Φυσικά μεγέθη και μονάδες

«Ο Πέτρος διένυσε 5.» Πέντε τι; Πέντε μέτρα είναι η διαδρομή ως το ψυγείο και πίσω. Πέντε χιλιόμετρα είναι ήδη μια αξιοπρεπής βόλτα. Με πέντε χιλιάδες χιλιόμετρα θα έφτανες με το αυτοκίνητο από την Αθήνα ως τη Λισαβόνα και μισό δρόμο πίσω. Ένας γυμνός αριθμός στη φυσική δεν λέει τίποτα, χρειάζεται και μονάδα:

$$s=5\mathrm{km}$$

Η γραφή αποτελείται από τρία μέρη. Με μπλε είναι το σύμβολο του μεγέθους, εδώ το s ως διάστημα. Με κόκκινο είναι η αριθμητική τιμή 5 και με πράσινο η μονάδα, το χιλιόμετρο. Η αριθμητική τιμή δείχνει πόσες φορές χωράει η μονάδα στο μέγεθος. Πέντε χιλιόμετρα είναι πέντε φορές ένα χιλιόμετρο:

$$s=5\cdot 1\mathrm{km}$$

Τα βιβλία της φυσικής έχουν για τα δύο αυτά μέρη μια συντομευμένη γραφή, που βλέπεις κάτω στην εικόνα. Τα άγκιστρα γύρω από το σύμβολο σημαίνουν την αριθμητική τιμή και οι αγκύλες τη μονάδα: {s} = 5 και [s] = km.

Με την ταχύτητα συμβαίνει κάτι παρόμοιο. Η φράση «κινήθηκε με ταχύτητα 5» μπορεί να σημαίνει 5 km/h, που είναι ένα συνηθισμένο περπάτημα, ή 5 m/s, και αυτό είναι ήδη ζωηρό τρέξιμο. Χωρίς μονάδα δεν καταλαβαίνεις αν ο Πέτρος πήγε βόλτα ή έτρεχε για να προλάβει το λεωφορείο.

Τι είναι το φυσικό μέγεθος

Φυσικό μέγεθος είναι μια ιδιότητα που μπορούμε να μετρήσουμε, δηλαδή να τη συγκρίνουμε με μια μονάδα και να την εκφράσουμε με έναν αριθμό. Μέγεθος είναι για παράδειγμα το μήκος ενός τραπεζιού, ο χρόνος που χρειάζεται για να βράσει ένα αυγό, η μάζα της τσάντας με τα ψώνια ή η θερμοκρασία του νερού στην κατσαρόλα. Η ομορφιά, αντίθετα, δεν είναι μέγεθος. Δεν υπάρχει όργανο που να τη μετράει, ούτε μονάδα στην οποία να εκφράζεται. Η φράση «αυτή η φωτογραφία έχει επτά ομορφιές» δεν έχει νόημα.

Κάθε μέγεθος έχει ένα σύμβολο, συνήθως ένα γράμμα. Το διάστημα είναι s, ο χρόνος t, η μάζα m και η ταχύτητα υ. Τα γράμματα δεν έχουν επιλεγεί στην τύχη, προέρχονται από τα λατινικά: spatium είναι ο χώρος, tempus ο χρόνος, massa η μάζα και velocitas η ταχύτητα (στα ελληνικά βιβλία στη θέση του λατινικού v μπαίνει το ελληνικό ύψιλον).

Το σύστημα SI

Παλιά κάθε πόλη μετρούσε με το δικό της μέτρο. Ο πήχης της Πράγας ήταν περίπου 59 cm, της Βιέννης σχεδόν 78 cm, και όποιος αγόραζε ύφασμα στην Πράγα και το πουλούσε στη Βιέννη έπρεπε να λογαριάσει τη διαφορά. Σήμερα σχεδόν όλος ο κόσμος ακολουθεί ένα σύστημα, το Διεθνές Σύστημα Μονάδων SI (από τα γαλλικά Système international d'unités). Στηρίζεται σε επτά θεμελιώδεις μονάδες:

Στην κινηματική και τη δυναμική μας φτάνουν οι τρεις πρώτες: το μέτρο, το χιλιόγραμμο και το δευτερόλεπτο.

Πόσο μεγάλο είναι το μέτρο; Γεννήθηκε στην επαναστατημένη Γαλλία ως το ένα δεκάκις εκατομμυριοστό της απόστασης από τον Βόρειο Πόλο ως τον Ισημερινό. Αργότερα κατασκευάστηκε με βάση αυτό μια ράβδος από κράμα λευκόχρυσου και ιριδίου, και το μέτρο ήταν η απόσταση ανάμεσα σε δύο χαραγές πάνω της. Σήμερα το μέτρο ορίζεται με τη βοήθεια του φωτός: είναι η απόσταση που διανύει το φως στο κενό σε $\frac{1}{299.792.458}\mathrm{s}$.

Το χιλιόγραμμο ήταν αρχικά η μάζα ενός λίτρου νερού. Για πάνω από εκατό χρόνια το μέγεθός του καθόριζε ένας κύλινδρος από κράμα λευκόχρυσου και ιριδίου, με ύψος και πλάτος 39 mm, φυλαγμένος σε θησαυροφυλάκιο κοντά στο Παρίσι. Όταν τον συνέκριναν με τα ακριβή αντίγραφά του, αποδείχτηκε ότι διαφέρουν ελάχιστα μεταξύ τους. Από το 2019 το χιλιόγραμμο ορίζεται λοιπόν από μια σταθερά της φύσης και κατ' αρχήν μπορεί να αναπαραχθεί με ακρίβεια σε οποιοδήποτε εργαστήριο διαθέτει τον απαραίτητο εξοπλισμό, χωρίς σύγκριση με τον παρισινό κύλινδρο.

Το δευτερόλεπτο ήταν για πολύ καιρό το ένα προς 86.400 της ημέρας, αφού η ημέρα έχει 24 · 60 · 60 = 86.400 δευτερόλεπτα. Η Γη όμως δεν περιστρέφεται απολύτως ομοιόμορφα, γι' αυτό σήμερα το δευτερόλεπτο το μετρούν ατομικά ρολόγια.

Παράγωγες μονάδες

Όλες οι άλλες μονάδες συντίθενται από τις θεμελιώδεις. Η ταχύτητα είναι το διάστημα που διανύεται σε ορισμένο χρόνο, άρα τη βρίσκουμε διαιρώντας το διάστημα με τον χρόνο:

$$\upsilon =\frac{s}{t}$$

Αν μετράμε το διάστημα σε μέτρα και τον χρόνο σε δευτερόλεπτα, μπορούμε, όπως και με τα μεγέθη, να διαιρέσουμε και τις μονάδες τους:

$$[\upsilon ]=\frac{[s]}{[t]}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Μονάδα της ταχύτητας είναι το μέτρο ανά δευτερόλεπτο. Τέτοιες μονάδες τις λέμε παράγωγες. Σε αυτές ανήκουν το τετραγωνικό μέτρο m² για το εμβαδόν, το κυβικό μέτρο m³ για τον όγκο ή το μέτρο ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο m/s² για την επιτάχυνση. Τι ακριβώς κρύβεται πίσω από αυτό το «δευτερόλεπτο στο τετράγωνο», θα το δείξουμε στο άρθρο για την επιτάχυνση.

Μερικές παράγωγες μονάδες έχουν δικό τους όνομα, συνήθως από κάποιον διάσημο φυσικό. Μονάδα της δύναμης είναι το νιούτον N, που πήρε το όνομά του από τον Ισαάκ Νεύτωνα. Προς το παρόν αρκεί να ξέρεις ότι εκφράζεται με θεμελιώδεις μονάδες:

$$\mathrm{N}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Γιατί ακριβώς έτσι, θα το εξηγήσουμε στο άρθρο για τη δύναμη.

Το χιλιόμετρο ανά ώρα, το λεπτό, η ώρα, το λίτρο ή ο τόνος δεν ανήκουν στο σύστημα SI, επιτρέπεται όμως να χρησιμοποιούνται, επειδή είναι καθιερωμένα στην καθημερινή ζωή. Στους φυσικούς υπολογισμούς όμως συνήθως τα μετατρέπουμε πρώτα σε θεμελιώδεις μονάδες. Πώς γίνεται αυτό, θα το δείξουμε λίγο παρακάτω.

Δυνάμεις του δέκα

Στη φυσική συναντάμε συχνά πολύ μεγάλους και πολύ μικρούς αριθμούς. Ο Ήλιος απέχει από τη Γη περίπου 150.000.000 km, δηλαδή 150.000.000.000 m. Το να γράφεις και να υπολογίζεις με όλα αυτά τα μηδενικά είναι κουραστικό και εύκολα χάνεται ένα. Γι' αυτό τέτοιοι αριθμοί γράφονται με δυνάμεις του δέκα.

Η δύναμη 10³ σημαίνει ότι πολλαπλασιάζουμε μεταξύ τους τρεις παράγοντες ίσους με 10:

$${10}^3=10\cdot 10\cdot 10=1.000$$

Ο εκθέτης, δηλαδή ο μικρός αριθμός από πάνω, λέει πόσα μηδενικά έχει το αποτέλεσμα. Το 10⁶ είναι ένα και έξι μηδενικά, ένα εκατομμύριο. Όταν μειώνουμε τον εκθέτη κατά ένα, το αποτέλεσμα διαιρείται με το δέκα. Αν συνεχίσουμε έτσι και κάτω από το μηδέν, παίρνουμε

$$\begin{array}{rlrlrl}{10}^2& =100,& {10}^1& =10,& {10}^0& =1,\\ {10}^{-1}& =0,1,& {10}^{-2}& =0,01,& {10}^{-3}& =\mathrm{0,001}\end{array}$$

Ο αρνητικός εκθέτης δεν σημαίνει λοιπόν αρνητικό αριθμό, αλλά κλάσμα: ${10}^{-3}=\frac{1}{{10}^3}=\frac{1}{1.000}$. Η δύναμη 10⁻³ είναι ένα χιλιοστό.

Την απόσταση του Ήλιου τη γράφουμε τώρα βάζοντας μπροστά από τη δύναμη του δέκα έναν αριθμό ανάμεσα στο ένα και στο δέκα:

$$\begin{array}{rl}150000000000& =1,5\cdot 100.000.000.000\\ & =1,5\cdot {10}^{11}\end{array}$$

Ο Ήλιος απέχει από τη Γη περίπου 1,5 · 10¹¹ m. Τον εκθέτη τον βρίσκουμε από το πόσες θέσεις πρέπει να μετακινήσουμε την υποδιαστολή, για να γίνει το 1,5 ίσο με 150.000.000.000. Είναι έντεκα θέσεις προς τα δεξιά.

Με τους μικρούς αριθμούς συμβαίνει το αντίθετο. Μια ανθρώπινη τρίχα έχει πάχος περίπου 0,07 mm, δηλαδή 0,00007 m. Για να γίνει το επτά 0,00007, πρέπει να μετακινήσουμε την υποδιαστολή πέντε θέσεις προς τα αριστερά, και ο εκθέτης είναι γι' αυτό αρνητικός:

$$\mathrm{0,000}07\mathrm{m}=7\cdot {10}^{-5}\mathrm{m}.$$

Περισσότερα για τους υπολογισμούς με δυνάμεις θα βρεις στο άρθρο Δυνάμεις και ρίζες, και τη μετατροπή ενός αριθμού σε τέτοια μορφή την κάνει η αριθμομηχανή επιστημονικού συμβολισμού.

Προθέματα μονάδων

Τη δύναμη του δέκα μπορεί να την αντικαταστήσει ένα πρόθεμα μπροστά από τη μονάδα. Το πρόθεμα χιλιο- σημαίνει χίλια, άρα το χιλιόμετρο είναι χίλια μέτρα και 3 · 10³ m = 3 km. Τα πιο συχνά τα συνοψίζει ο πίνακας:

Ένας μεγάλος πυρηνικός σταθμός έχει ισχύ περίπου 2 GW, δηλαδή 2 · 10⁹ W. Μια τρίχα με πάχος 7 · 10⁻⁵ m είναι το ίδιο με 70 µm, επειδή 7 · 10⁻⁵ = 70 · 10⁻⁶.

Το χιλιόγραμμο είναι εξαίρεση, έχει ήδη μέσα του πρόθεμα. Τα υπόλοιπα προθέματα προστίθενται γι' αυτό στο γραμμάριο: το χιλιοστό του γραμμαρίου είναι το χιλιοστόγραμμο, κανείς δεν λέει μικροχιλιόγραμμο.

Πρόσεχε και τα κεφαλαία και τα μικρά γράμματα. Το μικρό m είναι χιλιοστο-, το κεφαλαίο M είναι μεγα- και η διαφορά μεταξύ τους είναι ένα δισεκατομμύριο φορές. Ένας δείκτης λέιζερ φωτίζει με ισχύ περίπου 1 mW. Όποιος γράψει αντί γι' αυτό 1 MW, τον έκανε ανεμογεννήτρια.

Μετατροπές μονάδων

Τις μετατροπές μπορείς να τις κάνεις και χωρίς να θυμάσαι προς ποια κατεύθυνση πολλαπλασιάζουμε και προς ποια διαιρούμε. Αρκεί να αντιμετωπίσεις τη μονάδα σαν αριθμό, στη θέση του οποίου βάζεις πόσο κάνει στη νέα μονάδα. Πόσα μέτρα είναι 2,5 km; Ένα χιλιόμετρο είναι χίλια μέτρα, άρα στη θέση του χιλιομέτρου βάζουμε 1.000 m:

$$2,5\mathrm{km}=2,5\cdot 1\mathrm{km}=2,5\cdot 1.000\mathrm{m}=2.500\mathrm{m}$$

Ο χρόνος μετατρέπεται παρόμοια. Πόσες ώρες είναι 45 min; Το λεπτό είναι το ένα εξηκοστό της ώρας:

$$45\min =45\cdot \frac{1}{60}\mathrm{h}=\frac{45}{60}\mathrm{h}=0,75\mathrm{h}$$

Και τέλος η μάζα. Το γραμμάριο είναι το ένα χιλιοστό του χιλιογράμμου, άρα τα 350 g είναι

$$350\mathrm{g}=350\cdot \mathrm{0,001}\mathrm{kg}=0,35\mathrm{kg}.$$

Στον χρόνο γίνονται συχνά λάθη. Πόσο είναι 1,5 h; Η πρώτη απάντηση που έρχεται στο μυαλό είναι «μία ώρα και πενήντα». Η ώρα όμως έχει εξήντα λεπτά, όχι εκατό. Μισή ώρα είναι

$$0,5\mathrm{h}=0,5\cdot 60\min =30\min ,$$

άρα τα 1,5 h είναι μία ώρα και τριάντα λεπτά. Το ίδιο ισχύει και αντίστροφα: μία ώρα και είκοσι λεπτά δεν είναι 1,2 h, αλλά

$$1\mathrm{h}+20\min =1\mathrm{h}+\frac{20}{60}\mathrm{h}\approx 1,33\mathrm{h}.$$

Χιλιόμετρα ανά ώρα και μέτρα ανά δευτερόλεπτο

Το κοντέρ στο αυτοκίνητο δείχνει χιλιόμετρα ανά ώρα, στη φυσική όμως υπολογίζουμε σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο. Θα μετατρέψουμε όπως πριν, παίρνοντας τη μονάδα σαν αριθμό. Το χιλιόμετρο είναι 1.000 m και η ώρα 3.600 s:

$$1\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{1\mathrm{km}}{1\mathrm{h}}=\frac{1.000\mathrm{m}}{3.600\mathrm{s}}$$

Το κλάσμα $\frac{1.000}{3.600}$ το απλοποιούμε με το χίλια, βρίσκουμε $\frac{1}{3,6}$, και άρα

$$1\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{1}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 0,28\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Από αυτό προκύπτει ο κανόνας: από km/h σε m/s διαιρούμε με το 3,6. Ένα αυτοκίνητο που κινείται με 90 km/h έχει ταχύτητα

$$90\mathrm{km}/\mathrm{h}=90\cdot \frac{1}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=\frac{90}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=25\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Κάθε δευτερόλεπτο διανύει 25 m. Προς την αντίθετη κατεύθυνση, από m/s σε km/h, πολλαπλασιάζουμε με το 3,6:

$$25\mathrm{m}/\mathrm{s}=25\cdot 3,6\mathrm{km}/\mathrm{h}=90\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Γιατί ένα μέτρο ανά δευτερόλεπτο είναι 3,6 km/h; Το μέτρο είναι το ένα χιλιοστό του χιλιομέτρου και το δευτερόλεπτο είναι $\frac{1}{3.600}$ της ώρας:

$$\begin{array}{rl}1\mathrm{m}/\mathrm{s}& =\frac{\mathrm{0,001}\mathrm{km}}{\frac{1}{3.600}\mathrm{h}}\\ & =\mathrm{0,001}\cdot 3.600\mathrm{km}/\mathrm{h}=3,6\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Το τυπικό λάθος είναι να μπερδέψεις την κατεύθυνση και να πολλαπλασιάσεις εκεί που πρέπει να διαιρέσεις. Τότε βγαίνει ότι το αυτοκίνητο κινείται με 324 m/s, που πλησιάζει την ταχύτητα του ήχου. Βοηθάει να σκεφτείς ότι το μέτρο ανά δευτερόλεπτο είναι μεγαλύτερη μονάδα από το χιλιόμετρο ανά ώρα. Για την ίδια ταχύτητα χρειάζονται επομένως λιγότερες τέτοιες μονάδες, και ο αριθμός σε m/s είναι πάντα μικρότερος από τον αριθμό σε km/h.

Για καλύτερη εικόνα, δύο ακόμη παραδείγματα. Ένας πεζός περπατά με ταχύτητα

$$5\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{5}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 1,4\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

άρα σε ένα δευτερόλεπτο διανύει λίγο λιγότερο από ενάμισι μέτρο. Ένα αυτοκίνητο στον αυτοκινητόδρομο κινείται με 130 km/h, δηλαδή

$$130\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{130}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 36,1\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Όποιος στον αυτοκινητόδρομο κοιτάξει για δύο δευτερόλεπτα το κινητό, διανύει στα τυφλά πάνω από 70 m.

Αριθμομηχανή

Γράψε την ταχύτητα σε χιλιόμετρα ανά ώρα και η αριθμομηχανή θα τη μετατρέψει σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο.

Το ίδιο προς την αντίθετη κατεύθυνση, από μέτρα ανά δευτερόλεπτο σε χιλιόμετρα ανά ώρα:

Σε ορισμένα μεγέθη όμως δεν αρκεί ούτε ο αριθμός με τη μονάδα, χρειάζονται και κατεύθυνση. Πώς υπολογίζουμε με αυτά, το δείχνει το επόμενο άρθρο, Μονόμετρα και διανυσματικά μεγέθη.