Fizikai mennyiségek és mértékegységek

„Péter megtett 5-öt.” Öt micsodát? Öt méter az út a hűtőig és vissza. Öt kilométer már kellemes séta. Ötezer kilométer autóval elég lenne Budapestről Lisszabonba, és még a visszaút nagy részére is. A puszta szám a fizikában nem mond semmit, hozzá tartozik a mértékegység:

$$s=5\mathrm{km}$$

A felírás három részből áll. Kékkel a mennyiség jele látszik, itt az s, az út. Pirossal az 5 számérték, zölddel a mértékegység, a kilométer. A számérték azt mutatja meg, hányszor van meg a mértékegység a mennyiségben. Öt kilométer ötször egy kilométer:

$$s=5\cdot 1\mathrm{km}$$

A fizikakönyvek mindkét részre rövidített jelölést használnak, ezt látod lent az ábrán. A jel körüli kapcsos zárójel a számértéket, a szögletes a mértékegységet jelenti: {s} = 5 és [s] = km.

A sebességgel ugyanez a helyzet. Az „5-ös sebességgel ment” mondat jelenthet 5 km/h sebességet, ami egyszerű gyaloglás, vagy 5 m/s sebességet, és az már gyors futás. Mértékegység nélkül nem tudod eldönteni, hogy Péter sétálni ment, vagy a buszhoz rohant.

Mi a fizikai mennyiség

A fizikai mennyiség olyan tulajdonság, amelyet meg tudunk mérni, vagyis össze tudunk hasonlítani egy mértékegységgel, és számmal ki tudunk fejezni. Mennyiség például az asztal hossza, az az idő, amíg a tojás megfő, a bevásárlótáska tömege vagy a víz hőmérséklete a fazékban. A szépség ezzel szemben nem mennyiség. Nincs olyan műszer, amely megmérné, és nincs olyan mértékegység sem, amelyben megadnák. Az „ennek a fotónak hét szépsége van” mondatnak nincs értelme.

Minden mennyiséghez tartozik egy jel, többnyire egyetlen betű. Az út jele s, az időé t, a tömegé m, a sebességé v. A betűket nem találomra választották, a latinból származnak: a spatium tér, a tempus idő, a massa tömeg, a velocitas pedig sebesség.

Az SI-rendszer

Régen minden város a maga módján mért. A prágai rőf körülbelül 59 cm, a bécsi majdnem 78 cm volt, és aki Prágában vett szövetet, és Bécsben adta tovább, számolhatott a különbséggel. Ma szinte az egész világ egyetlen rendszert használ, a Nemzetközi Mértékegység-rendszert, az SI-t (a francia Système international d'unités névből). Hét alapegységre épül:

A kinematikában és a dinamikában az első három elég: a méter, a kilogramm és a másodperc.

Mekkora a méter? A forradalmi Franciaországban úgy született, mint az Északi-sarktól az egyenlítőig tartó távolság tízmilliomod része. Később erről platina–irídium ötvözetből rudat készítettek, és a méter a rúdon lévő két vonás távolsága lett. Ma a méter fénnyel van meghatározva: ez az a távolság, amelyet a fény légüres térben $\frac{1}{299792458}\mathrm{s}$ alatt megtesz.

A kilogramm eredetileg egy liter víz tömege volt. Aztán több mint száz évig egy platina–irídium ötvözetből készült henger határozta meg a nagyságát. A henger magassága és átmérője egyaránt 39 mm, és Párizs mellett egy páncélszekrényben őrizték. A pontos másolatokkal való összehasonlításkor kiderült, hogy kissé eltérnek egymástól. 2019 óta ezért a kilogrammot egy természeti állandó határozza meg, és elvben bármelyik megfelelően felszerelt laboratóriumban pontosan rekonstruálható, a párizsi hengerrel való összehasonlítás nélkül.

A másodperc sokáig a nap nyolcvanhatezred része volt, mert egy napban 24 · 60 · 60 = 86 400 másodperc van. A Föld azonban nem forog teljesen egyenletesen, ezért ma a másodpercet atomórák mérik.

Származtatott mértékegységek

Az összes többi mértékegység az alapegységekből áll össze. A sebesség az adott idő alatt megtett út, így az utat osztjuk az idővel:

$$v=\frac{s}{t}$$

Ha az utat méterben, az időt másodpercben mérjük, a mennyiségekhez hasonlóan a mértékegységeiket is elosztjuk:

$$[v]=\frac{[s]}{[t]}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

A sebesség mértékegysége a méter per másodperc. Az ilyen mértékegységeket származtatottnak nevezzük. Ilyen például a négyzetméter m² a területre, a köbméter m³ a térfogatra vagy a méter per másodperc a négyzeten m/s² a gyorsulásra. Hogy mi rejlik pontosan a „másodperc négyzeten” mögött, a gyorsulásnál mutatjuk meg.

Néhány származtatott mértékegységnek saját neve van, többnyire egy híres fizikus után. Az erő mértékegysége a newton N, Isaac Newtonról kapta a nevét. Egyelőre elég annyit tudni, hogy kifejezhető alapegységekkel:

$$\mathrm{N}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Hogy miért éppen így, az erőről szóló cikkben magyarázzuk el.

A kilométer per óra, a perc, az óra, a liter vagy a tonna nem tartozik az SI-rendszerbe, de használni szabad őket, mert a mindennapokban elterjedtek. A fizikai számításokban azonban többnyire először alapegységekre váltjuk át őket. Hogyan, azt kicsit lejjebb mutatjuk meg.

A tíz hatványai

A fizikában gyakran találkozunk nagyon nagy és nagyon kicsi számokkal. A Nap a Földtől körülbelül 150 000 000 km távolságra van, vagyis 150 000 000 000 m távolságra. Ennyi nullával írni és számolni kellemetlen, és könnyen elvész egy. Az ilyen számokat ezért a tíz hatványaival írjuk fel.

A 10³ hatvány azt jelenti, hogy három tízest szorzunk össze:

$${10}^3=10\cdot 10\cdot 10=1000$$

A kitevő, vagyis a fenn lévő kis szám megmondja, hány nulla van az eredményben. A 10⁶ egy egyes és hat nulla, egymillió. Ha a kitevőt eggyel csökkentjük, az eredményt elosztjuk tízzel. Ha ezt a nulla alatt is folytatjuk, azt kapjuk, hogy

$$\begin{array}{rlrlrl}{10}^2& =100,& {10}^1& =10,& {10}^0& =1,\\ {10}^{-1}& =0,1,& {10}^{-2}& =0,01,& {10}^{-3}& =\mathrm{0,001}\end{array}$$

A negatív kitevő tehát nem negatív számot jelent, hanem törtet: ${10}^{-3}=\frac{1}{{10}^3}=\frac{1}{1000}$. A 10⁻³ hatvány egyezred.

A Nap távolságát most úgy írjuk fel, hogy a tíz hatványa elé egy egy és tíz közötti számot teszünk:

$$150000000000=1,5\cdot 100000000000=1,5\cdot {10}^{11}$$

A Nap a Földtől körülbelül 1,5 · 10¹¹ m távolságra van. A kitevőt aszerint határozzuk meg, hány helyiértékkel kell a tizedesvesszőt eltolni, hogy az 1,5-ből 150 000 000 000 legyen. Tizenegy hellyel jobbra.

A kis számokkal fordítva megy. Az emberi hajszál vastagsága körülbelül 0,07 mm, azaz 0,00007 m. Hogy a hétből 0,00007 legyen, a vesszőt öt hellyel balra kell tolni, ezért a kitevő negatív:

$$\mathrm{0,000}07\mathrm{m}=7\cdot {10}^{-5}\mathrm{m}.$$

A hatványokkal való számolásról többet olvashatsz a Hatványok cikkben, a szám ilyen alakra hozását pedig elvégzi a normálalak-számológép.

A mértékegységek előtagjai

A tíz hatványát helyettesítheti a mértékegység előtti előtag. A kilo ezret jelent, így a kilométer ezer méter, és 3 · 10³ m = 3 km. A leggyakrabban használtakat a táblázat foglalja össze:

A paksi atomerőmű teljesítménye nagyjából 2 GW, vagyis 2 · 10⁹ W. A 7 · 10⁻⁵ m vastag hajszál ugyanaz, mint 70 µm, mert 7 · 10⁻⁵ = 70 · 10⁻⁶.

A kilogramm kivétel, mert az előtag már benne van. A további előtagokat ezért a grammhoz tesszük: a gramm ezredrésze a milligramm, mikrokilogrammot senki sem mond.

Figyelj a kis- és nagybetűkre is. A kis m milli, a nagy M mega, és a kettő között milliárdszoros a különbség. A lézermutató teljesítménye körülbelül 1 mW. Aki ehelyett azt írja, hogy 1 MW, szélerőművet csinált belőle.

Mértékegységek átváltása

Az átváltáshoz nem kell fejben tartani, melyik irányban kell szorozni és melyikben osztani. Elég a mértékegységet számként kezelni, amelybe behelyettesítjük, mennyi az új mértékegységben. Hány méter 2,5 km? Egy kilométer ezer méter, tehát a kilométer helyére 1000 m kerül:

$$2,5\mathrm{km}=2,5\cdot 1\mathrm{km}=2,5\cdot 1000\mathrm{m}=2500\mathrm{m}$$

Az idő átváltása hasonló. Hány óra 45 min? A perc az óra hatvanad része:

$$45\min =45\cdot \frac{1}{60}\mathrm{h}=\frac{45}{60}\mathrm{h}=0,75\mathrm{h}$$

Végül a tömeg. A gramm a kilogramm ezred része, így 350 g ennyi:

$$350\mathrm{g}=350\cdot \mathrm{0,001}\mathrm{kg}=0,35\mathrm{kg}.$$

Az időnél gyakran hibáznak az emberek. Mennyi 1,5 h? Rögtön kínálkozik a válasz: „egy óra ötven perc”. Az órának azonban hatvan perce van, nem száz. A fél óra

$$0,5\mathrm{h}=0,5\cdot 60\min =30\min ,$$

tehát 1,5 h egy óra harminc perc. Ugyanez fordítva is igaz: az egy óra húsz perc nem 1,2 h, hanem

$$1\mathrm{h}+20\min =1\mathrm{h}+\frac{20}{60}\mathrm{h}\approx 1,33\mathrm{h}.$$

Kilométer per óra és méter per másodperc

Az autó sebességmérője kilométer per órát mutat, a fizikában viszont méter per másodpercben számolunk. Úgy váltunk át, mint az előbb, a mértékegységet számként kezeljük. A kilométer 1000 m, az óra pedig 3600 s:

$$1\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{1\mathrm{km}}{1\mathrm{h}}=\frac{1000\mathrm{m}}{3600\mathrm{s}}$$

Az $\frac{1000}{3600}$ törtet ezerrel egyszerűsítjük, így $\frac{1}{3,6}$ adódik, tehát

$$1\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{1}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 0,28\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Ebből következik az egész szabály: ha km/h értéket váltunk m/s értékre, 3,6-tal osztunk. Az az autó, amely 90 km/h sebességgel megy, ekkora sebességgel halad:

$$90\mathrm{km}/\mathrm{h}=90\cdot \frac{1}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=\frac{90}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=25\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Minden másodpercben 25 m utat tesz meg. Fordított irányban, ha m/s értéket váltunk km/h értékre, 3,6-tal szorzunk:

$$25\mathrm{m}/\mathrm{s}=25\cdot 3,6\mathrm{km}/\mathrm{h}=90\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Miért 3,6 km/h az egy méter per másodperc? A méter a kilométer ezred része, a másodperc pedig az óra $\frac{1}{3600}$ része:

$$\begin{array}{rl}1\mathrm{m}/\mathrm{s}& =\frac{\mathrm{0,001}\mathrm{km}}{\frac{1}{3600}\mathrm{h}}\\ & =\mathrm{0,001}\cdot 3600\mathrm{km}/\mathrm{h}=3,6\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Tipikus hiba az irány összekeverése, vagyis szorzás ott, ahol osztani kell. Akkor azt kapod, hogy az autó 324 m/s sebességgel megy, ami már a hangsebesség közelében van. Segít, ha észben tartod, hogy a méter per másodperc nagyobb mértékegység, mint a kilométer per óra. Ugyanahhoz a sebességhez ezért kevesebb kell belőle, így az m/s mértékegységben kapott szám mindig kisebb, mint a km/h mértékegységben kapott.

A jobb szemléltetésért még két példa. A gyalogos sebessége

$$5\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{5}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 1,4\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

másodpercenként tehát nem egészen másfél métert tesz meg. Az autópályán az autó 130 km/h sebességgel megy, vagyis

$$130\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{130}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 36,1\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Aki az autópályán két másodpercre a mobiltelefonra néz, vakon több mint 70 m utat tesz meg.

Számológép

Add meg a sebességet kilométer per órában, a számológép pedig átváltja méter per másodpercre.

Ugyanez fordított irányban, méter per másodpercről kilométer per órára:

Néhány mennyiségnek azonban a számérték és a mértékegység sem elég, irány is kell hozzájuk. Hogyan számolunk velük, azt a következő cikk mutatja meg: Skaláris és vektoriális mennyiségek.