Fysiske størrelser og enheder

»William kørte 5.« Fem hvad? Fem meter er vejen til køleskabet og tilbage. Fem kilometer er allerede en ordentlig gåtur. Fem tusind kilometer ville i bil række fra København til Lissabon og det meste af vejen tilbage. Et rent tal siger ikke noget i fysik, der hører en enhed til:

$$s=5\mathrm{km}$$

Skrivemåden består af tre dele. Med blåt er størrelsens symbol, her s som strækning. Med rødt er talværdien 5 og med grønt enheden, kilometer. Talværdien angiver, hvor mange gange enheden går op i størrelsen. Fem kilometer er fem gange en kilometer:

$$s=5\cdot 1\mathrm{km}$$

Lærebøger i fysik har en forkortet skrivemåde for begge dele, som du kan se nederst på figuren. Tuborgparenteser om symbolet betyder talværdien, kantede parenteser enheden: {s} = 5 og [s] = km.

Med fart er det lige sådan. Sætningen »han kørte med farten 5« kan betyde 5 km/h, som er almindelig gang, eller 5 m/s, og det er allerede en rask løbetur. Uden enhed kan du ikke se, om William var ude at gå en tur, eller om han løb efter bussen.

Hvad er en fysisk størrelse

En fysisk størrelse er en egenskab, som vi kan måle, altså sammenligne med en enhed og udtrykke med et tal. En størrelse er for eksempel længden af et bord, den tid det tager at koge et æg, massen af en indkøbspose eller temperaturen af vandet i en gryde. Skønhed er derimod ikke en størrelse. Der findes ikke noget instrument, der kan måle den, og ingen enhed, den kan angives i. Sætningen »det her foto har syv skønheder« giver ingen mening.

Til hver størrelse hører et symbol, som regel ét bogstav. Strækningen er s, tiden t, massen m og hastigheden v. Bogstaverne er ikke valgt tilfældigt, de stammer fra latin: spatium er rum, tempus tid, massa masse og velocitas hastighed.

SI-systemet

Før i tiden målte hver by på sin egen måde. Prags alen var omkring 59 cm, Wiens alen næsten 78 cm, og den, der købte stof i Prag og solgte det i Wien, måtte regne med forskellen. I dag holder næsten hele verden sig til ét system, det internationale system af enheder SI (fra fransk Système international d'unités). Det bygger på syv grundenheder:

I kinematik og dynamik klarer vi os med de tre første: meter, kilogram og sekund.

Hvor stor er en meter? Den opstod i det revolutionære Frankrig som en ti-milliontedel af afstanden fra Nordpolen til ækvator. Senere blev der efter den fremstillet en stang af en legering af platin og iridium, og en meter var afstanden mellem to streger på den. I dag bestemmes meteren ved hjælp af lys: Det er den afstand, lyset tilbagelægger i vakuum på $\frac{1}{299.792.458}\mathrm{s}$.

Et kilogram var oprindeligt massen af en liter vand. I over hundrede år blev dets størrelse så bestemt af en cylinder af en legering af platin og iridium, 39 mm høj og lige så bred, der lå i et pengeskab uden for Paris. Ved sammenligning med præcise kopier viste det sig, at de afveg en smule fra hinanden. Siden 2019 er kilogrammet derfor bestemt af en naturkonstant, og i princippet kan det genskabes præcist i ethvert laboratorium med det nødvendige udstyr, uden sammenligning med cylinderen i Paris.

Sekunden var længe en 86.400-del af et døgn, fordi et døgn har 24 · 60 · 60 = 86.400 sekunder. Jorden roterer dog ikke helt jævnt, og derfor måler atomure i dag sekunden.

Afledte enheder

Alle de andre enheder er sat sammen af grundenhederne. Fart er den strækning, der tilbagelægges i en given tid, så vi beregner den som strækning divideret med tid:

$$v=\frac{s}{t}$$

Hvis vi måler strækningen i meter og tiden i sekunder, kan vi på samme måde som størrelserne dividere deres enheder:

$$[v]=\frac{[s]}{[t]}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Enheden for fart er meter pr. sekund. Den slags enheder kalder vi afledte. Det gælder for eksempel kvadratmeter m² til areal, kubikmeter m³ til rumfang eller meter pr. sekund i anden m/s² til acceleration. Hvad der præcis gemmer sig bag »sekund i anden«, viser vi ved acceleration.

Nogle afledte enheder har et eget navn, for det meste efter en berømt fysiker. Enheden for kraft er newton N, opkaldt efter Isaac Newton. Foreløbig er det nok at vide, at den kan udtrykkes ved grundenhederne:

$$\mathrm{N}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Hvorfor netop sådan, forklarer vi i artiklen om kraft.

Kilometer i timen, minut, time, liter og ton hører ikke til SI-systemet, men de må gerne bruges, fordi de er indarbejdede i hverdagen. I fysiske beregninger omregner man dem dog for det meste først til grundenheder. Hvordan, viser vi lidt senere.

Titalspotenser

I fysik støder vi ofte på meget store og meget små tal. Solen er cirka 150.000.000 km fra Jorden, altså 150.000.000.000 m. Det er træls at skrive og regne med alle de nuller, og man kommer let til at miste et. Den slags tal skriver man derfor som titalspotenser.

Potensen 10³ betyder, at vi ganger tre tiere med hinanden:

$${10}^3=10\cdot 10\cdot 10=1000$$

Eksponenten, altså det lille tal øverst, fortæller, hvor mange nuller resultatet har. 10⁶ er et ettal og seks nuller, en million. Når vi sætter eksponenten ned med én, dividerer vi resultatet med ti. Fortsætter vi under nul, får vi

$$\begin{array}{rlrlrl}{10}^2& =100,& {10}^1& =10,& {10}^0& =1,\\ {10}^{-1}& =0,1,& {10}^{-2}& =0,01,& {10}^{-3}& =\mathrm{0,001}\end{array}$$

En negativ eksponent betyder altså ikke et negativt tal, men en brøk: ${10}^{-3}=\frac{1}{{10}^3}=\frac{1}{1000}$. Potensen 10⁻³ er en tusindedel.

Afstanden til Solen skriver vi nu ved at sætte et tal mellem 1 og 10 foran titalspotensen:

$$150.000.000.000=1,5\cdot 100.000.000.000=1,5\cdot {10}^{11}$$

Solen er cirka 1,5 · 10¹¹ m fra Jorden. Eksponenten finder vi ud fra, hvor mange pladser vi skal flytte kommaet, for at 1,5 bliver til 150.000.000.000. Det er elleve pladser mod højre.

Med små tal er det omvendt. Et menneskehår er cirka 0,07 mm tykt, altså 0,00007 m. For at 7-tallet bliver til 0,00007, må vi flytte kommaet fem pladser mod venstre, og eksponenten er derfor negativ:

$$\mathrm{0,000}07\mathrm{m}=7\cdot {10}^{-5}\mathrm{m}.$$

Mere om at regne med potenser finder du i artiklen Potenser og rødder, og et tal kan du skrive om på denne form med beregneren til tal på standardform.

Præfikser til enheder

En titalspotens kan erstattes af et præfiks foran enheden. Kilo betyder tusind, så en kilometer er tusind meter, og 3 · 10³ m = 3 km. De mest brugte er samlet i tabellen:

Et stort atomkraftværk har en effekt på cirka 2 GW, altså 2 · 10⁹ W. Et hår, der er 7 · 10⁻⁵ m tykt, er det samme som 70 µm, fordi 7 · 10⁻⁵ = 70 · 10⁻⁶.

Kilogram er en undtagelse, for det har allerede et præfiks i sig. Yderligere præfikser sættes derfor på gram: en tusindedel gram er et milligram, og ingen siger mikrokilogram.

Pas også på store og små bogstaver. Lille m er milli, stort M er mega, og forskellen er en faktor en milliard. En laserpointer lyser med en effekt på cirka 1 mW. Den, der i stedet skriver 1 MW, har lavet den om til en stor vindmølle.

Omregning af enheder

Omregning kan man klare uden at huske, hvilken vej man skal gange, og hvilken vej man skal dividere. Det er nok at betragte enheden som et tal og i stedet for den indsætte, hvor meget den er i den nye enhed. Hvor mange meter er 2,5 km? En kilometer er tusind meter, så for kilometer indsætter vi 1000 m:

$$2,5\mathrm{km}=2,5\cdot 1\mathrm{km}=2,5\cdot 1000\mathrm{m}=2500\mathrm{m}$$

Tid omregnes på samme måde. Hvor mange timer er 45 min? Et minut er en tresindstyvendedel af en time:

$$45\min =45\cdot \frac{1}{60}\mathrm{h}=\frac{45}{60}\mathrm{h}=0,75\mathrm{h}$$

Og til sidst masse. Et gram er en tusindedel kilogram, så 350 g er

$$350\mathrm{g}=350\cdot \mathrm{0,001}\mathrm{kg}=0,35\mathrm{kg}.$$

Med tid begår folk ofte fejl. Hvor meget er 1,5 h? Straks melder svaret sig: »en time og halvtreds minutter«. En time har dog tres minutter, ikke hundrede. En halv time er

$$0,5\mathrm{h}=0,5\cdot 60\min =30\min ,$$

så 1,5 h er en time og tredive minutter. Det samme gælder omvendt: en time og tyve minutter er ikke 1,2 h, men

$$1\mathrm{h}+20\min =1\mathrm{h}+\frac{20}{60}\mathrm{h}\approx 1,33\mathrm{h}.$$

Kilometer i timen og meter i sekundet

Speedometeret i bilen viser kilometer i timen, men i fysik regner man i meter pr. sekund. Vi omregner som lige før og betragter enheden som et tal. En kilometer er 1000 m og en time 3600 s:

$$1\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{1\mathrm{km}}{1\mathrm{h}}=\frac{1000\mathrm{m}}{3600\mathrm{s}}$$

Brøken $\frac{1000}{3600}$ forkorter vi med tusind, så vi får $\frac{1}{3,6}$, og dermed er

$$1\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{1}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 0,28\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Heraf følger hele reglen: fra km/h til m/s dividerer vi med tallet 3,6. En bil, der kører 90 km/h, kører med farten

$$90\mathrm{km}/\mathrm{h}=90\cdot \frac{1}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=\frac{90}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=25\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Hvert sekund tilbagelægger den 25 m. Den modsatte vej, fra m/s til km/h, ganger vi med 3,6:

$$25\mathrm{m}/\mathrm{s}=25\cdot 3,6\mathrm{km}/\mathrm{h}=90\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Hvorfor er én meter pr. sekund 3,6 km/h? En meter er en tusindedel kilometer, og et sekund er $\frac{1}{3600}$ time:

$$\begin{array}{rl}1\mathrm{m}/\mathrm{s}& =\frac{\mathrm{0,001}\mathrm{km}}{\frac{1}{3600}\mathrm{h}}\\ & =\mathrm{0,001}\cdot 3600\mathrm{km}/\mathrm{h}=3,6\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Den typiske fejl er at forveksle retningen og gange, hvor man skal dividere. Så får man, at bilen kører 324 m/s, hvilket nærmer sig lydens hastighed. Det hjælper at huske, at meter pr. sekund er en større enhed end kilometer i timen. Til den samme fart skal der derfor færre af dem, og tallet i m/s er altid mindre end tallet i km/h.

For at få en bedre fornemmelse kommer her to eksempler mere. En fodgænger går med farten

$$5\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{5}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 1,4\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

så på et sekund når fodgængeren knap halvanden meter. En bil på motorvejen, hvor man må køre 130 km/h, kører

$$130\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{130}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 36,1\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Den, der kigger på mobilen i to sekunder på motorvejen, kører over 70 m i blinde.

Beregner

Indtast farten i kilometer i timen, og beregneren omregner den til meter pr. sekund.

Det samme i den modsatte retning, fra meter pr. sekund til kilometer i timen:

Nogle størrelser har dog ikke nok i et tal med en enhed, de har også brug for en retning. Hvordan man regner med dem, viser den næste artikel, Skalarer og vektorer.