Natuurkundige grootheden en eenheden
“Pieter legde 5 af.” Vijf wat? Vijf meter is de weg naar de koelkast en weer terug. Vijf kilometer is al een flinke wandeling. Met vijfduizend kilometer kom je met de auto van Praag tot Lissabon en nog het grootste deel van de weg terug. Een kaal getal zegt in de natuurkunde niets, er hoort een eenheid bij:
De notatie bestaat uit drie delen. Blauw is het symbool van de grootheid, hier s voor afgelegde weg. Rood is de getalswaarde 5 en groen de eenheid, de kilometer. De getalswaarde geeft aan hoe vaak de eenheid in de grootheid past. Vijf kilometer is vijf keer één kilometer:
Natuurkundeboeken hebben voor beide delen een verkorte notatie, die je onderaan de afbeelding ziet. Accolades om het symbool staan voor de getalswaarde, rechte haken voor de eenheid: {s} = 5 en [s] = km.
Bij snelheid is het net zo. De zin “hij reed met een snelheid van 5” kan 5 km/h betekenen, dat is gewoon wandelen, of 5 m/s, en dat is al flink hardlopen. Zonder eenheid weet je niet of Pieter een wandeling maakte of rende voor de bus.
Wat is een natuurkundige grootheid
Een natuurkundige grootheid is een eigenschap die we kunnen meten, dus vergelijken met een eenheid en uitdrukken in een getal. De lengte van een tafel is een grootheid, net als de tijd die het kost om een ei te koken, de massa van een tas boodschappen of de temperatuur van het water in een pan. Schoonheid is daarentegen geen grootheid. Er bestaat geen apparaat dat schoonheid meet, en ook geen eenheid waarin je haar uitdrukt. De zin “deze foto heeft zeven schoonheden” slaat nergens op.
Bij elke grootheid hoort een symbool, meestal één letter. De afgelegde weg is s, de tijd t, de massa m en de snelheid v. De letters zijn niet zomaar gekozen, ze komen uit het Latijn: spatium is ruimte, tempus tijd, massa massa en velocitas snelheid.
Het SI-stelsel
Vroeger had elke stad haar eigen maten. De Praagse el was ongeveer 59 cm, de Weense bijna 78 cm, en wie stof kocht in Praag en verkocht in Wenen, moest rekening houden met dat verschil. Tegenwoordig houdt vrijwel de hele wereld zich aan één stelsel, het Internationale Stelsel van Eenheden SI (van het Franse Système international d'unités). Het is gebaseerd op zeven basiseenheden:
| grootheid | eenheid | symbool van de eenheid |
|---|---|---|
| lengte | meter | m |
| massa | kilogram | kg |
| tijd | seconde | s |
| elektrische stroomsterkte | ampère | A |
| thermodynamische temperatuur | kelvin | K |
| hoeveelheid stof | mol | mol |
| lichtsterkte | candela | cd |
Voor kinematica en dynamica hebben we genoeg aan de eerste drie: meter, kilogram en seconde.
Hoe groot is een meter? De meter ontstond in het Frankrijk van de revolutie als het tienmiljoenste deel van de afstand van de noordpool tot de evenaar. Later maakte men er een staaf van een legering van platina en iridium voor, en de meter was de afstand tussen twee streepjes op die staaf. Tegenwoordig leggen we de meter vast met licht: het is de afstand die licht in vacuüm aflegt in
De kilogram was oorspronkelijk de massa van één liter water. Meer dan honderd jaar lang werd de grootte ervan bepaald door een cilinder van een legering van platina en iridium, even hoog als breed, 39 mm, die in een kluis bij Parijs lag. Bij vergelijking met nauwkeurige kopieën bleek dat ze onderling een heel klein beetje van elkaar afweken. Sinds 2019 wordt de kilogram daarom vastgelegd door een natuurconstante en kun je hem in principe in elk laboratorium met de juiste apparatuur exact reproduceren, zonder vergelijking met de cilinder in Parijs.
De seconde was lang het 86 400ste deel van een dag, want een dag heeft 24 · 60 · 60 = 86 400 seconden. De aarde draait echter niet helemaal regelmatig, daarom meten tegenwoordig atoomklokken de seconde.
Afgeleide eenheden
Alle andere eenheden zijn opgebouwd uit de basiseenheden. Snelheid is de afstand die in een bepaalde tijd wordt afgelegd, dus we berekenen haar als de afstand gedeeld door de tijd:
Als we de afstand in meter meten en de tijd in seconden, kunnen we net als bij de grootheden ook hun eenheden delen:
De eenheid van snelheid is meter per seconde. Zulke eenheden noemen we afgeleid. Daartoe behoren bijvoorbeeld de vierkante meter m2 voor oppervlakte, de kubieke meter m3 voor inhoud en meter per seconde in het kwadraat m/s2 voor versnelling. Wat er precies achter die “seconde in het kwadraat” schuilgaat, laten we zien bij versnelling.
Sommige afgeleide eenheden hebben een eigen naam, meestal naar een beroemde natuurkundige. De eenheid van kracht is de newton N, genoemd naar Isaac Newton. Voorlopig volstaat het te weten dat je hem met basiseenheden kunt uitdrukken:
Waarom het precies zo is, leggen we uit in het artikel over kracht.
Kilometer per uur, minuut, uur, liter en ton horen niet bij het SI-stelsel, maar ze mogen gebruikt worden, omdat ze in het dagelijks leven zo ingeburgerd zijn. Bij natuurkundige berekeningen reken je ze meestal eerst om naar basiseenheden. Hoe dat werkt, laten we straks zien.
Tienmachten
In de natuurkunde kom je vaak zeer grote en zeer kleine getallen tegen. De zon staat ongeveer 150 000 000 km van de aarde, dus 150 000 000 000 m. Schrijven en rekenen met al die nullen is vervelend en er raakt er zo een kwijt. Zulke getallen schrijven we daarom als tienmacht.
De macht 103 betekent dat we drie tienen met elkaar vermenigvuldigen:
De exponent, het kleine getal boven, geeft aan hoeveel nullen het resultaat heeft. 106 is een één met zes nullen, een miljoen. Als we de exponent met één verkleinen, delen we het resultaat door tien. Gaan we daarmee door onder nul, dan krijgen we
Een negatieve exponent betekent dus geen negatief getal, maar een breuk:
De afstand tot de zon schrijven we nu op door voor de tienmacht een getal tussen één en tien te zetten:
De zon staat ongeveer 1,5 · 1011 m van de aarde. De exponent bepaal je door te kijken hoeveel plaatsen we de komma moeten verschuiven om van 1,5 het getal 150 000 000 000 te maken. Dat zijn elf plaatsen naar rechts.
Bij kleine getallen is het omgekeerd. Een menselijke haar is ongeveer 0,07 mm dik, dus 0,00007 m. Om van de zeven 0,00007 te maken, moeten we de komma vijf plaatsen naar links verschuiven, en de exponent is daarom negatief:
Meer over rekenen met machten vind je in het artikel Machten en wortels en een getal omzetten naar zo'n vorm doet de rekenmachine voor wetenschappelijke notatie.
Voorvoegsels bij eenheden
Een voorvoegsel voor de eenheid kan een tienmacht vervangen. Kilo betekent duizend, dus een kilometer is duizend meter en 3 · 103 m = 3 km. De meestgebruikte staan in de tabel:
| voorvoegsel | symbool | factor | voorbeeld |
|---|---|---|---|
| giga | G | 109 = 1 000 000 000 | GW |
| mega | M | 106 = 1 000 000 | MW |
| kilo | k | 103 = 1000 | km, kg |
| deci | d | 10−1 = 0,1 | dm |
| centi | c | 10−2 = 0,01 | cm |
| milli | m | 10−3 = 0,001 | mm, mg |
| micro | µ | 10−6 = 0,000001 | µm |
Een grote kerncentrale heeft een vermogen van ongeveer 2 GW, dus 2 · 109 W. Een haar van 7 · 10−5 m dik is hetzelfde als 70 µm, want 7 · 10−5 = 70 · 10−6.
De kilogram is een uitzondering, want het voorvoegsel zit er al in. Andere voorvoegsels worden daarom bij de gram gezet: een duizendste gram is een milligram, niemand zegt microkilogram.
Let ook op hoofdletters en kleine letters. Kleine m is milli, hoofdletter M is mega, en het verschil daartussen is een factor een miljard. Een laserpen heeft een vermogen van ongeveer 1 mW. Wie in plaats daarvan 1 MW opschrijft, heeft er een windturbine van gemaakt.
Eenheden omrekenen
Omrekenen lukt ook zonder te onthouden in welke richting je vermenigvuldigt en in welke je deelt. Behandel de eenheid gewoon als een getal, waarvoor je invult hoeveel het in de nieuwe eenheid is. Hoeveel meter is 2,5 km? Eén kilometer is duizend meter, dus voor kilometer vullen we 1000 m in:
Tijd reken je op dezelfde manier om. Hoeveel uur is 45 min? Een minuut is een zestigste uur:
En tot slot massa. Een gram is een duizendste kilogram, dus 350 g is
Bij tijd maken mensen vaak fouten. Hoeveel is 1,5 h? Het antwoord “een uur en vijftig minuten” ligt voor de hand. Maar een uur heeft zestig minuten, geen honderd. Een half uur is
dus 1,5 h is een uur en dertig minuten. Hetzelfde geldt andersom: een uur en twintig minuten is niet 1,2 h, maar
Kilometer per uur en meter per seconde
De snelheidsmeter in de auto geeft kilometer per uur aan, maar in de natuurkunde reken je in meter per seconde. We rekenen om zoals zojuist, de eenheid behandelen we als een getal. Een kilometer is 1000 m en een uur 3600 s:
De breuk
Hieruit volgt de hele regel: van km/h naar m/s delen we door 3,6. Een auto die 90 km/h rijdt, rijdt met een snelheid van
Elke seconde legt hij 25 m af. In de andere richting, van m/s naar km/h, vermenigvuldigen we met 3,6:
Waarom is één meter per seconde 3,6 km/h? Een meter is een duizendste kilometer en een seconde is
Een typische fout is de richting verwisselen en vermenigvuldigen waar je moet delen. Dan komt eruit dat de auto 324 m/s rijdt, bijna de snelheid van het geluid. Het helpt om te bedenken dat meter per seconde een grotere eenheid is dan kilometer per uur. Voor dezelfde snelheid heb je er dus minder van nodig, en het getal in m/s is altijd kleiner dan het getal in km/h.
Voor een beter beeld nog twee voorbeelden. Een voetganger loopt met een snelheid van
dus per seconde legt hij nog geen anderhalve meter af. Een auto op de snelweg rijdt 130 km/h, dus
Wie op de snelweg twee seconden naar zijn telefoon kijkt, legt blind meer dan 70 m af.
Rekenmachine
Voer een snelheid in kilometer per uur in en de rekenmachine rekent haar om naar meter per seconde.
Hetzelfde in de andere richting, van meter per seconde naar kilometer per uur:
Voor sommige grootheden is een getal met een eenheid niet genoeg, ze hebben ook een richting nodig. Hoe je daarmee rekent, laat het volgende artikel zien, Scalaire en vectoriële grootheden.
