Fysikaliska storheter och enheter

”Oscar åkte 5.” Fem vad? Fem meter är vägen till kylskåpet och tillbaka. Fem kilometer är redan en rejäl promenad. Fem tusen kilometer skulle räcka för en bilresa från Malmö till Lissabon och större delen av vägen tillbaka. Ett tal utan enhet säger ingenting i fysiken, till talet hör en enhet:

$$s=5\mathrm{km}$$

Skrivsättet består av tre delar. I blått står storhetens beteckning, här s för sträcka. I rött står mätetalet 5 och i grönt enheten, kilometer. Mätetalet anger hur många gånger enheten ryms i storheten. Fem kilometer är fem gånger en kilometer:

$$s=5\cdot 1\mathrm{km}$$

Läroböckerna i fysik har ett förkortat skrivsätt för båda delarna, som du ser längst ned i figuren. Måsvingar kring beteckningen står för mätetalet, hakparenteser för enheten: {s} = 5 och [s] = km.

Med hastighet är det på samma sätt. Meningen ”han åkte med hastigheten 5” kan betyda 5 km/h, vilket är en vanlig promenad, eller 5 m/s, och det är redan en rask löptur. Utan enhet kan du inte veta om Oscar gick på promenad eller sprang efter bussen.

Vad är en fysikalisk storhet

En fysikalisk storhet är en egenskap som vi kan mäta, alltså jämföra med en enhet och uttrycka med ett tal. Storheter är till exempel längden på ett bord, tiden det tar att koka ett ägg, massan hos en matkasse eller temperaturen på vattnet i en kastrull. Skönhet är däremot ingen storhet. Det finns ingen apparat som mäter den och ingen enhet att ange den i. Meningen ”det här fotot har sju skönheter” betyder ingenting.

Till varje storhet hör en beteckning, vanligen en bokstav. Sträckan är s, tiden t, massan m och hastigheten v. Bokstäverna är inte valda på måfå, de kommer från latinet: spatium är rum, tempus tid, massa massa och velocitas hastighet.

SI-systemet

Förr mätte varje stad på sitt sätt. Pragalnen var ungefär 59 cm, Wienalnen nästan 78 cm, och den som köpte tyg i Prag och sålde det i Wien fick räkna med skillnaden. Nu håller sig nästan hela världen till ett enda system, Internationella måttenhetssystemet SI (av franskans Système international d'unités). Det bygger på sju grundenheter:

I kinematiken och dynamiken räcker de tre första: meter, kilogram och sekund.

Hur lång är en meter? Den kom till i det revolutionära Frankrike som en tiomiljondel av avståndet från nordpolen till ekvatorn. Senare tillverkades en stav av en platina-iridiumlegering, och en meter var avståndet mellan två streck på den. Nu bestäms metern med hjälp av ljus: det är sträckan som ljuset tillryggalägger i vakuum på $\frac{1}{299792458}\mathrm{s}$.

Kilogram var från början massan hos en liter vatten. Under mer än hundra år bestämdes dess storlek av en cylinder av en platina-iridiumlegering, 39 mm hög och lika bred, som förvarades i ett kassaskåp utanför Paris. När cylindern jämfördes med exakta kopior visade det sig att de avviker obetydligt från varandra. Sedan 2019 bestäms kilogram därför av en naturkonstant och kan i princip återskapas exakt i vilket laboratorium som helst med rätt utrustning, utan jämförelse med cylindern i Paris.

Sekunden var länge den 86 400:e delen av ett dygn, eftersom ett dygn har 24 · 60 · 60 = 86 400 sekunder. Jorden roterar dock inte helt jämnt, därför mäts sekunden i dag med atomur.

Härledda enheter

Alla andra enheter sätts ihop av grundenheterna. Hastighet är sträckan som tillryggaläggs under en viss tid, så vi beräknar den som sträckan delad med tiden:

$$v=\frac{s}{t}$$

Mäter vi sträckan i meter och tiden i sekunder kan vi på samma sätt som storheterna dela även deras enheter:

$$[v]=\frac{[s]}{[t]}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Hastighetens enhet är meter per sekund. Sådana enheter kallas härledda. Hit hör till exempel kvadratmeter m² för area, kubikmeter m³ för volym eller meter per sekund i kvadrat m/s² för acceleration. Vad som egentligen gömmer sig bakom ”sekund i kvadrat” visar vi i artikeln om acceleration.

Vissa härledda enheter har ett eget namn, oftast efter en berömd fysiker. Kraftens enhet är newton N, uppkallad efter Isaac Newton. Än så länge räcker det att veta att den kan uttryckas med grundenheter:

$$\mathrm{N}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Varför det är just så förklarar vi i artikeln om kraft.

Kilometer per timme, minut, timme, liter och ton hör inte till SI, men de får användas eftersom de är inarbetade i vardagen. I fysikaliska beräkningar omvandlar vi dem oftast först till grundenheter. Hur det går till visar vi lite längre fram.

Tiopotenser

I fysiken möter vi ofta mycket stora och mycket små tal. Solen ligger ungefär 150 000 000 km från jorden, alltså 150 000 000 000 m. Att skriva och räkna med alla de nollorna är besvärligt, och det är lätt att tappa bort en. Sådana tal skriver vi därför med tiopotenser.

Potensen 10³ betyder att vi multiplicerar tre tior med varandra:

$${10}^3=10\cdot 10\cdot 10=1000$$

Exponenten, alltså den lilla siffran uppe till höger, säger hur många nollor resultatet har. 10⁶ är en etta och sex nollor, en miljon. När vi minskar exponenten med ett delas resultatet med tio. Fortsätter vi så även under noll får vi

$$\begin{array}{rlrlrl}{10}^2& =100,& {10}^1& =10,& {10}^0& =1,\\ {10}^{-1}& =0,1,& {10}^{-2}& =0,01,& {10}^{-3}& =\mathrm{0,001}\end{array}$$

En negativ exponent betyder alltså inte ett negativt tal, utan ett bråk: ${10}^{-3}=\frac{1}{{10}^3}=\frac{1}{1000}$. Potensen 10⁻³ är en tusendel.

Avståndet till solen skriver vi nu så att vi sätter ett tal mellan ett och tio framför tiopotensen:

$$150000000000=1,5\cdot 100000000000=1,5\cdot {10}^{11}$$

Solen ligger ungefär 1,5 · 10¹¹ m från jorden. Exponenten får vi av hur många steg vi måste flytta decimalkommat för att 1,5 ska bli 150 000 000 000. Det är elva steg åt höger.

Med små tal är det tvärtom. Ett människohår är ungefär 0,07 mm tjockt, alltså 0,00007 m. För att sjuan ska bli 0,00007 måste vi flytta kommat fem steg åt vänster, och därför är exponenten negativ:

$$\mathrm{0,000}07\mathrm{m}=7\cdot {10}^{-5}\mathrm{m}.$$

Mer om att räkna med potenser hittar du i artikeln Potenser och rötter, och ett tal kan du skriva om på den här formen med kalkylatorn för grundpotensform.

Enhetsprefix

En tiopotens kan ersättas av ett prefix framför enheten. Kilo betyder tusen, så en kilometer är tusen meter och 3 · 10³ m = 3 km. De vanligaste finns i tabellen:

Ett stort kärnkraftverk har en effekt på ungefär 2 GW, alltså 2 · 10⁹ W. Ett hår som är 7 · 10⁻⁵ m tjockt är detsamma som 70 µm, eftersom 7 · 10⁻⁵ = 70 · 10⁻⁶.

Kilogram är ett undantag, det har redan ett prefix i sig. Andra prefix sätts därför till gram: en tusendels gram är ett milligram, ingen säger mikrokilogram.

Se också upp med stora och små bokstäver. Litet m är milli, stort M är mega, och skillnaden mellan dem är en miljard gånger. En laserpekare lyser med en effekt på ungefär 1 mW. Den som i stället skriver 1 MW har gjort om den till ett vindkraftverk.

Omvandling av enheter

Omvandlingar går att göra även utan att komma ihåg i vilken riktning man multiplicerar och i vilken man dividerar. Det räcker att behandla enheten som ett tal som vi ersätter med hur mycket den är i den nya enheten. Hur många meter är 2,5 km? En kilometer är tusen meter, så för kilometer sätter vi in 1000 m:

$$2,5\mathrm{km}=2,5\cdot 1\mathrm{km}=2,5\cdot 1000\mathrm{m}=2500\mathrm{m}$$

Tid omvandlas på liknande sätt. Hur många timmar är 45 min? En minut är en sextiondel av en timme:

$$45\min =45\cdot \frac{1}{60}\mathrm{h}=\frac{45}{60}\mathrm{h}=0,75\mathrm{h}$$

Och till sist massa. Ett gram är en tusendel av ett kilogram, så 350 g är

$$350\mathrm{g}=350\cdot \mathrm{0,001}\mathrm{kg}=0,35\mathrm{kg}.$$

Med tid blir det ofta fel. Hur mycket är 1,5 h? Svaret ”en timme femtio” ligger nära till hands. En timme har dock sextio minuter, inte hundra. En halvtimme är

$$0,5\mathrm{h}=0,5\cdot 60\min =30\min ,$$

så 1,5 h är en timme och trettio minuter. Samma sak gäller åt andra hållet: en timme och tjugo minuter är inte 1,2 h, utan

$$1\mathrm{h}+20\min =1\mathrm{h}+\frac{20}{60}\mathrm{h}\approx 1,33\mathrm{h}.$$

Kilometer per timme och meter per sekund

Hastighetsmätaren i bilen visar kilometer per timme, men i fysiken räknar vi i meter per sekund. Vi omvandlar som nyss och behandlar enheten som ett tal. En kilometer är 1000 m och en timme 3600 s:

$$1\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{1\mathrm{km}}{1\mathrm{h}}=\frac{1000\mathrm{m}}{3600\mathrm{s}}$$

Bråket $\frac{1000}{3600}$ förkortar vi med tusen och får $\frac{1}{3,6}$, så

$$1\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{1}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 0,28\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Av detta följer hela regeln: från km/h till m/s dividerar vi med talet 3,6. En bil som kör 90 km/h har hastigheten

$$90\mathrm{km}/\mathrm{h}=90\cdot \frac{1}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=\frac{90}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=25\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Varje sekund kör den 25 m. Åt andra hållet, från m/s till km/h, multiplicerar vi med 3,6:

$$25\mathrm{m}/\mathrm{s}=25\cdot 3,6\mathrm{km}/\mathrm{h}=90\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Varför är en meter per sekund 3,6 km/h? En meter är en tusendels kilometer och en sekund är $\frac{1}{3600}$ timme:

$$\begin{array}{rl}1\mathrm{m}/\mathrm{s}& =\frac{\mathrm{0,001}\mathrm{km}}{\frac{1}{3600}\mathrm{h}}\\ & =\mathrm{0,001}\cdot 3600\mathrm{km}/\mathrm{h}=3,6\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Ett typiskt misstag är att blanda ihop riktningen och multiplicera där man ska dividera. Då får man att bilen kör 324 m/s, vilket närmar sig ljudets hastighet. Det hjälper att komma ihåg att meter per sekund är en större enhet än kilometer per timme. För samma hastighet behövs därför färre av dem, och talet i m/s är alltid mindre än talet i km/h.

Två exempel till för att få en bättre uppfattning. En fotgängare går med hastigheten

$$5\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{5}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 1,4\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

så på en sekund går fotgängaren knappt en och en halv meter. En bil på motorvägen kör 130 km/h, alltså

$$130\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{130}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 36,1\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Den som tittar ned på mobilen i två sekunder på motorvägen kör över 70 m i blindo.

Miniräknare

Ange hastigheten i kilometer per timme, så omvandlar miniräknaren den till meter per sekund.

Samma sak åt andra hållet, från meter per sekund till kilometer per timme:

För vissa storheter räcker det dock inte med ett tal och en enhet, de behöver också en riktning. Hur man räknar med dem visar nästa artikel, Skalära och vektoriella storheter.