Как да решаваме задачи по кинематика и динамика

Влак се движи по права линия с постоянна скорост 72 km/h. За колко време ще измине 1,8 km?

Времето е пътят, разделен на скоростта. Който обаче вземе калкулатор и раздели 1,8 на седемдесет и две, получава 0,025 и не знае какво да прави с това. Секунди не са, минути също. А който раздели 1800 метра на седемдесет и две, получава 25, което изглежда съвсем правдоподобно, а всъщност е безсмислица. Такава задача се пресмята лесно, по-трудно е да не се обърка нещо в нея. Във физиката затова си струва при всяка задача да се действа еднакво, стъпка по стъпка. Веднага ще ги изпробваме на този влак.

Какво знаем и какво търсим

От условието първо изписваме всички величини, които знаем, всяка със своята буква, с число и мерна единица. Под тях пишем какво търсим и вместо число слагаме въпросителен знак:

$$\begin{array}{rl}v& =72\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =1,8\mathrm{km}\\ t& =?\end{array}$$

Може да изглежда като излишна бюрокрация, всъщност обаче спестява много мъки. Веднага виждаме с какво разполагаме и какво липсва. В условие, написано с изречения, числата лесно се пропускат или разменят, в колонка – не. По това, кои величини има в колонката, познаваме и формулата: път, скорост и време, това е s = v · t.

Преобразуваме мерните единици

Скоростта ни е дадена в километри в час, а пътят – в километри. Преди самото пресмятане преобразуваме и двете в основни единици, тоест в метри, секунди и метри в секунда. Скоростта делим на числото 3,6:

$$72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

а пътя умножаваме по хиляда:

$$1,8\mathrm{km}=1,8\cdot 1000\mathrm{m}=1800\mathrm{m}.$$

Преобразуваните стойности веднага допълваме в записа:

$$\begin{array}{rl}v& =72\mathrm{km}/\mathrm{h}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ s& =1,8\mathrm{km}=1800\mathrm{m}\\ t& =?(\mathrm{s})\end{array}$$

Мерната единица в скобите след въпросителния знак издава в какво ще получим резултата. Когато заместим метри и метри в секунда, ще излезе време в секунди.

Трябва ли да са метри и секунди? Не е задължително. Спокойно можем да смятаме и в километри и часове. Пътят е в километри, скоростта в километри в час, така че времето ще излезе в часове. Важно е едно: мерните единици не бива да се смесват. Когато разделим 1800 m на скорост 72, която е в километри в час, излиза 25 от нещо, което не са нито секунди, нито часове. Точно това е правдоподобно изглеждащото двайсет и пет от началото.

Скица

При задачите за движение почти винаги си струва да се направи скица. Не е нужно да е изряден, нито в мащаб. Стига влак като кутия с колела, стрелка накъде се движи и участък от линията, който трябва да измине.

Червената стрелка е скоростта v, синята размерна линия е пътят s, който влакът трябва да измине. Към всяка част от чертежа дописваме буквата на величината, а при нужда и стойността. При един влак по права линия скицата е почти самоочевидна. Щом обаче се движат две коли една срещу друга или влак минава през тунел и значение има дължината му, често чертежът издава по-рано от изчислението какво всъщност става в задачата.

Първо букви, числа накрая

Най-много ни се иска да заместим числата веднага. По-добре е обаче първо да решим цялата задача в общ вид, тоест само с букви, и числата да заместим едва в готовата формула. От формулата s = v · t изразяваме времето и двете страни делим на скоростта:

$$\begin{array}{rcl}v\cdot t& =& s/:v\\ t& =& \frac{s}{v}\end{array}$$

Едва сега идва ред на преобразуваните стойности:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1800\mathrm{m}}{20\mathrm{m}/\mathrm{s}}=90\mathrm{s}$$

Влакът изминава 1,8 km за 90 s, тоест за минута и половина.

Защо толкова церемонии, като можехме да делим веднага? При толкова кратка задача разликата е малка, но общото решение има няколко предимства, които при по-дългите задачи бързо проличават:

• По формулата с букви разбираме дали има смисъл. Във формулата $t=\frac{s}{v}$ пътят е в числителя, така че по-дълга линия означава по-дълго време. Скоростта е в знаменателя, така че по-бързият влак ще успее по-рано. И двете е логично.
• Формулата ни позволява да проверим мерните единици, за това след малко.
• Когато сгрешим, знаем къде да търсим. В ред, пълен с числа, грешката се крие много по-добре.
• Калкулатора вземаме в ръка само веднъж и закръгляваме едва резултата. Защо това е важно, ще видим при типичните грешки.
• Когато условието се промени, например влакът се движи по-бързо, достатъчно е да заместим отново. Формулата вече е готова.

Верни ли са мерните единици?

Заместихме и с мерните единици, а с тях пресмятаме както с числа. Метрите се съкращават с метрите и да делим на дроб е същото като да умножаваме по обърнатата дроб:

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}=\mathrm{m}\cdot \frac{\mathrm{s}}{\mathrm{m}}=\mathrm{s}$$

Получиха се секунди, тоест мерната единица на времето, което търсим. С километри и часове щеше да излезе същото:

$$\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\mathrm{km}\cdot \frac{\mathrm{h}}{\mathrm{km}}=\mathrm{h}$$

Проверката на мерните единици открива и неправилно изразена формула. Който размени числителя със знаменателя и смята $t=\frac{v}{s}$, ще получи

$$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{m}}=\frac{1}{\mathrm{s}},$$

а това не е мерна единица на време. Веднага знаем, че нещо не е наред, и дори не се налага да пресмятаме.

И двата пътя дават същото

Задачата с влака ще пресметнем още веднъж в километри и часове, за да се убедим, че работи:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1,8\mathrm{km}}{72\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\mathrm{0,025}\mathrm{h}$$

Ето загадъчното 0,025 от началото. Този път знаем, че са часове, защото километри, разделени на километри в час, дават часове. В секунди преобразуваме, като вместо час заместим 3600 s:

$$\mathrm{0,025}\mathrm{h}=\mathrm{0,025}\cdot 3600\mathrm{s}=90\mathrm{s}$$

Излязоха същите 90 s. Кой път е по-добър? Зависи от условието. В кинематиката и динамиката почти винаги ще преобразуваме в метри и секунди, защото в тях се смятат и ускоренията, и силите. При пътуване с кола или влак, където всичко е в километри и часове, обикновено е по-удобно да останем в тях.

Разумен ли е резултатът?

Накрая преценяваме дали резултатът има смисъл. Скорост 72 km/h означава 72 km за шейсет минути, тоест 1,2 km за минута. Пътят 1,8 km е един път и половина по-дълъг, така че на влака ще му трябва един път и половина повече от минута. Минута и половина, вярно е. Отговор: влакът изминава 1,8 km за минута и половина.

Често стига обикновеният опит. Павлина ходи пеша до училище 1,5 km и ѝ отнема 18 min. С каква скорост върви? Който раздели метрите на минутите, получава

$$\frac{1500}{18}\approx 83,3,$$

и ако забрави, че това са метри в минута, а не в секунда, и „преобразува“ в километри в час, му излиза 83,3 · 3,6 ≈ 300. Павлина би ходила до училище със скорост 300 km/h, по-бързо от високоскоростен влак. Такъв резултат е грешен, дори да не знаем къде е станала грешката. Правилно преобразуваме минутите в секунди, 18 · 60 s = 1080 s, и получаваме

$$v=\frac{s}{t}=\frac{1500\mathrm{m}}{1080\mathrm{s}}\approx 1,39\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

След умножение по числото 3,6 това е приблизително 5 km/h, обикновено ходене. За груба проверка е полезна таблицата със скорости: пешеходецът върви около 5 km/h, велосипедистът около 20 km/h, колата на магистрала 130 km/h. Кола, която се движи със 3000 km/h, или влак, който изминава километър за три секунди, е ясен знак, че трябва да се търси грешка.

Подходът накратко

Целия подход разгледахме с влака. Ще го обобщим:

1. Запис. Изписваме какво знаем, всяка величина с буква, число и мерна единица, и какво търсим, с въпросителен знак.

2. Преобразуване на мерните единици. Всичко преобразуваме в еднакви единици, обикновено в метри, секунди и метри в секунда.

3. Скица. Чертаем какво се случва и към чертежа дописваме величините.

4. Общо решение. От формулата изразяваме търсената величина, само с букви.

5. Заместване. В готовата формула заместваме числата с мерните единици и изчисляваме резултата.

6. Проверка на мерните единици. Проверяваме дали е излязла мерната единица на търсената величина.

7. Оценка. Питаме се дали резултатът е разумен и отговаряме с цяло изречение на въпроса от условието.

По същия начин ще действаме и във всички следващи задачи, включително в динамиката. Там към величините ще се добавят силите и скицата ще е още по-важна, защото в нея ще чертаем коя сила накъде действа.

Типични грешки

Минути, заместени като часове. Пешеходец върви със скорост 5 km/h. Докъде ще стигне за 15 min? Който замести в s = v · t направо петнайсет, получава

$$s=5\cdot 15=75,$$

и тъй като скоростта е била в километри в час, ще напише 75 km. Така пешеходецът за четвърт час би стигнал от Прага почти до Пилзен. Скоростта е в километри в час, така че времето трябва да е в часове. Петнайсет минути са четвърт час, 0,25 h:

$$s=v\cdot t=5\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 0,25\mathrm{h}=1,25\mathrm{km}$$

Такава грешка лесно се пропуска, когато числата се заместват без мерни единици. С мерните единици щяха да ни излязат километри в час по минути, а това не се съкращава.

Десетичните части от часа не са минути. Например 1,5 h не е един час и петдесет, а един час и трийсет минути, защото часът има шейсет минути, а не сто. Също така 0,25 h не са двайсет и пет минути, а петнайсет. Десетичната част от часа преобразуваш в минути, като я умножиш по шейсет:

$$0,25\mathrm{h}=0,25\cdot 60\min =15\min$$

Закръгляване на междинни резултати. Нека пак погледнем влака, пресметнат в часове. Получихме 0,025 h. Който е свикнал да закръглява до две десетични места, ще напише 0,03 h и ще продължи:

$$0,03\mathrm{h}=0,03\cdot 3600\mathrm{s}=108\mathrm{s}$$

Вместо 90 s излязоха 108 s, с 18 s повече. Грешката е двайсет процента и то само заради едно невинно изглеждащо закръгляване. Добавили сме само пет хилядни от часа, но 0,025 е малко число и пет хилядни са цяла петина от него. След умножение по 3600 от пет хилядни от часа станаха 18 s. Междинните резултати затова не закръглявай или запази поне с две-три цифри повече, отколкото искаш да имаш в резултата. Най-сигурно е общото решение: с числата смятаме едва накрая и закръгляваме само веднъж, едва готовия резултат в мерните единици, в които го искаме.

Велосипедист от началото до края

Накрая ще разгледаме една задача цялата, стъпка по стъпка. Велосипедист се движи по велоалея с постоянна скорост 18 km/h. За колко време ще измине 4,5 km?

Записваме какво знаем и какво търсим:

$$\begin{array}{rl}v& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =4,5\mathrm{km}\\ t& =?\end{array}$$

Пътят е в километри, а скоростта в километри в час, мерните единици не се смесват, така че този път не е нужно да преобразуваме и времето ще излезе в часове. За проверка после ще го изчислим още и в секунди. Скицата е почти същата като при влака:

Общото решение знаем от задачата с влака, $t=\frac{s}{v}$. Заместваме:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{4,5\mathrm{km}}{18\mathrm{km}/\mathrm{h}}=0,25\mathrm{h}$$

Мерните единици са верни, километри, разделени на километри в час, дават часове. Четвърт час тогава отговаря на

$$0,25\mathrm{h}=0,25\cdot 60\min =15\min .$$

Сега същото в основни единици. Преобразуваме:

$$\begin{array}{rl}v& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{18}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ s& =4,5\mathrm{km}=4500\mathrm{m}\end{array}$$

и заместваме:

$$t=\frac{4500\mathrm{m}}{5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=900\mathrm{s}$$

Минутата има шейсет секунди, така че $900\mathrm{s}=\frac{900}{60}\min =15\min$. И двата пътя водят до един и същ резултат.

Има ли резултатът смисъл? За час велосипедистът би изминал 18 km, за четвърт час следователно една четвърт, 4,5 km. Точно толкова, колкото трябваше да измине. Отговора записваме с цяло изречение: велосипедистът изминава 4,5 km за 15 min.

Със същия подход ще се справим и с текстови задачи за движение, в които две коли се срещат или едната настига другата. Там скицата и общото решение наистина се оказват полезни.