Фізичні величини та одиниці

«Петро проїхав 5». П'ять чого? П'ять метрів — це дорога до холодильника й назад. П'ять кілометрів — уже поважна прогулянка. П'ять тисяч кілометрів на авто вистачило б, щоб доїхати від Києва до Лісабона й проїхати ще з тисячу кілометрів назад. Саме число у фізиці нічого не означає, до нього потрібна одиниця:

$$s=5\mathrm{к}\mathrm{м}$$

Запис складається з трьох частин. Синім показано позначення величини, тут s означає шлях. Червоним — числове значення 5, зеленим — одиниця, кілометр. Числове значення показує, скільки разів одиниця вміщається у величині. П'ять кілометрів — це п'ять разів по одному кілометру:

$$s=5\cdot 1\mathrm{к}\mathrm{м}$$

Підручники з фізики мають для обох частин скорочений запис, який ти бачиш унизу на рисунку. Фігурні дужки навколо позначення означають числове значення, квадратні — одиницю: {s} = 5 і [s] = км.

Зі швидкістю так само. Речення «він ішов зі швидкістю 5» може означати 5 км/год, тобто звичайну ходьбу, а може й 5 м/с, а це вже жвавий біг. Без одиниці не зрозуміти, чи Петро вийшов погуляти, чи біг на автобус.

Що таке фізична величина

Фізична величина — це властивість, яку можна виміряти, тобто порівняти з одиницею й виразити числом. Величиною є, наприклад, довжина столу, час, за який зварюється яйце, маса торби з покупками чи температура води в каструлі. Краса, навпаки, величиною не є. Не існує приладу, який би її виміряв, ані одиниці, в якій її можна було б виражати. Речення «на цьому фото сім красот» не має сенсу.

До кожної величини належить позначення, зазвичай одна літера. Шлях — s, час — t, маса — m і швидкість — v. Літери вибрані не навмання, вони походять із латини: spatium — простір, tempus — час, massa — маса й velocitas — швидкість.

Система СІ

Колись кожне місто мірило по-своєму. Празький лікоть мав приблизно 59 см, віденський — майже 78 см, і хто купував тканину в Празі, а продавав її у Відні, мусив враховувати різницю. Сьогодні майже весь світ дотримується однієї системи — Міжнародної системи одиниць СІ (від французького Système international d'unités). Вона спирається на сім основних одиниць:

У кінематиці та динаміці нам вистачить перших трьох: метра, кілограма та секунди.

Наскільки великий метр? Він виник у революційній Франції як одна десятимільйонна частина відстані від Північного полюса до екватора. Пізніше за його зразком виготовили стрижень зі сплаву платини та іридію, і метром була відстань між двома рисками на ньому. Сьогодні метр визначають за допомогою світла: це відстань, яку світло проходить у вакуумі за $\frac{1}{299792458}\mathrm{с}$.

Кілограм спочатку був масою одного літра води. Понад сто років його розмір визначав циліндр зі сплаву платини та іридію заввишки й завширшки 39 мм, який зберігався в сейфі поблизу Парижа. Під час порівняння з точними копіями виявилося, що вони трохи розходяться між собою. Тому з 2019 року кілограм визначає фундаментальна стала, і його в принципі можна точно відтворити в будь-якій лабораторії з потрібним обладнанням, без порівняння з паризьким циліндром.

Секунда довго була однією вісімдесятишеститисячною частиною доби, адже доба має 24 · 60 · 60 = 86 400 секунд. Проте Земля обертається не зовсім рівномірно, тому сьогодні секунду відмірюють атомні годинники.

Похідні одиниці

Усі інші одиниці складаються з основних. Швидкість — це шлях, пройдений за певний час, тож обчислимо її як шлях, поділений на час:

$$v=\frac{s}{t}$$

Якщо вимірюємо шлях у метрах, а час у секундах, то подібно до величин можемо поділити й їхні одиниці:

$$[v]=\frac{[s]}{[t]}=\frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}=\mathrm{м}/\mathrm{с}$$

Одиницею швидкості є метр за секунду. Такі одиниці називаємо похідними. До них належать, наприклад, квадратний метр м² для площі, кубічний метр м³ для об'єму чи метр за секунду в квадраті м/с² для прискорення. Що саме ховається за цією «секундою в квадраті», покажемо в статті про прискорення.

Деякі похідні одиниці мають власну назву, здебільшого на честь відомого фізика. Одиницею сили є ньютон Н, названий на честь Ісаака Ньютона. Поки що достатньо знати, що його можна виразити через основні одиниці:

$$\mathrm{Н}={\mathrm{к}\mathrm{г}·\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2$$

Чому саме так, пояснимо в статті про силу.

Кілометр за годину, хвилина, година, літр чи тонна до системи СІ не належать, але користуватися ними дозволено, бо вони вкорінені в повсякденному житті. У фізичних обчисленнях їх, однак, здебільшого спочатку переводять в основні одиниці. Як це зробити, покажемо трохи далі.

Степені десяти

У фізиці нам часто трапляються дуже великі й дуже малі числа. Сонце розташоване від Землі приблизно на 150 000 000 км, тобто 150 000 000 000 м. Писати всі ці нулі й рахувати з ними — морока, і легко один загубити. Тому такі числа записують за допомогою степенів десяти.

Степінь 10³ означає, що ми перемножуємо три десятки:

$${10}^3=10\cdot 10\cdot 10=1000$$

Показник степеня, тобто мале число вгорі, показує, скільки нулів у результаті. 10⁶ — це одиниця й шість нулів, мільйон. Коли показник зменшуємо на одиницю, результат ділимо на десять. Якщо продовжити це й нижче нуля, отримаємо

$$\begin{array}{rlrlrl}{10}^2& =100,& {10}^1& =10,& {10}^0& =1,\\ {10}^{-1}& =0,1,& {10}^{-2}& =0,01,& {10}^{-3}& =\mathrm{0,001}\end{array}$$

Від'ємний показник, отже, не означає від'ємного числа, а означає дріб: ${10}^{-3}=\frac{1}{{10}^3}=\frac{1}{1000}$. Степінь 10⁻³ — це одна тисячна.

Відстань до Сонця тепер запишемо так, що перед степенем десяти поставимо число між одиницею та десяткою:

$$150000000000=1,5\cdot 100000000000=1,5\cdot {10}^{11}$$

Сонце розташоване від Землі приблизно на 1,5 · 10¹¹ м. Показник степеня визначаємо за тим, на скільки розрядів треба перенести кому, щоб із 1,5 стало 150 000 000 000. Це одинадцять розрядів праворуч.

З малими числами навпаки. Людський волосок завтовшки приблизно 0,07 мм, тобто 0,00007 м. Щоб із сімки стало 0,00007, треба перенести кому на п'ять розрядів ліворуч, тому показник від'ємний:

$$\mathrm{0,000}07\mathrm{м}=7\cdot {10}^{-5}\mathrm{м}.$$

Більше про дії зі степенями знайдеш у статті Степені та корені, а перевести число в такий вигляд зможе калькулятор: число у стандартному вигляді.

Префікси одиниць

Степінь десяти може замінити префікс перед одиницею. Кіло означає тисячу, тож кілометр — це тисяча метрів, і 3 · 10³ м = 3 км. Найуживаніші зведено в таблиці:

Хмельницька атомна електростанція має потужність приблизно 2 ГВт, тобто 2 · 10⁹ Вт. Волосок завтовшки 7 · 10⁻⁵ м — це те саме, що 70 мкм, бо 7 · 10⁻⁵ = 70 · 10⁻⁶.

Кілограм — виняток, префікс він уже містить. Тому інші префікси додають до грама: тисячна частина грама — міліграм, ніхто не каже мікрокілограм.

Стеж також за великими та малими літерами. Мала м — це мілі, велика М — мега, і різниця між ними — мільярд разів. Лазерна указка світить із потужністю приблизно 1 мВт. Хто натомість напише 1 МВт, той зробить із неї вітрову електростанцію.

Переведення одиниць

Переводити одиниці можна й без запам'ятовування, в який бік множити, а в який ділити. Досить сприймати одиницю як число, замість якого підставляємо, скільки це в новій одиниці. Скільки метрів у 2,5 км? Один кілометр — це тисяча метрів, тож замість кілометра підставимо 1 000 м:

$$2,5\mathrm{к}\mathrm{м}=2,5\cdot 1\mathrm{к}\mathrm{м}=2,5\cdot 1000\mathrm{м}=2500\mathrm{м}$$

Час переводиться подібно. Скільки годин у 45 хв? Хвилина — це шістдесята частина години:

$$45\mathrm{х}\mathrm{в}=45\cdot \frac{1}{60}\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}=\frac{45}{60}\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}=0,75\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}$$

І нарешті маса. Грам — це тисячна частина кілограма, тож 350 г дорівнює

$$350\mathrm{г}=350\cdot \mathrm{0,001}\mathrm{к}\mathrm{г}=0,35\mathrm{к}\mathrm{г}.$$

З часом люди часто помиляються. Скільки це 1,5 год? Одразу напрошується відповідь «година п'ятдесят». Але година має шістдесят хвилин, а не сто. Пів години — це

$$0,5\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}=0,5\cdot 60\mathrm{х}\mathrm{в}=30\mathrm{х}\mathrm{в},$$

тож 1,5 год — це година й тридцять хвилин. Так само й навпаки: година двадцять — це не 1,2 год, а

$$1\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}+20\mathrm{х}\mathrm{в}=1\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}+\frac{20}{60}\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}\approx 1,33\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}.$$

Кілометри за годину та метри за секунду

Спідометр в авто показує кілометри за годину, а у фізиці рахують у метрах за секунду. Переводитимемо так само, як щойно, одиницю беремо як число. Кілометр — це 1 000 м, а година — 3 600 с:

$$1\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}=\frac{1\mathrm{к}\mathrm{м}}{1\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}}=\frac{1000\mathrm{м}}{3600\mathrm{с}}$$

Дріб $\frac{1000}{3600}$ скоротимо на тисячу, отримаємо $\frac{1}{3,6}$, тож

$$1\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}=\frac{1}{3,6}\mathrm{м}/\mathrm{с}\approx 0,28\mathrm{м}/\mathrm{с}.$$

Звідси випливає ціле правило: із км/год у м/с ділимо на число 3,6. Авто, що їде 90 км/год, їде зі швидкістю

$$90\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}=90\cdot \frac{1}{3,6}\mathrm{м}/\mathrm{с}=\frac{90}{3,6}\mathrm{м}/\mathrm{с}=25\mathrm{м}/\mathrm{с}.$$

Щосекунди воно проїжджає 25 м. У протилежному напрямку, із м/с у км/год, на число 3,6 множимо:

$$25\mathrm{м}/\mathrm{с}=25\cdot 3,6\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}=90\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}$$

Чому один метр за секунду — це 3,6 км/год? Метр — це тисячна частина кілометра, а секунда — $\frac{1}{3600}$ години:

$$\begin{array}{rl}1\mathrm{м}/\mathrm{с}& =\frac{\mathrm{0,001}\mathrm{к}\mathrm{м}}{\frac{1}{3600}\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}}\\ & =\mathrm{0,001}\cdot 3600\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}=3,6\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}\end{array}$$

Типова помилка — переплутати напрям і множити там, де треба ділити. Тоді вийде, що авто їде 324 м/с, а це наближається до швидкості звуку. Допоможе усвідомлення, що метр за секунду — більша одиниця, ніж кілометр за годину. Тому для тієї самої швидкості її потрібно менше, і число в м/с завжди менше за число в км/год.

Для кращого уявлення ще два приклади. Пішохід іде зі швидкістю

$$5\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}=\frac{5}{3,6}\mathrm{м}/\mathrm{с}\approx 1,4\mathrm{м}/\mathrm{с},$$

тож за секунду долає неповних півтора метра. Авто на автомагістралі їде 130 км/год, тобто

$$130\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}=\frac{130}{3,6}\mathrm{м}/\mathrm{с}\approx 36,1\mathrm{м}/\mathrm{с}.$$

Хто на автомагістралі на дві секунди втупиться в телефон, проїде наосліп понад 70 м.

Калькулятор

Введи швидкість у кілометрах за годину, і калькулятор переведе її в метри за секунду.

Те саме в зворотному напрямку, із метрів за секунду в кілометри за годину:

Деяким величинам, однак, не вистачає навіть числа з одиницею, їм потрібен ще й напрямок. Як із такими величинами обчислювати, показує наступна стаття, Скаляри та вектори.