Erő

Megrúgsz egy labdát a füvön, és a labda elrepül. A kapus elkapja, és a labda megáll. Összeszorítod a tenyeredben a gumilabdát, és az behorpad. Mindegyik esetben valami erővel hat a testre. Az erő az, ami megváltoztatja a test mozgását vagy alakját: megindítja, megállítja, gyorsítja, lassítja, másfelé tereli, vagy összenyomja, megnyújtja, meghajlítja.

Az erő mindig az egyik test hatása a másikra. A láb hat a labdára, a kéz a gumilabdára, az ülés a hátadra, amikor az autó hirtelen elindul. Ehhez a testeknek nem is kell érintkezniük. A mágnes távolról is magához húzza a szöget, a Föld pedig mindent vonz maga körül, a levegőben szálló labdát is. Azt az erőt, amellyel a Föld vonzza a testeket, nehézségi erőnek nevezzük, és F_g a jele. Később még részletesebben foglalkozunk vele, most inkább azt nézzük meg, mekkora is egy erő.

Mennyi egy newton

Az erő jele F, az angol force szóból, mértékegysége pedig a newton N, Isaac Newtonról elnevezve. Alapegységekkel felírva

$$\mathrm{N}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

Hogy miért éppen kilogramm szorozva méter per másodpercnégyzet, azt a Newton-törvényeknél tudod meg.

Hogyan képzeld el? Tegyél a tenyeredre egy százgrammos tábla csokoládét. Körülbelül 1 N erővel nyomja a kezedet, pontosabban a Föld 0,98 N erővel vonzza. Egy liter tej, vagyis egy kilogramm, nagyjából 10 N erővel nyomja a tenyeredet, egy szatyor öt kiló krumplival 50 N erővel, egy 70 kg tömegű felnőtt pedig körülbelül 700 N erővel nyomja a padlót. A newton kis mértékegység, ezért gyakran használjuk a kilonewtont, 1 kN = 1000 N.

Erőmérő

Az erőt erőmérővel mérjük. Belül egy rugó van, amelynek a végén horog van. Minél nagyobb erővel húzzuk a horgot, annál jobban megnyúlik a rugó. A kétszeres erő kétszer jobban megnyújtja, ezért elég a rugó mellé felrajzolni a newtonbeosztást.

Az első erőmérő üres, a másodikon egy tábla csokoládé lóg, a harmadikon kettő. A piros nyíl az az erő, amellyel a csokoládé a horgot húzza. Két tábla kétszeres erővel húz, és a rugó kétszeresére nyúlik, a nullától egészen a kettesig. Ugyanezen az elven működnek a poggyászmérő függőmérlegek is, csak a skálájuk kilogrammra van átszámítva.

Az erő mint vektor

Azt mondani, hogy „50 N erővel tolok”, nem elég. Az is fontos, hogy merre: az a kocsi, amelyet előre tolsz, máshová megy, mint az, amelyet magad felé húzol. Az erő vektor, van nagysága és iránya, és nyíllal jelöljük, $\overrightarrow{F}$. A nyíl nélküli F az erő nagysága.

Az erőnél azonban a nagyság és az irány sem elég. Tegyél egy könyvet az asztalra, és bökd meg az ujjaddal a gerince közepén úgy, hogy az erő a könyv közepe felé mutasson. A könyv egyenesen odébb csúszik. Aztán bökd meg ugyanilyen erősen és ugyanabba az irányba, de a sarkánál. A könyv odébb csúszik, és ráadásul el is fordul. Az is számít ugyanis, hol hat az erő a testre. Ezt a helyet támadáspontnak nevezzük. Az erőnek tehát három tulajdonsága van:

• támadáspont, az a pont, ahol az erő a testre hat,
• irány, amerre az erő mutat,
• nagyság, hány newton.

Az erő nyilát ezért mindig a támadáspontjából indítjuk. Az erő irányába mutat, a hossza pedig a méretarány szerint a nagyságának felel meg.

Mindkét könyvet felülről látjuk, a gerincük lent van. A piros nyilak egyforma hosszúak és egy irányba mutatnak, csak a támadáspontjuk különbözik. A könyvek kiindulási helyzetében rajzoljuk őket, amelyet a szürke szaggatott körvonal mutat, mert az erő csak a megbökés pillanatában hat. Utána a könyvek már csak csúsznak az asztalon, amíg a súrlódás meg nem állítja őket. A bal oldali könyv, amelyet a közepe felé mutató erő ér, egyenesen odébb csúszik, a jobb oldali odébb csúszik és el is fordul. Egy közönséges vektor nyilát a papíron tetszés szerint eltolhatjuk, az erő nyilának az eltolásával viszont megváltoztathatjuk, mit tesz az erő a testtel. Ha azonban a test nem fordul el, és elég tömegpontnak tekinteni, akkor az összes erő egy pontban hat, és a támadáspont nem érdekel minket. Így járunk el a további példákban is.

Erők összeadása

A csónak lustán hintázik a stégtől nem messze. Iván egy kötéllel északra, a stég felé húzza 40 N erővel, Máté a partról egy másik kötéllel keletre 30 N erővel. Mindkét kötél az orrára van kötve. Merre és mekkora erővel húzzák együtt?

Azokat az erőket, amelyek a testre egy pontban hatnak, helyettesíthetjük egyetlen, ugyanilyen hatású erővel. Ezt eredőnek nevezzük, és az összes erő vektorösszege:

$$\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2$$

A nyilakat az orrból rajzoljuk ki, és paralelogrammává egészítjük ki őket. Az erők merőlegesek egymásra, ezért a paralelogramma téglalap. Az eredő a téglalap zöld átlója. A piros nyíllal és a téglalap felső oldalával, amely ugyanolyan hosszú, mint a kék nyíl, derékszögű háromszöget alkot, és így a nagyságát a Pitagorasz-tétellel számoljuk ki:

$$F=\sqrt{F_1^2+F_2^2}$$

Behelyettesítünk:

$$F=\sqrt{(40\mathrm{N}{)}^2+(30\mathrm{N}{)}^2}$$

Négyzetre emelünk és összeadunk:

$$\begin{array}{rl}F& =\sqrt{1600{\mathrm{N}}^2+900{\mathrm{N}}^2}\\ & =\sqrt{2500{\mathrm{N}}^2}\end{array}$$

Aztán gyököt vonunk:

$$F=50\mathrm{N}$$

Együtt tehát 50 N erővel húzzák a csónakot, nem 70 N erővel. A nagyságokat kézenfekvő volna egyszerűen összeadni, de mindketten máshová húznak. Az eredő hosszabb, mint bármelyik erő külön, de rövidebb, mint az összegük.

Még az irányt kell meghatároznunk. Jelöljük α-val az eredő és Iván kötele közötti szöget. Vele szemben a téglalapnak az az oldala van, amely Máté erejével egyforma hosszú, ezért

$$\sin \alpha =\frac{F_2}{F}=\frac{30\mathrm{N}}{50\mathrm{N}}=0,6.$$

A számológép sin⁻¹ gombjával α ≈ 37° jön ki. Az eredő északra mutat, és 37° szöggel kelet felé tér el.

Ha Iván és Máté ugyanabba az irányba húzna, a nagyságuk összeadódna, és 70 N lenne. Ha pontosan egymással szemben húznának, kivonódnának, és a 10 N nagyságú eredő Iván felé mutatna. A kötelek bármilyen más szögénél az eredő valahol 10 N és 70 N között van, és minél kisebb szöget zárnak be a kötelek, annál nagyobb.

Az erők egyensúlya

Mi van, ha az eredő nulla? Akkor az erők kioltják egymást, és a test úgy viselkedik, mintha semmilyen erő nem hatna rá. Azt mondjuk, hogy az erők egyensúlyban vannak.

A lámpa zsinóron lóg a plafonról, és nyugalomban van. A Föld lefelé húzza a nehézségi erővel, a zsinór felfelé ugyanakkora erővel, így az eredő nulla. Az egyensúly nem azt jelenti, hogy a lámpára semmi nem hat. Két erő hat rá, csak a hatásuk kioltja egymást. Hogy az erők egyensúlya hogyan mutatkozik meg a test mozgásában, azt Newton első törvénye írja le.

Lámpa két drótkötélen

Az utca fölött két ház között drótkötél van kifeszítve, és a közepén lámpa lóg. A lámpa nehézségi ereje 50 N. A kötél a lámpa alatt belóg, és mindkét fele α = 30° szöget zár be a vízszintessel. Mekkora erővel van kifeszítve a kötél?

A lámpára három erő hat: a kék $\overrightarrow{F_g}$ nehézségi erő lefelé, és a kötél két piros erője, ${\overrightarrow{F}}_1$ és ${\overrightarrow{F}}_2$, mindkettő a kötél saját fele mentén. A lámpa nyugalomban lóg, ezért az erők egyensúlyban vannak. Mindkét fél ugyanúgy hajlik, ezért ugyanakkora erővel húz. Ezt jelöljük F-fel. A ferde erők azonban nem a nehézségi erővel szemben mutatnak, így közvetlenül nem hasonlíthatjuk össze vele. Ezért mindegyiket felbontjuk vízszintes és függőleges összetevőre.

Mindkét erő vízszintes összetevője egyforma nagy, és egymással szemben mutat, így kioltják egymást. Mindkét függőleges összetevő felfelé mutat, és együtt ki kell egyenlíteniük a lámpa teljes nehézségi erejét, vagyis mindegyikre a fele jut. Az ábrán látható derékszögű háromszögből a függőleges összetevő F_y = F · sin α, ezért

$$F\cdot \sin \alpha =\frac{F_g}{2}.$$

Mindkét oldalt elosztjuk a szinusszal:

$$F=\frac{F_g}{2\cdot \sin \alpha }$$

Behelyettesítünk, sin 30° = 0,5:

$$F=\frac{50\mathrm{N}}{2\cdot 0,5}=50\mathrm{N}$$

Ellenőrizzük, hogy az erők tényleg egyensúlyban tartják-e a lámpát. Mindegyik függőleges összetevője F_y = 50 N · 0,5 = 25 N, kettő együtt 50 N, éppen a lámpa nehézségi erejének nagysága. A vízszintes összetevő F_x = F · cos α ≈ 50 N · 0,866 ≈ 43 N, és kioltja a kötél másik felének ugyanakkora összetevőjét.

A kötél mindkét fele 50 N erővel húz, ugyanannyival, mintha a lámpa egyetlen függőleges kötélen függne. Két kötélfél, mégsem osztoznak a terhen. Itt a csapda. Mindkét kötéldarab ugyanis főleg oldalra húz, a másik ház felől jövő kötélfél ellen, és felfelé csak a 25 N nagyságú függőleges összetevője mutat.

Miért nem lehet a kötelet egyenesre kifeszíteni

A belógó kötél csúnyán néz ki, ezért a szerelő jobban megfeszíti. Az α szög kisebb lesz. Mi történik a kötélben lévő erővel? A képletben a szinusz a nevezőben van, a kis szög szinusza pedig kis szám. 10° esetén sin 10° ≈ 0,174:

$$F=\frac{50\mathrm{N}}{2\cdot \mathrm{0,174}}\approx 144\mathrm{N}$$

A kötél most majdnem háromszor akkora erővel van megfeszítve, pedig a lámpa ugyanolyan nehéz maradt.

Az ábra ugyanazt a lámpát mutatja nagy és kis belógással. A kék nehézségi erő mindkét esetben ugyanolyan hosszú, a kötél piros erői viszont kis belógásnál sokkal hosszabbak. A további értékeket kiszámolja a számológép:

Egyetlen fok belógásnál a kötél mindkét fele több mint 1400 N erővel húz, mintha két felnőtt lógna rajta. És mindez egy körülbelül öt kilogramm tömegű lámpa miatt. Ennek az erőnek ráadásul szinte az egésze vízszintesen mutat, és a házakat húzza egymás felé.

Teljesen egyenesre a kötelet senki nem tudja kifeszíteni. Az α = 0° szögnél mindkét erő vízszintes lenne, a függőleges összetevőjük nulla, és a lámpát semmi nem tartaná fent. Akármilyen erősen húzna is a kötél, a lámpa mindig legalább egy kicsit belógatná. Ezért lóg be a ruhaszárító zsinór és a függönyhuzal is, és aki húrként akarná kifeszíteni őket, inkább elszakítja.

A lámpa nyugalomban lóg, mert a rá ható erők kioltják egymást. Az a test azonban, amelyen az erők eredője nulla, nem csak állni tud. Hogy miért csúszik a korong a jégen megállás nélkül, és miért lódulsz előre a fékező buszon, azt a következő, Newton első törvénye című cikk magyarázza el.