Mărimi fizice și unități de măsură

„Mihai a parcurs 5.” Cinci ce? Cinci metri înseamnă drumul până la frigider și înapoi. Cinci kilometri înseamnă deja o plimbare serioasă. Cinci mii de kilometri ar ajunge cu mașina de la București până la Lisabona și încă jumătate din drumul înapoi. În fizică, un număr singur nu spune nimic, el trebuie însoțit de o unitate de măsură:

$$s=5\mathrm{km}$$

Scrierea are trei părți. Cu albastru este simbolul mărimii, aici s pentru distanța parcursă. Cu roșu este valoarea numerică 5, iar cu verde unitatea de măsură, kilometrul. Valoarea numerică arată de câte ori încape unitatea în mărime. Cinci kilometri înseamnă de cinci ori un kilometru:

$$s=5\cdot 1\mathrm{km}$$

Manualele de fizică au pentru ambele părți o scriere prescurtată, pe care o vezi jos în figură. Acoladele din jurul simbolului înseamnă valoarea numerică, parantezele drepte înseamnă unitatea de măsură: {s} = 5 și [s] = km.

Cu viteza este la fel. Propoziția „a mers cu viteza 5” poate însemna 5 km/h, adică o simplă plimbare pe jos, sau 5 m/s, iar asta este deja o alergare vioaie. Fără unitate de măsură nu poți ști dacă Mihai s-a plimbat sau a fugit după autobuz.

Ce este o mărime fizică

Mărimea fizică este o proprietate pe care o putem măsura, adică o putem compara cu o unitate de măsură și o putem exprima printr-un număr. Mărimi sunt, de exemplu, lungimea unei mese, timpul în care fierbe un ou, masa unei sacoșe cu cumpărături sau temperatura apei din oală. Frumusețea, în schimb, nu este o mărime. Nu există niciun aparat care s-o măsoare și nicio unitate în care s-ar exprima. Propoziția „fotografia asta are șapte frumuseți” nu are sens.

Fiecare mărime are un simbol, de obicei o singură literă. Distanța parcursă este s, timpul t, masa m și viteza v. Literele nu sunt alese la întâmplare, ele vin din latină: spatium înseamnă spațiu, tempus timp, massa masă și velocitas viteză.

Sistemul SI

Odinioară fiecare oraș măsura în felul lui. Cotul de la Praga avea cam 59 cm, cel de la Viena aproape 78 cm, iar cine cumpăra stofă la Praga și o vindea la Viena trebuia să țină cont de diferență. Astăzi aproape toată lumea folosește un singur sistem, Sistemul Internațional de Unități SI (din franceză Système international d'unités). El se sprijină pe șapte unități fundamentale:

În cinematică și dinamică ne ajung primele trei: metrul, kilogramul și secunda.

Cât de mare este metrul? S-a născut în Franța revoluționară ca a zecea milionime din distanța de la Polul Nord la Ecuator. Mai târziu, după el s-a făcut o bară dintr-un aliaj de platină și iridiu, iar metrul era distanța dintre două liniuțe de pe ea. Astăzi metrul se definește cu ajutorul luminii: este distanța pe care o parcurge lumina în vid în $\frac{1}{299.792.458}\mathrm{s}$.

Kilogramul a fost la început masa unui litru de apă. Apoi, timp de peste o sută de ani, mărimea lui a fost stabilită de un cilindru din aliaj de platină și iridiu, înalt și lat de 39 mm, păstrat într-un seif lângă Paris. Când a fost comparat cu copiile exacte, s-a descoperit că se abăteau ușor unele de altele. De aceea, din 2019 kilogramul este definit printr-o constantă a naturii și, în principiu, poate fi reconstituit exact în orice laborator cu echipamentul necesar, fără comparație cu cilindrul de la Paris.

Secunda a fost multă vreme a 86 400-a parte dintr-o zi, pentru că o zi are 24 · 60 · 60 = 86.400 de secunde. Pământul nu se rotește însă perfect regulat, așa că astăzi secunda este măsurată de ceasuri atomice.

Unități derivate

Toate celelalte unități se compun din cele fundamentale. Viteza este distanța parcursă într-un anumit timp, deci o calculăm ca distanța împărțită la timp:

$$v=\frac{s}{t}$$

Dacă măsurăm distanța în metri și timpul în secunde, putem împărți, la fel ca mărimile, și unitățile lor:

$$[v]=\frac{[s]}{[t]}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Unitatea de măsură a vitezei este metrul pe secundă. Unităților de felul acesta le spunem derivate. Din ele fac parte, de exemplu, metrul pătrat m² pentru arie, metrul cub m³ pentru volum sau metrul pe secundă la pătrat m/s² pentru accelerație. Ce se ascunde exact în spatele acelei „secunde la pătrat” vom arăta la accelerație.

Unele unități derivate au un nume al lor, de cele mai multe ori după un fizician celebru. Unitatea de măsură a forței este newtonul N, numit după Isaac Newton. Deocamdată e de ajuns să știi că se poate exprima prin unitățile fundamentale:

$$\mathrm{N}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

De ce tocmai așa, vom explica în articolul despre forță.

Kilometrul pe oră, minutul, ora, litrul sau tona nu aparțin sistemului SI, dar au voie să fie folosite, pentru că sunt înrădăcinate în viața de zi cu zi. În calculele de fizică, însă, de obicei le transformăm mai întâi în unități fundamentale. Cum se face, vom arăta puțin mai departe.

Puterile lui zece

În fizică întâlnim des numere foarte mari și foarte mici. Soarele se află la aproximativ 150.000.000 km de Pământ, adică 150.000.000.000 m. Să scrii și să calculezi cu toate zerourile acelea e o corvoadă și se pierde ușor câte unul. De aceea astfel de numere se scriu cu puteri ale lui zece.

Puterea 10³ înseamnă că înmulțim între ei trei factori egali cu zece:

$${10}^3=10\cdot 10\cdot 10=1.000$$

Exponentul, adică numărul mic de sus, arată câte zerouri are rezultatul. 10⁶ este cifra 1 urmată de șase zerouri, un milion. Când micșorăm exponentul cu unu, rezultatul se împarte la zece. Dacă continuăm așa și sub zero, obținem

$$\begin{array}{rlrlrl}{10}^2& =100,& {10}^1& =10,& {10}^0& =1,\\ {10}^{-1}& =0,1,& {10}^{-2}& =0,01,& {10}^{-3}& =\mathrm{0,001}\end{array}$$

Exponentul negativ nu înseamnă deci un număr negativ, ci o fracție: ${10}^{-3}=\frac{1}{{10}^3}=\frac{1}{1.000}$. Puterea 10⁻³ este o miime.

Distanța până la Soare o scriem acum așa încât în fața puterii lui zece să stea un număr între unu și zece:

$$\begin{array}{rl}150000000000& =1,5\cdot 100.000.000.000\\ & =1,5\cdot {10}^{11}\end{array}$$

Soarele se află la aproximativ 1,5 · 10¹¹ m de Pământ. Exponentul îl aflăm după câte locuri trebuie să mutăm virgula zecimală ca din 1,5 să iasă 150.000.000.000. Sunt unsprezece locuri spre dreapta.

Cu numerele mici este invers. Un fir de păr omenesc are grosimea de aproximativ 0,07 mm, adică 0,00007 m. Ca din șapte să iasă 0,00007, trebuie să mutăm virgula cinci locuri spre stânga, iar exponentul este de aceea negativ:

$$\mathrm{0,000}07\mathrm{m}=7\cdot {10}^{-5}\mathrm{m}.$$

Mai multe despre calculul cu puteri găsești în articolul Puteri și radicali, iar transformarea unui număr într-o astfel de formă o face calculatorul pentru notația științifică.

Prefixele unităților

Puterea lui zece poate fi înlocuită de un prefix pus în fața unității. Kilo înseamnă o mie, deci kilometrul este o mie de metri și 3 · 10³ m = 3 km. Cele mai folosite sunt rezumate în tabel:

O centrală nucleară mare are o putere de aproximativ 2 GW, adică 2 · 10⁹ W. Un fir de păr gros de 7 · 10⁻⁵ m este același lucru cu 70 µm, pentru că 7 · 10⁻⁵ = 70 · 10⁻⁶.

Kilogramul este o excepție, are prefixul deja în el. De aceea celelalte prefixe se adaugă la gram: a mia parte dintr-un gram este miligramul, nimeni nu spune microkilogram.

Fii atent și la literele mari și mici. m mic este mili, M mare este mega, iar diferența dintre ele este de un miliard de ori. Un indicator laser luminează cu o putere de aproximativ 1 mW. Cine scrie în loc de asta 1 MW a făcut din el o centrală eoliană.

Transformarea unităților

Transformările se pot face și fără să memorezi în ce sens se înmulțește și în ce sens se împarte. E de ajuns să tratezi unitatea ca pe un număr, în locul căruia pui cât înseamnă ea în noua unitate. Câți metri sunt 2,5 km? Un kilometru este o mie de metri, deci în locul kilometrului punem 1.000 m:

$$2,5\mathrm{km}=2,5\cdot 1\mathrm{km}=2,5\cdot 1.000\mathrm{m}=2.500\mathrm{m}$$

Timpul se transformă la fel. Câte ore sunt 45 min? Minutul este a șaizecea parte dintr-o oră:

$$45\min =45\cdot \frac{1}{60}\mathrm{h}=\frac{45}{60}\mathrm{h}=0,75\mathrm{h}$$

Și, în sfârșit, masa. Gramul este a mia parte dintr-un kilogram, deci 350 g este

$$350\mathrm{g}=350\cdot \mathrm{0,001}\mathrm{kg}=0,35\mathrm{kg}.$$

La timp se greșește des. Cât sunt 1,5 h? Îți vine imediat în minte răspunsul „o oră și cincizeci”. Ora are însă șaizeci de minute, nu o sută. Jumătate de oră este

$$0,5\mathrm{h}=0,5\cdot 60\min =30\min ,$$

deci 1,5 h înseamnă o oră și treizeci de minute. Același lucru e valabil și invers: o oră și douăzeci de minute nu înseamnă 1,2 h, ci

$$1\mathrm{h}+20\min =1\mathrm{h}+\frac{20}{60}\mathrm{h}\approx 1,33\mathrm{h}.$$

Kilometri pe oră și metri pe secundă

Vitezometrul din mașină arată kilometri pe oră, dar în fizică se calculează în metri pe secundă. Vom transforma ca adineauri, tratând unitatea ca pe un număr. Kilometrul este 1.000 m, iar ora 3.600 s:

$$1\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{1\mathrm{km}}{1\mathrm{h}}=\frac{1.000\mathrm{m}}{3.600\mathrm{s}}$$

Fracția $\frac{1.000}{3.600}$ o simplificăm cu o mie, obținem $\frac{1}{3,6}$, deci

$$1\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{1}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 0,28\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

De aici rezultă toată regula: din km/h în m/s împărțim la numărul 3,6. O mașină care merge cu 90 km/h are viteza

$$90\mathrm{km}/\mathrm{h}=90\cdot \frac{1}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=\frac{90}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=25\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

În fiecare secundă parcurge 25 m. În sens invers, din m/s în km/h, înmulțim cu 3,6:

$$25\mathrm{m}/\mathrm{s}=25\cdot 3,6\mathrm{km}/\mathrm{h}=90\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

De ce un metru pe secundă înseamnă 3,6 km/h? Metrul este a mia parte dintr-un kilometru, iar secunda este $\frac{1}{3.600}$ dintr-o oră:

$$\begin{array}{rl}1\mathrm{m}/\mathrm{s}& =\frac{\mathrm{0,001}\mathrm{km}}{\frac{1}{3.600}\mathrm{h}}\\ & =\mathrm{0,001}\cdot 3.600\mathrm{km}/\mathrm{h}=3,6\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Greșeala tipică este să încurci sensul și să înmulțești acolo unde trebuie împărțit. Atunci iese că mașina merge cu 324 m/s, ceea ce se apropie de viteza sunetului. Te ajută să-ți amintești că metrul pe secundă este o unitate mai mare decât kilometrul pe oră. Pentru aceeași viteză îi ajunge deci un număr mai mic, iar numărul în m/s este întotdeauna mai mic decât numărul în km/h.

Pentru o imagine mai bună, încă două exemple. Un pieton merge cu viteza

$$5\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{5}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 1,4\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

deci într-o secundă parcurge puțin sub un metru și jumătate. O mașină pe autostradă merge cu 130 km/h, adică

$$130\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{130}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 36,1\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Cine se uită două secunde în telefon pe autostradă parcurge orbește peste 70 m.

Calculator

Introdu viteza în kilometri pe oră, iar calculatorul o transformă în metri pe secundă.

La fel, în sens invers, din metri pe secundă în kilometri pe oră:

Unor mărimi nu le ajunge însă nici numărul cu unitatea, ele au nevoie și de o direcție. Cum se calculează cu ele, arată articolul următor, Mărimi scalare și vectoriale.