✖

Wielkości fizyczne i jednostki

„Piotr przejechał 5.” Pięć czego? Pięć metrów to droga do lodówki i z powrotem. Pięć kilometrów to już porządny spacer. Pięć tysięcy kilometrów wystarczyłoby, żeby dojechać samochodem z Warszawy do Lizbony i jeszcze spory kawał z powrotem. Goła liczba w fizyce nic nie mówi, należy do niej jednostka:

s=5km

Symbol wielkości s, wartość liczbowa 5 i jednostka km

Zapis składa się z trzech części. Na niebiesko jest symbol wielkości, tutaj s jako droga. Na czerwono jest wartość liczbowa 5, a na zielono jednostka, kilometr. Wartość liczbowa mówi, ile razy jednostka mieści się w danej wielkości. Pięć kilometrów to pięć razy jeden kilometr:

s=5⋅1km

Podręczniki fizyki mają dla obu części skrócony zapis, który widzisz na dole rysunku. Nawiasy klamrowe wokół symbolu oznaczają wartość liczbową, a kwadratowe jednostkę: {s} = 5 i [s] = km.

Z prędkością jest podobnie. Zdanie „jechał z prędkością 5” może oznaczać 5 km/h, czyli zwykły chód, albo 5 m/s, a to już żwawy bieg. Bez jednostki nie poznasz, czy Piotr szedł na spacer, czy biegł na autobus.

Czym jest wielkość fizyczna

Wielkość fizyczna to cecha, którą umiemy zmierzyć, czyli porównać z jednostką i wyrazić liczbą. Wielkością jest na przykład długość stołu, czas gotowania jajka, masa torby z zakupami albo temperatura wody w garnku. Piękno natomiast wielkością nie jest. Nie istnieje przyrząd, który by je zmierzył, ani jednostka, w której by się je podawało. Zdanie „to zdjęcie ma siedem piękności” nie ma sensu.

Do każdej wielkości należy symbol, zwykle jedna litera. Droga to s, czas t, masa m, a prędkość v. Litery nie są wybrane na chybił trafił, pochodzą z łaciny: spatium to przestrzeń, tempus czas, massa masa, a velocitas prędkość.

Układ SI

Dawniej każde miasto mierzyło po swojemu. Łokieć krakowski miał około 59 cm, wiedeński prawie 78 cm, więc kto kupił sukno w Krakowie, a sprzedawał je w Wiedniu, musiał liczyć się z różnicą. Dziś prawie cały świat trzyma się jednego układu, Międzynarodowego Układu Jednostek Miar SI (od francuskiego Système international d'unités). Opiera się on na siedmiu jednostkach podstawowych:

wielkość jednostka symbol jednostki
długość metr m
masa kilogram kg
czas sekunda s
natężenie prądu elektrycznego amper A
temperatura termodynamiczna kelwin K
liczność materii mol mol
światłość kandela cd

W kinematyce i dynamice wystarczą nam pierwsze trzy: metr, kilogram i sekunda.

Jak duży jest metr? Powstał w rewolucyjnej Francji jako dziesięciomilionowa część odległości od bieguna północnego do równika. Później wykonano według niego pręt ze stopu platyny i irydu, a metr był odległością między dwiema kreskami na nim. Dziś metr wyznacza się za pomocą światła: to odległość, jaką światło przebywa w próżni w czasie 1299792458s.

Kilogram był pierwotnie masą jednego litra wody. Przez ponad sto lat jego wielkość wyznaczał potem walec ze stopu platyny i irydu, o wysokości i średnicy 39 mm, przechowywany w sejfie pod Paryżem. Przy porównywaniu z dokładnymi kopiami okazało się, że nieznacznie się od siebie różnią. Dlatego od 2019 roku kilogram wyznacza stała przyrody i w zasadzie można go dokładnie odtworzyć w dowolnym laboratorium z odpowiednim wyposażeniem, bez porównywania z paryskim walcem.

Sekunda przez długi czas była po prostu odpowiednią częścią doby, bo doba ma 24 · 60 · 60 = 86 400 sekund. Ziemia nie obraca się jednak całkiem regularnie, dlatego dziś sekundę odmierzają zegary atomowe.

Jednostki pochodne

Wszystkie pozostałe jednostki tworzy się z podstawowych. Prędkość to droga przebyta w określonym czasie, obliczymy ją więc jako drogę podzieloną przez czas:

v=st

Jeśli drogę mierzymy w metrach, a czas w sekundach, możemy podobnie jak wielkości podzielić także ich jednostki:

[v]=[s][t]=ms=m/s

Jednostką prędkości jest metr na sekundę. Takie jednostki nazywamy pochodnymi. Należą do nich na przykład metr kwadratowy m2 dla pola, metr sześcienny m3 dla objętości albo metr na sekundę do kwadratu m/s2 dla przyspieszenia. Co dokładnie kryje się za tą „sekundą do kwadratu”, pokażemy przy przyspieszeniu.

Niektóre jednostki pochodne mają własną nazwę, zwykle na cześć sławnego fizyka. Jednostką siły jest niuton N, nazwany na cześć Isaaca Newtona. Na razie wystarczy wiedzieć, że da się go wyrazić jednostkami podstawowymi:

N=kg·m/s2

Dlaczego akurat tak, wyjaśnimy w artykule o sile.

Kilometr na godzinę, minuta, godzina, litr czy tona do układu SI nie należą, ale wolno ich używać, bo przyjęły się w codziennym życiu. W obliczeniach fizycznych zwykle jednak najpierw zamieniamy je na jednostki podstawowe. Jak to zrobić, pokażemy kawałek dalej.

Potęgi dziesięciu

W fizyce często spotykamy bardzo duże i bardzo małe liczby. Słońce jest oddalone od Ziemi o około 150 000 000 km, czyli 150 000 000 000 m. Pisanie i liczenie z tymi wszystkimi zerami jest męczące i łatwo jedno zgubić. Takie liczby zapisuje się więc za pomocą potęg dziesięciu.

Potęga 103 oznacza, że mnożymy przez siebie trzy dziesiątki:

103=10⋅10⋅10=1000

Wykładnik, czyli mała liczba u góry, mówi, ile zer ma wynik. 106 to jedynka i sześć zer, milion. Gdy wykładnik zmniejszymy o jeden, wynik dzielimy przez dziesięć. Jeśli robimy tak dalej także poniżej zera, dostajemy

102=100,101=10,100=1,10−1=0,1,10−2=0,01,10−3=0,001

Ujemny wykładnik nie oznacza więc liczby ujemnej, tylko ułamek: 10−3=1103=11000. Potęga 10−3 to jedna tysięczna.

Odległość Słońca zapiszemy teraz tak, że przed potęgą dziesięciu postawimy liczbę między jeden a dziesięć:

150000000000=1,5⋅100000000000=1,5⋅1011

Słońce jest oddalone od Ziemi o około 1,5 · 1011 m. Wykładnik ustalamy według tego, o ile miejsc trzeba przesunąć przecinek dziesiętny, żeby z 1,5 zrobiło się 150 000 000 000. To jedenaście miejsc w prawo.

Z małymi liczbami jest odwrotnie. Ludzki włos ma grubość około 0,07 mm, czyli 0,00007 m. Żeby z siódemki zrobiło się 0,00007, musimy przesunąć przecinek o pięć miejsc w lewo, dlatego wykładnik jest ujemny:

0,00007m=7⋅10−5m.

Więcej o liczeniu z potęgami znajdziesz w artykule Potęgi, a zamianę liczby na taką postać załatwi kalkulator notacji wykładniczej.

Przedrostki jednostek

Potęgę dziesięciu może zastąpić przedrostek przed jednostką. Kilo oznacza tysiąc, więc kilometr to tysiąc metrów i 3 · 103 m = 3 km. Najczęściej używane zbiera tabela:

prefiks symbol mnożnik przykład
giga G 109 = 1 000 000 000 GW
mega M 106 = 1 000 000 MW
kilo k 103 = 1000 km, kg
decy d 10−1 = 0,1 dm
centy c 10−2 = 0,01 cm
mili m 10−3 = 0,001 mm, mg
mikro µ 10−6 = 0,000001 µm

Czeska elektrownia jądrowa Temelín ma moc około 2 GW, czyli 2 · 109 W. Włos o grubości 7 · 10−5 m to to samo co 70 µm, bo 7 · 10−5 = 70 · 10−6.

Kilogram jest wyjątkiem, przedrostek ma już w sobie. Kolejne przedrostki dodaje się więc do grama: tysięczna część grama to miligram, nikt nie mówi mikrokilogram.

Pilnuj też wielkich i małych liter. Małe m to mili, wielkie M to mega, a różnią się miliard razy. Wskaźnik laserowy świeci z mocą około 1 mW. Kto zamiast tego napisze 1 MW, ten zrobi z niego elektrownię wiatrową.

Zamiana jednostek

Jednostki da się zamieniać bez pamiętania, w którą stronę się mnoży, a w którą dzieli. Wystarczy traktować jednostkę jak liczbę, za którą podstawiamy, ile wynosi w nowej jednostce. Ile metrów to 2,5 km? Jeden kilometr to tysiąc metrów, więc za kilometr podstawiamy 1000 m:

2,5km=2,5⋅1km=2,5⋅1000m=2500m

Czas zamienia się podobnie. Ile godzin to 45 min? Minuta to sześćdziesiąta część godziny:

45min=45⋅160h=4560h=0,75h

I na koniec masa. Gram to tysięczna część kilograma, więc 350 g to

350g=350⋅0,001kg=0,35kg.

Przy czasie ludzie często się mylą. Ile to jest 1,5 h? Od razu nasuwa się odpowiedź „godzina pięćdziesiąt”. Godzina ma jednak sześćdziesiąt minut, nie sto. Pół godziny to

0,5h=0,5⋅60min=30min,

więc 1,5 h to godzina i trzydzieści minut. To samo działa w drugą stronę: godzina dwadzieścia to nie 1,2 h, tylko

1h+20min=1h+2060h≈1,33h.

Kilometry na godzinę i metry na sekundę

Prędkościomierz w samochodzie pokazuje kilometry na godzinę, w fizyce liczy się jednak w metrach na sekundę. Zamieniać będziemy jak przed chwilą, jednostkę traktujemy jak liczbę. Kilometr to 1000 m, a godzina 3600 s:

1km/h=1km1h=1000m3600s

Ułamek 10003600 skracamy przez tysiąc, dostajemy 13,6, więc

1km/h=13,6m/s≈0,28m/s.

Z tego wynika cała reguła: z km/h na m/s dzielimy przez 3,6. Samochód, który jedzie 90 km/h, jedzie z prędkością

90km/h=90⋅13,6m/s=903,6m/s=25m/s.

Co sekundę przejeżdża 25 m. W przeciwną stronę, z m/s na km/h, przez 3,6 mnożymy:

25m/s=25⋅3,6km/h=90km/h

Dlaczego jeden metr na sekundę to 3,6 km/h? Metr to tysięczna część kilometra, a sekunda to 13600 godziny:

1m/s=0,001km13600h=0,001⋅3600km/h=3,6km/h

Typowy błąd to pomylić kierunek i mnożyć tam, gdzie trzeba dzielić. Wtedy wychodzi, że samochód jedzie 324 m/s, a to już blisko prędkości dźwięku. Pomaga uświadomić sobie, że metr na sekundę jest większą jednostką niż kilometr na godzinę. Na tę samą prędkość wystarczy jej więc mniej i liczba w m/s jest zawsze mniejsza niż liczba w km/h.

Dla lepszego wyobrażenia jeszcze dwa przykłady. Pieszy idzie z prędkością

5km/h=53,6m/s≈1,4m/s,

w ciągu sekundy pokonuje więc niecałe półtora metra. Samochód na autostradzie jedzie 130 km/h, czyli

130km/h=1303,6m/s≈36,1m/s.

Kto na autostradzie na dwie sekundy zapatrzy się w telefon, przejedzie na ślepo ponad 70 m.

Kalkulator

Wpisz prędkość w kilometrach na godzinę, a kalkulator zamieni ją na metry na sekundę.

To samo w przeciwną stronę, z metrów na sekundę na kilometry na godzinę:

Niektórym wielkościom nie wystarcza jednak nawet liczba z jednostką, potrzebują jeszcze kierunku. Jak się z nimi liczy, pokazuje kolejny artykuł, Skalary i wektory.