Grandezas físicas e unidades

“Pedro percorreu 5.” Cinco o quê? Cinco metros é o caminho até a geladeira e de volta. Cinco quilômetros já é uma boa caminhada. Cinco mil quilômetros de carro dariam para ir de Praga a Lisboa e ainda voltar boa parte do caminho. Na física, um número sozinho não diz nada, ele precisa de uma unidade:

$$s=5\mathrm{km}$$

A notação tem três partes. Em azul está o símbolo da grandeza, aqui s, de distância percorrida. Em vermelho está o valor numérico 5 e em verde a unidade, o quilômetro. O valor numérico indica quantas vezes a unidade cabe na grandeza. Cinco quilômetros são cinco vezes um quilômetro:

$$s=5\cdot 1\mathrm{km}$$

Os livros de física têm uma forma abreviada para cada uma das duas partes, que você vê na parte de baixo da imagem. As chaves em volta do símbolo indicam o valor numérico e os colchetes, a unidade: {s} = 5 e [s] = km.

Com a velocidade é parecido. A frase “ele ia a uma velocidade de 5” pode significar 5 km/h, que é uma caminhada comum, ou 5 m/s, que já é uma corrida bem rápida. Sem a unidade, você não sabe se Pedro saiu para passear ou se estava correndo para pegar o ônibus.

O que é uma grandeza física

Grandeza física é uma propriedade que sabemos medir, ou seja, comparar com uma unidade e expressar por meio de um número. São grandezas, por exemplo, o comprimento de uma mesa, o tempo que um ovo leva para cozinhar, a massa de uma sacola de compras ou a temperatura da água na panela. A beleza, por outro lado, não é uma grandeza. Não existe aparelho que a meça nem unidade em que ela seja expressa. A frase “esta foto tem sete belezas” não faz sentido.

Cada grandeza tem um símbolo, em geral uma letra. A distância percorrida é s, o tempo é t, a massa é m e a velocidade é v. As letras não foram escolhidas ao acaso, elas vêm do latim: spatium é espaço, tempus é tempo, massa é massa e velocitas é velocidade.

O Sistema Internacional de Unidades

Antigamente cada cidade media do seu jeito. O côvado de Praga media cerca de 59 cm e o de Viena, quase 78 cm, e quem comprava tecido em Praga e o vendia em Viena precisava levar a diferença em conta. Hoje quase o mundo todo segue um único sistema, o Sistema Internacional de Unidades (SI), que vem do francês Système international d'unités. Ele se baseia em sete unidades fundamentais:

Na cinemática e na dinâmica, as três primeiras bastam: metro, quilograma e segundo.

Qual é o tamanho de um metro? Ele surgiu na França revolucionária como a décima milionésima parte da distância do Polo Norte ao Equador. Mais tarde, fabricou-se com base nele uma barra de uma liga de platina e irídio, e o metro era a distância entre dois traços marcados nela. Hoje o metro é definido por meio da luz: é a distância que a luz percorre no vácuo em $\frac{1}{299.792.458}\mathrm{s}$.

O quilograma era, no início, a massa de um litro de água. Depois, por mais de cem anos, o seu valor foi definido por um cilindro de uma liga de platina e irídio, com 39 mm de altura e de diâmetro, guardado num cofre perto de Paris. Quando o cilindro foi comparado com cópias precisas, descobriu-se que elas divergiam ligeiramente entre si. Por isso, desde 2019 o quilograma é definido por uma constante da natureza e, em princípio, pode ser reproduzido com exatidão em qualquer laboratório com o equipamento necessário, sem comparação com o cilindro de Paris.

O segundo foi, por muito tempo, a 86.400ª parte do dia, porque o dia tem 24 · 60 · 60 = 86.400 segundos. Mas a Terra não gira de modo perfeitamente regular, e por isso hoje o segundo é medido por relógios atômicos.

Unidades derivadas

Todas as outras unidades são formadas a partir das fundamentais. A velocidade é a distância percorrida em um certo tempo, então a calculamos dividindo a distância pelo tempo:

$$v=\frac{s}{t}$$

Se medimos a distância em metros e o tempo em segundos, podemos dividir as unidades, assim como as grandezas:

$$[v]=\frac{[s]}{[t]}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

A unidade da velocidade é o metro por segundo. Unidades assim se chamam derivadas. Entre elas estão, por exemplo, o metro quadrado m² para a área, o metro cúbico m³ para o volume e o metro por segundo ao quadrado m/s² para a aceleração. O que exatamente se esconde por trás desse “segundo ao quadrado”, mostraremos no artigo sobre a aceleração.

Algumas unidades derivadas têm nome próprio, quase sempre em homenagem a um físico famoso. A unidade de força é o newton N, em homenagem a Isaac Newton. Por enquanto basta saber que ele pode ser expresso por meio das unidades fundamentais:

$$\mathrm{N}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Por que exatamente assim, explicaremos no artigo sobre a força.

O quilômetro por hora, o minuto, a hora, o litro e a tonelada não fazem parte do SI, mas podem ser usados, porque são consagrados na vida cotidiana. Nos cálculos de física, porém, em geral os convertemos antes para as unidades fundamentais. Como fazer isso, mostraremos um pouco adiante.

Potências de dez

Na física, encontramos com frequência números muito grandes e muito pequenos. O Sol está a cerca de 150.000.000 km da Terra, ou seja, 150.000.000.000 m. Escrever e calcular com todos esses zeros é cansativo e é fácil perder um deles. Por isso esses números são escritos com potências de dez.

A potência 10³ significa que multiplicamos o número 10 três vezes por ele mesmo:

$${10}^3=10\cdot 10\cdot 10=1.000$$

O expoente, isto é, o número pequeno em cima, diz quantos zeros o resultado tem. 10⁶ é o um seguido de seis zeros, um milhão. Quando diminuímos o expoente em um, dividimos o resultado por dez. Se continuamos assim até abaixo de zero, obtemos

$$\begin{array}{rlrlrl}{10}^2& =100,& {10}^1& =10,& {10}^0& =1,\\ {10}^{-1}& =0,1,& {10}^{-2}& =0,01,& {10}^{-3}& =\mathrm{0,001}\end{array}$$

O expoente negativo, portanto, não significa um número negativo, mas uma fração: ${10}^{-3}=\frac{1}{{10}^3}=\frac{1}{1.000}$. A potência 10⁻³ é um milésimo.

Agora escrevemos a distância até o Sol colocando, antes da potência de dez, um número entre um e dez:

$$150.000.000.000=1,5\cdot 100.000.000.000=1,5\cdot {10}^{11}$$

O Sol está a cerca de 1,5 · 10¹¹ m da Terra. O expoente é determinado pelo número de casas que precisamos deslocar a vírgula para que 1,5 vire 150.000.000.000. São onze casas para a direita.

Com os números pequenos é o contrário. Um fio de cabelo humano tem cerca de 0,07 mm de espessura, ou seja, 0,00007 m. Para que o sete vire 0,00007, precisamos deslocar a vírgula cinco casas para a esquerda e, por isso, o expoente é negativo:

$$\mathrm{0,000}07\mathrm{m}=7\cdot {10}^{-5}\mathrm{m}.$$

Você encontra mais sobre o cálculo com potências no artigo Potências e raízes, e a calculadora de notação científica converte um número para essa forma.

Prefixos das unidades

A potência de dez pode ser substituída por um prefixo antes da unidade. Quilo significa mil, então o quilômetro é mil metros e 3 · 10³ m = 3 km. A tabela resume os mais usados:

As usinas nucleares de Angra 1 e Angra 2, juntas, têm uma potência de cerca de 2 GW, ou seja, 2 · 10⁹ W. Um fio de cabelo com espessura de 7 · 10⁻⁵ m é o mesmo que 70 µm, porque 7 · 10⁻⁵ = 70 · 10⁻⁶.

O quilograma é uma exceção, pois já traz um prefixo em si. Por isso os demais prefixos são acrescentados ao grama: um milésimo de grama é um miligrama, e ninguém diz microquilograma.

Cuidado também com as letras maiúsculas e minúsculas. O m minúsculo é mili, o M maiúsculo é mega, e a diferença entre eles é de um bilhão de vezes. Uma caneta laser brilha com uma potência de cerca de 1 mW. Quem escrever 1 MW no lugar a transformou em uma usina eólica.

Conversão de unidades

Dá para fazer conversões sem decorar em que sentido se multiplica e em que sentido se divide. Basta tratar a unidade como um número, pelo qual substituímos quanto ela vale na nova unidade. Quantos metros são 2,5 km? Um quilômetro é mil metros, então no lugar do quilômetro colocamos 1.000 m:

$$2,5\mathrm{km}=2,5\cdot 1\mathrm{km}=2,5\cdot 1.000\mathrm{m}=2.500\mathrm{m}$$

O tempo se converte de modo parecido. Quantas horas são 45 min? O minuto é a sexagésima parte da hora:

$$45\min =45\cdot \frac{1}{60}\mathrm{h}=\frac{45}{60}\mathrm{h}=0,75\mathrm{h}$$

E, por fim, a massa. O grama é a milésima parte do quilograma, então 350 g é

$$350\mathrm{g}=350\cdot \mathrm{0,001}\mathrm{kg}=0,35\mathrm{kg}.$$

Nas conversões de tempo, as pessoas costumam errar. Quanto é 1,5 h? A resposta que logo vem à cabeça é “uma hora e cinquenta”. Mas a hora tem sessenta minutos, não cem. Meia hora é

$$0,5\mathrm{h}=0,5\cdot 60\min =30\min ,$$

então 1,5 h é uma hora e trinta minutos. O mesmo vale no sentido contrário: uma hora e vinte não é 1,2 h, mas

$$1\mathrm{h}+20\min =1\mathrm{h}+\frac{20}{60}\mathrm{h}\approx 1,33\mathrm{h}.$$

Quilômetros por hora e metros por segundo

O velocímetro do carro mostra quilômetros por hora, mas na física se calcula em metros por segundo. Vamos converter como há pouco, tratando a unidade como um número. O quilômetro é 1.000 m e a hora é 3.600 s:

$$1\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{1\mathrm{km}}{1\mathrm{h}}=\frac{1.000\mathrm{m}}{3.600\mathrm{s}}$$

Simplificamos a fração $\frac{1.000}{3.600}$ por mil e obtemos $\frac{1}{3,6}$, portanto

$$1\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{1}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 0,28\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Daí vem a regra completa: de km/h para m/s dividimos pelo número 3,6. Um carro que anda a 90 km/h tem velocidade

$$90\mathrm{km}/\mathrm{h}=90\cdot \frac{1}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=\frac{90}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=25\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

A cada segundo ele percorre 25 m. No sentido contrário, de m/s para km/h, multiplicamos por 3,6:

$$25\mathrm{m}/\mathrm{s}=25\cdot 3,6\mathrm{km}/\mathrm{h}=90\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Por que um metro por segundo equivale a 3,6 km/h? O metro é a milésima parte do quilômetro e o segundo é $\frac{1}{3.600}$ da hora:

$$\begin{array}{rl}1\mathrm{m}/\mathrm{s}& =\frac{\mathrm{0,001}\mathrm{km}}{\frac{1}{3.600}\mathrm{h}}\\ & =\mathrm{0,001}\cdot 3.600\mathrm{km}/\mathrm{h}=3,6\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Um deslize típico é trocar o sentido e multiplicar onde se deve dividir. Aí resulta que o carro anda a 324 m/s, o que se aproxima da velocidade do som. Ajuda lembrar que o metro por segundo é uma unidade maior que o quilômetro por hora. Para a mesma velocidade, ela precisa de menos, e por isso o número em m/s é sempre menor que o número em km/h.

Para ter uma ideia melhor, mais dois exemplos. Um pedestre anda com velocidade

$$5\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{5}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 1,4\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

e em um segundo percorre menos de um metro e meio. O carro na rodovia anda a 130 km/h, ou seja,

$$130\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{130}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 36,1\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Quem na rodovia olha para o celular por dois segundos percorre às cegas mais de 70 m.

Calculadora

Digite a velocidade em quilômetros por hora e a calculadora a converterá em metros por segundo.

O mesmo no sentido contrário, de metros por segundo para quilômetros por hora:

Mas algumas grandezas precisam de mais do que um número com unidade: precisam também de uma direção e de um sentido. Como se calcula com elas, mostra o próximo artigo, Grandezas escalares e vetoriais.