Suureet ja yksiköt

”Eino ajoi 5.” Viisi mitä? Viisi metriä on matka jääkaapille ja takaisin. Viisi kilometriä on jo kunnon kävelylenkki. Viidellä tuhannella kilometrillä pääsisi autolla Prahasta Lissaboniin ja vielä suurimman osan matkaa takaisin. Pelkkä luku ei fysiikassa kerro mitään, sen kanssa tarvitaan yksikkö:

$$s=5\mathrm{km}$$

Merkintä koostuu kolmesta osasta. Sinisellä on suureen tunnus, tässä s eli matka. Punaisella on mittaluku 5 ja vihreällä yksikkö, kilometri. Mittaluku kertoo, montako kertaa yksikkö mahtuu suureeseen. Viisi kilometriä on viisi kertaa yksi kilometri:

$$s=5\cdot 1\mathrm{km}$$

Fysiikan oppikirjoissa kummallekin osalle on lyhyt merkintätapa, jonka näet kuvassa alhaalla. Aaltosulut tunnuksen ympärillä tarkoittavat mittalukua ja hakasulut yksikköä: {s} = 5 ja [s] = km.

Nopeuden kanssa on samoin. Lause ”meni nopeudella 5” voi tarkoittaa 5 km/h, joka on tavallista kävelyä, tai 5 m/s, ja se on jo reipasta juoksua. Ilman yksikköä et tiedä, lähtikö Eino kävelylle vai juoksiko hän bussiin.

Mikä on fysikaalinen suure

Fysikaalinen suure on ominaisuus, joka voidaan mitata, eli verrata yksikköön ja ilmaista luvulla. Suure on esimerkiksi pöydän pituus, aika, jonka kuluessa muna kypsyy, ostoskassin massa tai kattilassa olevan veden lämpötila. Kauneus sen sijaan ei ole suure. Ei ole mittaria, joka sen mittaisi, eikä yksikköä, jolla sitä ilmoitettaisiin. Lause ”tässä kuvassa on seitsemän kauneutta” ei ole mielekäs.

Jokaisella suureella on tunnus, yleensä yksi kirjain. Matka on s, aika t, massa m ja nopeus v. Kirjaimia ei ole valittu umpimähkään, ne tulevat latinasta: spatium on tila, tempus aika, massa massa ja velocitas nopeus.

SI-järjestelmä

Ennen mittasi jokainen kaupunki omalla tavallaan. Prahan kyynärä oli noin 59 cm, Wienin lähes 78 cm, ja jos osti kangasta Prahasta ja myi sitä Wienissä, piti ottaa huomioon ero. Nykyään lähes koko maailma käyttää yhtä järjestelmää, kansainvälistä yksikköjärjestelmää SI (ranskan sanoista Système international d'unités). Se perustuu seitsemään perusyksikköön:

Kinematiikassa ja dynamiikassa riittävät kolme ensimmäistä: metri, kilogramma ja sekunti.

Kuinka pitkä metri on? Se syntyi vallankumouksen aikaisessa Ranskassa kymmenesmiljoonasosana etäisyydestä pohjoisnavalta päiväntasaajalle. Myöhemmin sen mukaan valmistettiin platinan ja iridiumin seoksesta tehty sauva, ja metri oli sen kahden viivan välinen etäisyys. Nykyään metri määritetään valon avulla: se on matka, jonka valo kulkee tyhjiössä ajassa $\frac{1}{299792458}\mathrm{s}$.

Kilogramma oli alun perin yhden vesilitran massa. Yli sadan vuoden ajan sen suuruuden määritti platinan ja iridiumin seoksesta tehty lieriö, jonka korkeus ja halkaisija olivat kumpikin 39 mm ja jota säilytettiin holvissa Pariisin lähellä. Tarkkoja kopioita vertailtaessa kävi ilmi, että ne poikkeavat toisistaan hieman. Siksi kilogramman määrittää vuodesta 2019 alkaen luonnonvakio, ja periaatteessa sen voi toistaa tarkasti missä tahansa tarvittavilla laitteilla varustetussa laboratoriossa ilman vertailua pariisilaiseen lieriöön.

Sekunti oli pitkään vuorokauden 86 400. osa, koska vuorokaudessa on 24 · 60 · 60 = 86 400 sekuntia. Maa ei kuitenkaan pyöri aivan tasaisesti, joten nykyään sekunnin mittaavat atomikellot.

Johdetut yksiköt

Kaikki muut yksiköt koostuvat perusyksiköistä. Nopeus on tietyssä ajassa kuljettu matka, joten se lasketaan jakamalla matkan ajalla:

$$v=\frac{s}{t}$$

Jos matka mitataan metreinä ja aika sekunteina, myös niiden yksiköt voidaan jakaa suureiden tavoin:

$$[v]=\frac{[s]}{[t]}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Nopeuden yksikkö on metri sekunnissa. Tällaisia yksiköitä sanotaan johdetuiksi. Niihin kuuluvat esimerkiksi neliömetri m² pinta-alalle, kuutiometri m³ tilavuudelle tai metri sekunnin neliötä kohti m/s² kiihtyvyydelle. Mitä tuo ”sekunnin neliö” tarkalleen tarkoittaa, näytetään kiihtyvyyden yhteydessä.

Joillakin johdetuilla yksiköillä on oma nimi, yleensä kuuluisan fyysikon mukaan. Voiman yksikkö on newton N, joka on nimetty Isaac Newtonin mukaan. Toistaiseksi riittää tietää, että se voidaan ilmaista perusyksiköillä:

$$\mathrm{N}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Miksi juuri näin, selitetään voimaa käsittelevässä artikkelissa.

Kilometri tunnissa, minuutti, tunti, litra ja tonni eivät kuulu SI-järjestelmään, mutta niitä saa käyttää, koska ne ovat arjessa vakiintuneita. Fysikaalisissa laskuissa ne yleensä muunnetaan ensin perusyksiköiksi. Miten se tehdään, näytetään vähän myöhemmin.

Kymmenpotenssit

Fysiikassa vastaan tulee usein hyvin suuria ja hyvin pieniä lukuja. Aurinko on Maasta noin 150 000 000 km, eli 150 000 000 000 m. Kaikkien noiden nollien kirjoittaminen ja niillä laskeminen on ikävää, ja helposti yksi nolla katoaa. Siksi tällaiset luvut kirjoitetaan kymmenpotensseina.

Potenssi 10³ tarkoittaa, että kerrotaan keskenään kolme kymppiä:

$${10}^3=10\cdot 10\cdot 10=1000$$

Eksponentti eli pieni luku ylhäällä kertoo, montako nollaa tuloksessa on. 10⁶ on ykkönen ja kuusi nollaa, miljoona. Kun eksponenttia pienennetään yhdellä, tulos jaetaan kymmenellä. Jos tätä jatketaan nollan alle, saadaan

$$\begin{array}{rlrlrl}{10}^2& =100,& {10}^1& =10,& {10}^0& =1,\\ {10}^{-1}& =0,1,& {10}^{-2}& =0,01,& {10}^{-3}& =\mathrm{0,001}\end{array}$$

Negatiivinen eksponentti ei siis tarkoita negatiivista lukua vaan murtolukua: ${10}^{-3}=\frac{1}{{10}^3}=\frac{1}{1000}$. Potenssi 10⁻³ on yksi tuhannesosa.

Auringon etäisyys kirjoitetaan nyt niin, että kymmenpotenssin eteen tulee luku yhden ja kymmenen väliltä:

$$150000000000=1,5\cdot 100000000000=1,5\cdot {10}^{11}$$

Aurinko on Maasta noin 1,5 · 10¹¹ m. Eksponentti saadaan siitä, montako paikkaa desimaalipilkkua täytyy siirtää, jotta luvusta 1,5 tulee 150 000 000 000. Se on yksitoista paikkaa oikealle.

Pienten lukujen kanssa asia on päinvastoin. Ihmisen hius on noin 0,07 mm paksu, eli 0,00007 m. Jotta seitsemästä tulisi 0,00007, pilkkua täytyy siirtää viisi paikkaa vasemmalle, ja siksi eksponentti on negatiivinen:

$$\mathrm{0,000}07\mathrm{m}=7\cdot {10}^{-5}\mathrm{m}.$$

Lisää potensseilla laskemisesta löydät artikkelista Potenssit ja juuret, ja luvun muuttamisen tällaiseen muotoon hoitaa tieteellisen merkintätavan laskuri.

Yksiköiden etuliitteet

Kymmenpotenssin voi korvata yksikön edessä olevalla etuliitteellä. Kilo tarkoittaa tuhatta, joten kilometri on tuhat metriä ja 3 · 10³ m = 3 km. Yleisimmät on koottu taulukkoon:

Suuren ydinvoimalan teho on noin 2 GW, eli 2 · 10⁹ W. Hius, jonka paksuus on 7 · 10⁻⁵ m, on sama kuin 70 µm, koska 7 · 10⁻⁵ = 70 · 10⁻⁶.

Kilogramma on poikkeus, sillä siinä on etuliite jo valmiina. Muut etuliitteet liitetään siksi grammaan: gramman tuhannesosa on milligramma, kukaan ei puhu mikrokilogrammasta.

Kiinnitä huomiota myös isoihin ja pieniin kirjaimiin. Pieni m on milli, iso M on mega, ja ero niiden välillä on miljardikertainen. Laserosoittimen teho on noin 1 mW. Jos joku kirjoittaa sen tilalle 1 MW, hän on tehnyt siitä tuulivoimalan.

Yksiköiden muuntaminen

Muuntaa voi muistamatta, mihin suuntaan kerrotaan ja mihin jaetaan. Riittää, että ajattelet yksikköä lukuna, jonka tilalle sijoitat sen arvon uudessa yksikössä. Montako metriä on 2,5 km? Yksi kilometri on tuhat metriä, joten kilometrin tilalle sijoitetaan 1 000 m:

$$2,5\mathrm{km}=2,5\cdot 1\mathrm{km}=2,5\cdot 1000\mathrm{m}=2500\mathrm{m}$$

Aika muunnetaan samaan tapaan. Montako tuntia on 45 min? Minuutti on tunnin kuudeskymmenesosa:

$$45\min =45\cdot \frac{1}{60}\mathrm{h}=\frac{45}{60}\mathrm{h}=0,75\mathrm{h}$$

Ja lopuksi massa. Gramma on kilogramman tuhannesosa, joten 350 g on

$$350\mathrm{g}=350\cdot \mathrm{0,001}\mathrm{kg}=0,35\mathrm{kg}.$$

Ajan kanssa tehdään usein virheitä. Kuinka paljon on 1,5 h? Heti tarjoutuu vastaus ”tunti viisikymmentä”. Tunnissa on kuitenkin kuusikymmentä minuuttia, ei sata. Puoli tuntia on

$$0,5\mathrm{h}=0,5\cdot 60\min =30\min ,$$

joten 1,5 h on tunti ja kolmekymmentä minuuttia. Sama pätee toisinpäin: tunti ja kaksikymmentä minuuttia ei ole 1,2 h, vaan

$$1\mathrm{h}+20\min =1\mathrm{h}+\frac{20}{60}\mathrm{h}\approx 1,33\mathrm{h}.$$

Kilometriä tunnissa ja metriä sekunnissa

Auton nopeusmittari näyttää kilometriä tunnissa, mutta fysiikassa lasketaan metreinä sekunnissa. Muunnetaan kuten äsken, ja yksikköä ajatellaan lukuna. Kilometri on 1 000 m ja tunti 3 600 s:

$$1\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{1\mathrm{km}}{1\mathrm{h}}=\frac{1000\mathrm{m}}{3600\mathrm{s}}$$

Murtoluku $\frac{1000}{3600}$ supistetaan tuhannella, jolloin saadaan $\frac{1}{3,6}$, joten

$$1\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{1}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 0,28\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Tästä seuraa koko sääntö: yksiköstä km/h yksikköön m/s siirrytään jakamalla luvulla 3,6. Auto, joka ajaa nopeudella 90 km/h, kulkee nopeudella

$$90\mathrm{km}/\mathrm{h}=90\cdot \frac{1}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=\frac{90}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=25\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Joka sekunti se kulkee 25 m. Toiseen suuntaan, yksiköstä m/s yksikköön km/h, kerrotaan luvulla 3,6:

$$25\mathrm{m}/\mathrm{s}=25\cdot 3,6\mathrm{km}/\mathrm{h}=90\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Miksi yksi metri sekunnissa on 3,6 km/h? Metri on kilometrin tuhannesosa ja sekunti on tunnin $\frac{1}{3600}$:

$$\begin{array}{rl}1\mathrm{m}/\mathrm{s}& =\frac{\mathrm{0,001}\mathrm{km}}{\frac{1}{3600}\mathrm{h}}\\ & =\mathrm{0,001}\cdot 3600\mathrm{km}/\mathrm{h}=3,6\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Tyypillinen lipsahdus on sekoittaa suunta ja kertoa siellä, missä pitäisi jakaa. Silloin tulokseksi tulee, että auto ajaa nopeudella 324 m/s, mikä lähestyy äänen nopeutta. Auttaa, kun muistaa, että metri sekunnissa on suurempi yksikkö kuin kilometri tunnissa. Samaan nopeuteen riittää siksi pienempi luku, ja luku yksikössä m/s on aina pienempi kuin luku yksikössä km/h.

Vielä kaksi esimerkkiä paremman käsityksen saamiseksi. Jalankulkija kävelee nopeudella

$$5\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{5}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 1,4\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

joten sekunnissa hän etenee vajaan puolitoista metriä. Auto moottoritiellä ajaa nopeudella 130 km/h, eli

$$130\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{130}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 36,1\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Joka vilkaisee moottoritiellä puhelinta kahden sekunnin ajan, ajaa sokkona yli 70 m.

Laskuri

Anna nopeus kilometreinä tunnissa, niin laskuri muuntaa sen metreiksi sekunnissa.

Sama toiseen suuntaan, metreistä sekunnissa kilometreiksi tunnissa:

Joillekin suureille ei kuitenkaan riitä luku ja yksikkö, vaan ne tarvitsevat myös suunnan. Miten niillä lasketaan, näyttää seuraava artikkeli, Skalaari- ja vektorisuureet.