein Auto, das mit konstanter Geschwindigkeit durch eine Kurve fährt, hat eine Beschleunigung, die nicht null ist. Sie kommt nicht vom Gas oder von der Bremse, sondern vom Lenken.

Beispiel: Ein Auto fährt mit konstanter Geschwindigkeit 54 km/h = 15 m/s in 3 s durch ein Viertel des Kreisverkehrs. Am Anfang fährt es nach Osten, am Ende nach Norden. Wie groß ist seine durchschnittliche Beschleunigung und wohin zeigt sie? Wir schreiben die Angaben auf:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v_2& =15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =3\mathrm{s}\\ a& =?\end{array}$$

Der Pfeil ${\overrightarrow{v}}_1$ zeigt nach Osten, im Bild nach rechts, der Pfeil ${\overrightarrow{v}}_2$ nach Norden, nach oben.

Rechts sind beide Pfeile an einen Punkt verschoben und bilden einen rechten Winkel. Die grüne Differenz $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ führt von der Spitze von ${\overrightarrow{v}}_1$ zur Spitze von ${\overrightarrow{v}}_2$, also um 15 m/s nach links und um 15 m/s nach oben. Sie ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, ihren Betrag berechnen wir also mit dem Satz des Pythagoras:

$$\mathrm{\Delta }v=\sqrt{{15}^2+{15}^2}\mathrm{m}/\mathrm{s}=\sqrt{450}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Die Differenz zeigt schräg nach links oben, nach Nordwesten, genau wie der graue Pfeil links, der von der Mitte des Viertels zum Mittelpunkt des Kreisverkehrs führt. Die Beschleunigung erhalten wir, wenn wir die Geschwindigkeitsänderung durch die Zeit teilen. Das Teilen durch eine Zahl verkürzt den Pfeil nur, die Beschleunigung zeigt also ebenfalls zur Mitte des Kreisverkehrs. Wir setzen ein:

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}\approx \frac{21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Das Auto hat eine durchschnittliche Beschleunigung von etwa 7,1 m/s² zur Mitte des Kreisverkehrs hin. Das ist fast so viel wie bei einer Vollbremsung auf trockener Straße, etwa 7 m/s², und dabei zeigt der Tacho immer noch 54 km/h. Deshalb musst du dich in der Kurve abstützen, auch wenn der Fahrer weder Gas gibt noch bremst. Herausgekommen ist die durchschnittliche Beschleunigung über das ganze Viertel des Kreisverkehrs. Die Momentanbeschleunigung an jeder Stelle der Kurve berechnen wir genau bei der Zentripetalbeschleunigung.

g-Kraft

Die Beschleunigung eines Autos spüren wir am eigenen Körper: Ein Sportwagen drückt dich beim Anfahren in den Sitz. Wie stark, vergleicht man mit der Fallbeschleunigung g ≈ 9,81 m/s². Mit dieser Beschleunigung fällt ein Stein, den du aus der Hand loslässt, wenn ihn die Luft nicht bremst. Ein Sportwagen schafft es in drei Sekunden von null auf hundert, hat also die Beschleunigung

$$a=\frac{27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,$$

fast dieselbe wie ein fallender Stein.

Die g-Kraft gibt an, wievielmal stärker dich der Sitz, der Boden oder die Lehne drückt als beim ruhigen Sitzen. Wenn du jetzt auf einem Stuhl sitzt, beträgt die g-Kraft 1g, obwohl du nicht beschleunigst. Die g-Kraft ist also nicht dasselbe wie die Beschleunigung. Bei 4g würde dich der Sitz viermal so stark drücken, als würdest du viermal so viel wiegen.

In einem Sportwagen bei Vollgas drückt die Rückenlehne fast so stark gegen deinen Rücken wie der Sitz von unten, weil das Auto fast so stark beschleunigt wie ein fallender Stein. In der Achterbahn presst dich am tiefsten Punkt des Tals oder Loopings eine g-Kraft von 3 bis 4g in den Sitz. Der Wagen ändert dort schnell die Richtung von der Fahrt nach unten zur Fahrt nach oben, und das ist eine große Beschleunigung, die nach oben zeigt.

Auf dem Weg nach unten drückt der Sitz schwächer als beim Sitzen, am tiefsten Punkt des Tals etwa dreimal so stark.

Ein Kampfjetpilot hält in einer scharfen Kurve bis zu 9g aus, aber nur in einem Spezialanzug, der verhindert, dass ihm das Blut aus dem Kopf in die Beine sackt. Ein untrainierter Mensch würde bei einer solchen g-Kraft in wenigen Sekunden ohnmächtig. Interessant ist, dass wir im freien Fall nichts spüren, obwohl wir beschleunigen: Nichts drückt uns, die g-Kraft ist null und der Körper ist schwerelos. Warum wir Beschleunigung überhaupt als Druck des Sitzes spüren, erklärt erst die Dynamik, also der Teil über die Kräfte.

Am einfachsten ist eine Bewegung, bei der sich die Beschleunigung gar nicht ändert, wie beim unteren Auto auf dem ersten Bild. Die Geschwindigkeit wächst dann jede Sekunde um dasselbe Stück, und Weg und Geschwindigkeit können wir zu jedem Zeitpunkt mit einfachen Formeln berechnen. Dieser Bewegung widmet sich der nächste Artikel, Gleichmäßig beschleunigte Bewegung.