Accélération

Les constructeurs automobiles aiment bien se vanter du nombre de secondes que met leur voiture pour passer de zéro à cent. Pour une voiture familiale ordinaire, cela fait à peu près dix secondes. Que dit exactement ce nombre ? Nous convertissons d’abord cent kilomètres par heure en mètres par seconde :

$$100\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{100}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

En dix secondes, la voiture atteint donc 27,8 m/s. Si elle accélérait de façon régulière, elle roulerait à chaque seconde plus vite d’un dixième de cette valeur, de 2,78 m/s, soit 2,8 m/s en arrondissant. Après la première seconde, elle roulerait à 2,8 m/s, après la deuxième à 5,6 m/s, après la troisième à 8,4 m/s et après la dixième à ces 27,8 m/s. La grandeur qui indique de combien la vitesse change en une seconde s’appelle l’accélération.

La figure montre deux routes l’une au-dessus de l’autre. Les deux voitures laissent derrière elles un repère orange à chaque seconde entière. La voiture du haut garde tout le temps la même allure, 7 m/s, et ses repères sont donc à égale distance les uns des autres. La voiture du bas démarre à l’arrêt et accélère exactement de 2,8 m/s à chaque seconde. Pendant la première seconde, elle ne parcourt qu’un petit bout de route, à peine un mètre et demi, puis de plus en plus à chaque seconde, car elle roule de plus en plus vite. Ses repères sont donc de plus en plus éloignés les uns des autres, de combien, nous le calculerons dans un instant. Au bout de cinq secondes, les deux voitures sont au même endroit, à 35 m du départ. La voiture du bas a d’abord pris du retard, puis elle a roulé plus vite et rattrapé celle du haut exactement à l’arrivée.

La formule de l’accélération

Si tu cherches seulement la formule, tu calcules l’accélération a en divisant la variation de vitesse Δv par la durée Δt pendant laquelle la vitesse a varié :

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$$

Le Δ grec désigne une variation. La variation de vitesse est la différence entre la vitesse à la fin et au début. Nous notons la vitesse initiale v₀ et la vitesse finale v :

$$\mathrm{\Delta }v=v-v_0$$

Pour la voiture du début, nous écrivons les données :

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =0\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v& =100\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =10\mathrm{s}\\ a& =?\end{array}$$

Nous remplaçons :

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}-0\mathrm{m}/\mathrm{s}}{10\mathrm{s}}\approx 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Une voiture familiale a une accélération d’environ 2,8 m/s². En réalité, la voiture n’accélère pas de la même façon pendant tout le temps : sur les rapports supérieurs, elle accélère moins. Le nombre calculé est donc l’accélération moyenne sur les dix secondes. Nous obtenons l’accélération instantanée par la même astuce que la vitesse instantanée : nous mesurons la variation de vitesse pendant une durée Δt si courte que l’accélération ne change pas de façon sensible. Celui qui connaît les dérivées y reconnaîtra la dérivée de la vitesse par rapport au temps, a = v'(t).

Pourquoi des mètres par seconde au carré

Nous obtenons l’unité de l’accélération en divisant l’unité de la vitesse par l’unité du temps. Diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse :

$$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}\cdot \mathrm{s}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Les deux secondes au dénominateur paraissent bizarres, mais chacune y est pour une raison différente. La première appartient à la vitesse (combien de mètres par seconde la voiture parcourt), la seconde dit en combien de temps cette vitesse a changé. Lis donc l’écriture 2,8 m/s² comme « à chaque seconde, 2,8 m/s de plus ».

Celui qui préfère compter en kilomètres par heure peut aussi l’exprimer ainsi : une voiture qui passe de zéro à cent en dix secondes gagne 10 km/h à chaque seconde. Le résultat 10 km/h par seconde est une accélération à part entière, seulement dans une unité que personne n’utilise, parce qu’elle mélange les heures et les secondes.

Attention à une confusion : une grande accélération ne signifie pas une grande vitesse. Une voiture sur l’autoroute dont le régulateur de vitesse est réglé sur 130 km/h a une accélération nulle, car sa vitesse ne change pas. Une voiture qui démarre au feu vert roule au début à une vitesse presque nulle, et pourtant son accélération est considérable. L’accélération ne dit pas à quelle vitesse le corps se déplace, mais à quelle vitesse sa vitesse change.

Pourquoi les repères s’écartent

Regardons de nouveau la voiture du bas de la figure. Son accélération est de 2,8 m/s², donc pendant la première seconde elle passe de zéro à 2,8 m/s. La vitesse augmente de façon régulière, donc pendant la première seconde la voiture roule en moyenne à la moitié de cette vitesse, 1,4 m/s, et parcourt 1,4 m. Pendant la deuxième seconde, elle passe de 2,8 m/s à 5,6 m/s, roule en moyenne à 4,2 m/s et parcourt 4,2 m, trois fois plus que pendant la première. Pendant la troisième seconde, elle roule en moyenne à 7 m/s, comme la voiture du haut, et parcourt les mêmes 7 m.

À chaque seconde, la vitesse moyenne augmente de 2,8 m/s, et le morceau de route parcouru augmente donc de 2,8 m. Les écarts entre les repères sont successivement de 1,4 m, 4,2 m, 7 m, 9,8 m et 12,6 m, dans le rapport 1:3:5:7:9, et ils font en tout 35 m. La voiture du haut roule tout le temps à 7 m/s et parcourt elle aussi 35 m en cinq secondes. Le fait que la vitesse moyenne se trouve exactement au milieu entre la vitesse au début et à la fin de la seconde ne vaut que si la vitesse augmente de façon régulière. Nous expliquerons pourquoi avec le mouvement uniformément accéléré.

Le freinage

Une voiture roule à 72 km/h, donc à 20 m/s, le conducteur freine et en 4 s la voiture est à l’arrêt. La vitesse finale est nulle, la vitesse initiale vaut 20 m/s :

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{0\mathrm{m}/\mathrm{s}-20\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{s}}=-5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

L’accélération est négative. La vitesse de la voiture n’augmente pas, au contraire elle diminue, et cela de 5 m/s à chaque seconde. Dans le langage courant, nous parlerions de ralentissement, mais le physicien dit que la voiture ralentit avec une accélération de −5 m/s², ou avec une décélération de 5 m/s². Les deux veulent dire la même chose.

Mais que signifie vraiment le signe moins ? La vitesse est un vecteur, l’accélération aussi. La flèche de l’accélération $\overrightarrow{a}$ montre dans quel sens la vitesse change.

Les deux voitures roulent vers la droite, et c’est pourquoi la flèche rouge de la vitesse $\overrightarrow{v}$ pointe vers la droite. La voiture du haut accélère et la flèche verte de l’accélération $\overrightarrow{a}$ est dans le même sens que la vitesse : à chaque seconde, un petit morceau s’ajoute à la vitesse et la flèche de la vitesse s’allonge. La voiture du bas freine et son accélération est de sens opposé, vers l’arrière. À chaque seconde, la flèche de la vitesse raccourcit, jusqu’à ce qu’il n’en reste plus rien. Sur une droite, le signe suffit pour indiquer le sens. Quand nous choisissons le sens positif dans le sens de la marche, comme pour la voiture qui freine, une accélération positive est dans le même sens que la vitesse et le corps accélère. Une accélération négative est de sens opposé à la vitesse et le corps ralentit.

L’accélération dans un virage

Une voiture parcourt un rond-point et le compteur de vitesse indique toujours 54 km/h. Pourtant la vitesse, en tant que vecteur, change, car la flèche de la vitesse tourne sans cesse. Et là où la vitesse change, il y a aussi une accélération. L’accélération en tant que vecteur est la variation du vecteur vitesse par unité de temps :

$$\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{{\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1}{\mathrm{\Delta }t}$$

Nous soustrayons deux vecteurs en ramenant les deux flèches en un même point. La différence ${\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1$ est alors la flèche qui va de la pointe de ${\overrightarrow{v}}_1$ à la pointe de ${\overrightarrow{v}}_2$, car quand nous l’ajoutons à ${\overrightarrow{v}}_1$, nous obtenons exactement ${\overrightarrow{v}}_2$. Les flèches de la vitesse sur le rond-point ont la même longueur, mais elles pointent ailleurs, donc leur différence n’est pas nulle. Une voiture qui prend un virage à vitesse constante a une accélération non nulle. Elle n’est causée ni par l’accélérateur ni par le frein, mais par le fait de tourner.

Exemple : Une voiture parcourt un quart de rond-point à la vitesse constante de 54 km/h = 15 m/s en 3 s. Au début elle roule vers l’est, à la fin vers le nord. Quelle est la valeur de son accélération moyenne et vers où est-elle dirigée ? Nous écrivons les données :

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v_2& =15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =3\mathrm{s}\\ a& =?\end{array}$$

La flèche ${\overrightarrow{v}}_1$ pointe vers l’est, sur la figure vers la droite, la flèche ${\overrightarrow{v}}_2$ vers le nord, vers le haut.

À droite, les deux flèches sont ramenées en un même point et forment un angle droit. La différence verte $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ va de la pointe de ${\overrightarrow{v}}_1$ à la pointe de ${\overrightarrow{v}}_2$, donc de 15 m/s vers la gauche et de 15 m/s vers le haut. C’est l’hypoténuse d’un triangle rectangle, donc nous calculons sa valeur avec le théorème de Pythagore :

$$\mathrm{\Delta }v=\sqrt{{15}^2+{15}^2}\mathrm{m}/\mathrm{s}=\sqrt{450}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

La différence est dirigée en oblique vers la gauche et le haut, vers le nord-ouest, comme la flèche grise de gauche, qui va du milieu du quart de rond-point vers son centre. Nous obtenons l’accélération en divisant la variation de vitesse par la durée. Diviser par un nombre ne fait que raccourcir la flèche, donc l’accélération est dirigée elle aussi vers le centre du rond-point. Nous remplaçons :

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}\approx \frac{21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

La voiture a une accélération moyenne d’environ 7,1 m/s² vers le centre du rond-point. C’est presque autant que lors d’un freinage brusque sur route sèche, autour de 7 m/s², et pourtant le compteur de vitesse indique toujours 54 km/h. C’est pourquoi, dans un virage, il faut se caler, même si le conducteur n’accélère ni ne freine. Nous avons obtenu l’accélération moyenne, sur tout le quart de rond-point. L’accélération instantanée en chaque point du virage, nous la calculerons exactement avec l’accélération centripète.

Le facteur de charge

L’accélération d’une voiture, nous la sentons sur notre propre corps : une voiture de sport te plaque contre le siège au démarrage. Pour dire à quel point, on la compare à l’intensité de la pesanteur g ≈ 9,81 m/s². C’est avec cette accélération que tombe une pierre que tu lâches, si l’air ne la freine pas. Une voiture de sport passe de zéro à cent en trois secondes, donc elle a une accélération

$$a=\frac{27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,$$

presque la même que celle d’une pierre qui tombe.

Le facteur de charge indique combien de fois plus fort le siège, le sol ou le dossier te poussent que lorsque tu es tranquillement assis. Si tu es assis sur une chaise en ce moment, le facteur de charge est de 1g, bien que tu n’accélères pas. Le facteur de charge n’est donc pas la même chose que l’accélération. À 4g, le siège te pousserait quatre fois plus fort, comme si tu pesais quatre fois plus.

Dans une voiture de sport, pleins gaz, le dossier te pousse dans le dos presque aussi fort que le siège par en dessous, car la voiture accélère presque comme une pierre qui tombe. Dans les montagnes russes, au point le plus bas d’un creux ou d’une boucle, un facteur de charge de 3 à 4g te plaque contre le siège. Le wagonnet y change rapidement de direction, de la descente à la montée, et c’est une grande accélération dirigée vers le haut.

Pendant la descente, le siège pousse plus faiblement que lorsqu’on est assis, au point le plus bas du creux environ trois fois plus fort.

Un pilote de chasse dans un virage serré supporte jusqu’à 9g, mais seulement dans une combinaison spéciale qui empêche le sang de quitter la tête pour aller dans les jambes. Une personne non entraînée s’évanouirait en quelques secondes à un tel facteur de charge. Il est intéressant de noter qu’en chute libre nous ne sentons rien, même si nous accélérons : rien ne nous pousse, le facteur de charge est nul et le corps est en apesanteur. Pourquoi nous ressentons l’accélération comme une pression du siège, c’est la dynamique, donc la partie sur les forces, qui l’expliquera.

Le mouvement le plus simple est celui où l’accélération ne change pas du tout, comme pour la voiture du bas sur la première figure. La vitesse augmente alors de la même quantité à chaque seconde, et nous savons calculer la distance et la vitesse à n’importe quel instant avec des formules simples. L’article suivant est consacré à un tel mouvement, Mouvement rectiligne uniformément accéléré.