Physikalische Größen und Einheiten
„Peter ist 5 gefahren.“ Fünf was? Fünf Meter sind der Weg zum Kühlschrank und zurück. Fünf Kilometer sind schon ein ordentlicher Spaziergang. Fünftausend Kilometer würden mit dem Auto von Berlin nach Lissabon und fast den ganzen Weg zurück reichen. Eine nackte Zahl sagt in der Physik nichts aus, es gehört eine Einheit dazu:
Die Angabe besteht aus drei Teilen. Blau ist das Formelzeichen der Größe, hier s für den Weg. Rot ist der Zahlenwert 5 und grün die Einheit, der Kilometer. Der Zahlenwert gibt an, wie oft die Einheit in der Größe enthalten ist. Fünf Kilometer sind fünfmal ein Kilometer:
Physikbücher haben für beide Teile eine verkürzte Schreibweise, die du unten im Bild siehst. Geschweifte Klammern um das Formelzeichen stehen für den Zahlenwert, eckige für die Einheit: {s} = 5 und [s] = km.
Bei der Geschwindigkeit ist es ähnlich. Der Satz „Er fuhr mit einer Geschwindigkeit von 5“ kann 5 km/h bedeuten, das ist ein gewöhnlicher Spaziergang, oder 5 m/s, und das ist schon ein flotter Lauf. Ohne Einheit kannst du nicht erkennen, ob Peter spazieren gegangen ist oder zum Bus gerannt ist.
Was eine physikalische Größe ist
Eine physikalische Größe ist eine Eigenschaft, die wir messen können, also mit einer Einheit vergleichen und durch eine Zahl ausdrücken. Eine Größe ist zum Beispiel die Länge eines Tisches, die Zeit, die ein Ei zum Kochen braucht, die Masse einer Einkaufstasche oder die Temperatur des Wassers im Topf. Schönheit dagegen ist keine Größe. Es gibt kein Gerät, das sie misst, und keine Einheit, in der man sie angeben könnte. Der Satz „Dieses Foto hat sieben Schönheiten“ ergibt keinen Sinn.
Zu jeder Größe gehört ein Formelzeichen, meist ein einzelner Buchstabe. Der Weg ist s, die Zeit t, die Masse m und die Geschwindigkeit v. Die Buchstaben sind nicht willkürlich gewählt, sie stammen aus dem Lateinischen: spatium ist der Raum, tempus die Zeit, massa die Masse und velocitas die Geschwindigkeit.
Das SI-System
Früher hat jede Stadt nach eigenem Maß gemessen. Die Prager Elle war etwa 59 cm lang, die Wiener Elle fast 78 cm, und wer Stoff in Prag kaufte und in Wien verkaufte, musste mit dem Unterschied rechnen. Heute hält sich fast die ganze Welt an ein einziges System, das Internationale Einheitensystem SI (von französisch Système international d'unités). Es beruht auf sieben Basiseinheiten:
| Größe | Einheit | Einheitenzeichen |
|---|---|---|
| Länge | Meter | m |
| Masse | Kilogramm | kg |
| Zeit | Sekunde | s |
| elektrische Stromstärke | Ampere | A |
| thermodynamische Temperatur | Kelvin | K |
| Stoffmenge | Mol | mol |
| Lichtstärke | Candela | cd |
In der Kinematik und Dynamik reichen uns die ersten drei: Meter, Kilogramm und Sekunde.
Wie lang ist ein Meter? Er entstand im revolutionären Frankreich als zehnmillionster Teil der Entfernung vom Nordpol zum Äquator. Später wurde danach ein Stab aus einer Platin-Iridium-Legierung angefertigt, und der Meter war der Abstand zwischen zwei Strichen darauf. Heute wird der Meter mithilfe des Lichts festgelegt: Er ist die Strecke, die das Licht im Vakuum in
Das Kilogramm war ursprünglich die Masse eines Liters Wasser. Über hundert Jahre lang bestimmte dann ein Zylinder aus einer Platin-Iridium-Legierung seine Größe, der 39 mm hoch und breit war und in einem Tresor bei Paris lag. Beim Vergleich mit genauen Kopien stellte sich heraus, dass sie minimal voneinander abweichen. Seit 2019 wird das Kilogramm deshalb durch eine Naturkonstante festgelegt und lässt sich im Prinzip in jedem Labor mit der nötigen Ausstattung exakt nachbauen, ohne Vergleich mit dem Pariser Zylinder.
Die Sekunde war lange der 86.400ste Teil eines Tages, denn ein Tag hat 24 · 60 · 60 = 86.400 Sekunden. Die Erde dreht sich aber nicht ganz gleichmäßig, deshalb wird die Sekunde heute mit Atomuhren abgemessen.
Abgeleitete Einheiten
Alle anderen Einheiten setzen sich aus den Basiseinheiten zusammen. Die Geschwindigkeit ist der in einer bestimmten Zeit zurückgelegte Weg, wir berechnen sie also als Weg geteilt durch Zeit:
Messen wir den Weg in Metern und die Zeit in Sekunden, können wir ähnlich wie die Größen auch ihre Einheiten teilen:
Die Einheit der Geschwindigkeit ist Meter pro Sekunde. Solche Einheiten nennen wir abgeleitet. Dazu gehören zum Beispiel der Quadratmeter m2 für den Flächeninhalt, der Kubikmeter m3 für das Volumen oder Meter pro Sekunde zum Quadrat m/s2 für die Beschleunigung. Was genau hinter dieser „Sekunde zum Quadrat“ steckt, zeigen wir bei der Beschleunigung.
Manche abgeleiteten Einheiten haben einen eigenen Namen, meist nach einem berühmten Physiker. Die Einheit der Kraft ist das Newton N, benannt nach Isaac Newton. Vorerst genügt es zu wissen, dass es sich durch Basiseinheiten ausdrücken lässt:
Warum gerade so, erklären wir im Artikel über die Kraft.
Kilometer pro Stunde, Minute, Stunde, Liter oder Tonne gehören nicht zum SI-System, dürfen aber verwendet werden, weil sie im Alltag fest eingebürgert sind. In physikalischen Rechnungen rechnen wir sie meistens zuerst in Basiseinheiten um. Wie das geht, zeigen wir gleich.
Zehnerpotenzen
In der Physik begegnen uns oft sehr große und sehr kleine Zahlen. Die Sonne ist von der Erde etwa 150.000.000 km entfernt, also 150.000.000.000 m. Mit all diesen Nullen zu schreiben und zu rechnen ist lästig, und leicht geht eine verloren. Solche Zahlen schreibt man deshalb als Zehnerpotenzen.
Die Potenz 103 bedeutet, dass wir drei Zehnen miteinander multiplizieren:
Der Exponent, also die kleine Zahl oben, sagt, wie viele Nullen das Ergebnis hat. 106 ist eine Eins mit sechs Nullen, eine Million. Wenn wir den Exponenten um eins verkleinern, teilen wir das Ergebnis durch zehn. Setzen wir das auch unter null fort, erhalten wir
Ein negativer Exponent bedeutet also keine negative Zahl, sondern einen Bruch:
Die Entfernung der Sonne schreiben wir jetzt so, dass vor die Zehnerpotenz eine Zahl zwischen eins und zehn kommt:
Die Sonne ist von der Erde etwa 1,5 · 1011 m entfernt. Den Exponenten bestimmen wir danach, um wie viele Stellen wir das Komma verschieben müssen, damit aus 1,5 die Zahl 150.000.000.000 wird. Das sind elf Stellen nach rechts.
Bei kleinen Zahlen ist es umgekehrt. Ein menschliches Haar ist etwa 0,07 mm dick, also 0,00007 m. Damit aus der Sieben 0,00007 wird, müssen wir das Komma um fünf Stellen nach links verschieben, und der Exponent ist deshalb negativ:
Mehr zum Rechnen mit Potenzen findest du im Artikel Potenzen und Wurzeln, und die Umwandlung einer Zahl in diese Form schafft der Rechner für die wissenschaftliche Schreibweise.
Vorsätze vor Einheiten
Die Zehnerpotenz kann durch einen Vorsatz vor der Einheit ersetzt werden. Kilo bedeutet tausend, ein Kilometer sind also tausend Meter, und 3 · 103 m = 3 km. Die gebräuchlichsten fasst die Tabelle zusammen:
| Vorsatz | Zeichen | Faktor | Beispiel |
|---|---|---|---|
| Giga | G | 109 = 1.000.000.000 | GW |
| Mega | M | 106 = 1.000.000 | MW |
| Kilo | k | 103 = 1.000 | km, kg |
| Dezi | d | 10−1 = 0,1 | dm |
| Zenti | c | 10−2 = 0,01 | cm |
| Milli | m | 10−3 = 0,001 | mm, mg |
| Mikro | µ | 10−6 = 0,000001 | µm |
Ein großes Kernkraftwerk hat eine Leistung von etwa 2 GW, also 2 · 109 W. Ein Haar mit der Dicke 7 · 10−5 m ist dasselbe wie 70 µm, denn 7 · 10−5 = 70 · 10−6.
Das Kilogramm ist eine Ausnahme, es enthält den Vorsatz schon. Weitere Vorsätze werden deshalb an das Gramm angehängt: Ein Tausendstel Gramm ist ein Milligramm, niemand sagt Mikrokilogramm.
Pass auch auf Groß- und Kleinschreibung auf. Kleines m ist Milli, großes M ist Mega, und die beiden unterscheiden sich um den Faktor eine Milliarde. Ein Laserpointer leuchtet mit einer Leistung von etwa 1 mW. Wer stattdessen 1 MW schreibt, hat daraus eine Windkraftanlage gemacht.
Einheiten umrechnen
Umrechnen geht auch, ohne dass du dir merken musst, in welche Richtung man multipliziert und in welche teilt. Du musst die Einheit nur wie eine Zahl behandeln und für sie einsetzen, wie viel sie in der neuen Einheit ausmacht. Wie viele Meter sind 2,5 km? Ein Kilometer sind tausend Meter, also setzen wir für den Kilometer 1.000 m ein:
Die Zeit rechnet man ähnlich um. Wie viele Stunden sind 45 min? Eine Minute ist ein Sechzigstel einer Stunde:
Und zuletzt die Masse. Ein Gramm ist ein Tausendstel Kilogramm, also sind 350 g
Bei der Zeit machen viele Fehler. Wie viel sind 1,5 h? Sofort bietet sich die Antwort „eine Stunde fünfzig“ an. Eine Stunde hat aber sechzig Minuten, nicht hundert. Eine halbe Stunde ist
also sind 1,5 h eine Stunde und dreißig Minuten. Dasselbe gilt umgekehrt: Eine Stunde zwanzig sind nicht 1,2 h, sondern
Kilometer pro Stunde und Meter pro Sekunde
Der Tacho im Auto zeigt Kilometer pro Stunde an, in der Physik wird aber in Metern pro Sekunde gerechnet. Wir rechnen um wie eben und behandeln die Einheit wie eine Zahl. Ein Kilometer sind 1.000 m und eine Stunde 3.600 s:
Den Bruch
Daraus folgt die ganze Regel: Von km/h in m/s teilen wir durch 3,6. Ein Auto, das mit 90 km/h fährt, hat die Geschwindigkeit
Jede Sekunde legt es 25 m zurück. In die andere Richtung, von m/s in km/h, multiplizieren wir mit 3,6:
Warum ist ein Meter pro Sekunde 3,6 km/h? Ein Meter ist ein Tausendstel Kilometer, und eine Sekunde ist
Ein typischer Fehler ist es, die Richtung zu verwechseln und dort zu multiplizieren, wo man teilen muss. Dann kommt heraus, dass das Auto mit 324 m/s fährt, was fast der Schallgeschwindigkeit entspricht. Hilfreich ist die Überlegung, dass Meter pro Sekunde die größere Einheit ist als Kilometer pro Stunde. Für dieselbe Geschwindigkeit reicht deshalb eine kleinere Zahl, und die Zahl in m/s ist immer kleiner als die Zahl in km/h.
Zur besseren Vorstellung noch zwei Beispiele. Ein Fußgänger geht mit
er legt also pro Sekunde knapp anderthalb Meter zurück. Ein Auto auf der Autobahn fährt 130 km/h, das sind
Wer auf der Autobahn zwei Sekunden lang aufs Handy schaut, fährt über 70 m blind.
Rechner
Gib die Geschwindigkeit in Kilometern pro Stunde ein, und der Rechner wandelt sie in Meter pro Sekunde um.
Dasselbe in die andere Richtung, von Metern pro Sekunde in Kilometer pro Stunde:
Manchen Größen reicht aber nicht einmal eine Zahl mit Einheit, sie brauchen zusätzlich eine Richtung. Wie man mit ihnen rechnet, zeigt der nächste Artikel, Skalare und vektorielle Größen.
