Egyenes vonalú egyenletes mozgás

Az autópályán bekapcsolod a tempomatot 108 km/h sebességre. Az autó most végig egyformán gyorsan megy, egyenesen előre, és a sebességmérő mutatója meg sem rezzen. Hány métert tesz meg egy másodperc alatt? A sebességet átszámoljuk méter per másodpercre, vagyis elosztjuk a 3,6 számmal:

$$108\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{108}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Az autó minden másodpercben 30 m utat tesz meg. Két másodperc alatt 60 m utat, három alatt 90 m utat, és így tovább, minden másodperccel harminc méterrel többet.

Balra az utat látjuk felülről, az autó rajta felfelé halad. Az autónk minden egész másodpercben egy narancssárga jelet hagy maga után az úton, mondjuk egy festékcseppet. Az összes jel egyforma távolságra van egymástól, 30 m távolságra, mert az autó minden másodpercben ugyanakkora utat tesz meg. Jobbra a grafikon látható. A vízszintes tengelyen a t idő van másodpercben, a függőlegesen az s út méterben, amelyet az autó az első jeltől megtett. A függőleges tengely lépték szerint megegyezik az úttal, így a grafikon piros pontja mindig ugyanolyan magasan van, mint az autó. Az animációban hat másodpercnyi menet telik el, és minden másodperccel újabb jel kerül az útra és újabb narancssárga pont a grafikonra.

Azt az egyenes mentén történő mozgást, amelynél a test sebességének nagysága nem változik, egyenes vonalú egyenletes mozgásnak nevezzük. Egyenes vonalú az a mozgás, amelynek a pályája egyenes. Egyenletes az, amelynél a test egyenlő idők alatt egyenlő utakat tesz meg, ami ugyanaz, mint az állandó nagyságú pillanatnyi sebesség. Az az autó, amely egyenes mentén állandó sebességgel megy, nem tud kanyarodni, mert lesodródna az egyenesről, és meg sem tud fordulni, mert ahhoz nullára kellene lassulnia. A sebessége irányát sem változtatja tehát. A körforgalomban haladó autóval ellentétben itt a teljes sebesség mint vektor állandó, vagyis a nagysága és az iránya is.

Egészen pontosan semmi sem mozog így: mindig fúj egy kis szél, vagy az út emelkedni kezd. A tempomattal haladó autó az egyenes autópályán, a mozgólépcső a metróban vagy a vonat az egyenes pályán azonban nagyon közel áll az egyenes vonalú egyenletes mozgáshoz.

Az út képlete

Ha csak a képletet keresed, az s utat, amelyet a test egyenletesen mozogva v sebességgel t idő alatt megtesz, így számolod ki:

$$s=v\cdot t$$

A már ismert $v=\frac{s}{t}$ sebességképletből vezetjük le. Elég mindkét oldalt megszorozni a t idővel:

$$\begin{array}{rcl}v& =& \frac{s}{t}/\cdot t\\ v\cdot t& =& s\end{array}$$

Egyszerűen fogalmazva: ha az autó minden másodpercben 30 m utat tesz meg, tíz másodperc alatt tízszer annyit. Egy perc, vagyis 60 s alatt a tempomattal haladó autó ennyi utat tesz meg:

$$s=30\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 60\mathrm{s}=1800\mathrm{m}=1,8\mathrm{km}.$$

A mértékegységekkel úgy számolunk, mint a számokkal. A nevezőben lévő másodpercek egyszerűsödnek azokkal, amelyekkel szorzunk, és méter marad:

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \mathrm{s}=\mathrm{m}$$

Ha mondjuk méter szorozva másodperc jönne ki, tudod, hogy valahol hiba történt.

Vigyázat, az s = v · t képlet csak egyenletes mozgásra érvényes. Ha a sebesség ingadozik, nem tudjuk, melyiket vegyük a képletbe. Csak az átlagsebesség segít, s = v_átl · t. A Kovács család átlagosan 82 km/h sebességgel ment Pécsre 2,5 h ideig, így 82 km/h · 2,5 h = 205 km utat tett meg, bár a sebességmérőjük mindent mutatott a nullától százharmincig.

Mennyi ideig tart?

Ha az s = v · t képletet elosztjuk a v sebességgel, megkapjuk az időt:

$$t=\frac{s}{v}$$

Budapestről Pécsre az M6-os autópálya vezet, és körülbelül 205 km hosszú. Ha az autó az egész úton állandó 100 km/h sebességgel menne, az út ennyi ideig tartana:

$$t=\frac{205\mathrm{km}}{100\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2,05\mathrm{h}.$$

Az autópálya ugyan nem egyenes, mint a vonalzó, a képletnek ez azonban nem árt. Az utat a pálya mentén mérjük, ezért az s = v · t minden egyenletes mozgásra érvényes, arra az autóra is, amely állandó sebességgel megy át a kanyarokon.

Hány óra és perc a 2,05 h? Biztosan nem két óra öt perc. Az órának hatvan perce van, nem száz. A két egész órát meghagyjuk, a maradék öt századórát pedig percre váltjuk:

$$0,05\mathrm{h}=0,05\cdot 60\min =3\min$$

Az út tehát 2 h és 3 min ideig tartana.

Hátravan a harmadik mennyiség, a sebesség. Ezt a $v=\frac{s}{t}$ képlettel számoljuk ki. Eszter a Duna-parti egyenes kerékpárúton biciklizik mindig ugyanazzal a tempóval, és 6 km utat tesz meg 20 min alatt. Húsz perc az óra harmada:

$$v=\frac{6\mathrm{km}}{\frac{1}{3}\mathrm{h}}=18\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Egy harmaddal osztani ugyanaz, mint hárommal szorozni, ezért jött ki 6 · 3 = 18. Aki nem szereti a törteket, mindent méterre és másodpercre vált át. Húsz perc 20 · 60 s = 1200 s:

$$v=\frac{6000\mathrm{m}}{1200\mathrm{s}}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Mindkét út ugyanazt adja, mert 5 m/s szorozva 3,6-tal 18 km/h.

Az út grafikonja egyenes

Írjuk táblázatba a bevezetőbeli, tempomattal haladó autó útjait:

A táblázat minden sora a grafikon egy pontja: az időt a vízszintes tengelyen mérjük, az utat a függőlegesen. Pontosan így keletkeztek a narancssárga pontok a fenti animációban. Mind egy egyenesen fekszenek, amely az origóból indul. Miért éppen egyenesen?

Minden pontból a következőbe ugyanaz a lépcső vezet: egy másodpercnyit jobbra (kékkel) és 30 m felfelé (pirossal). A lépcsők mind ugyanolyan szélesek és ugyanolyan magasak, ezért a szomszédos pontok összekötő szakaszainak ugyanakkora a meredeksége, és törés nélkül kapcsolódnak egymáshoz. Az összes pont tehát egy egyenes vonalon van. Ha az autó valahol gyorsult volna, ott magasabb lépcső lenne, és a vonal felfelé megtörne. Ugyanez érvényes az egész másodpercek között is. Fél másodperc alatt az autó 15 m utat tesz meg, egy tizedmásodperc alatt 3 m utat, és ezek a pontok mind ugyanazon az egyenesen vannak. Ezért rajzoljuk a grafikont folytonos vonallal, nem csak hét pontként.

Hogy mennyire meredek az egyenes, abból látjuk, mennyit emelkedik, ha egy darabbal jobbra lépünk. A lépcső szélességét, vagyis az idő változását Δt jelöli, a lépcső magasságát, az út változását pedig Δs. A hányadosuk adja a meredekséget:

$$\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{30\mathrm{m}}{1\mathrm{s}}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Olyan szám jött ki, amelyet már ismerünk: az autó sebessége. Az út grafikonjának meredeksége a sebesség. Ez pontosan a $v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$ képlet a pillanatnyi sebességre, csak egyenletes mozgásnál nem kell figyelnünk arra, hogy a szakasz rövid legyen. Ha a grafikon egy nagyobb darabját vesszük, ugyanaz a meredekség jön ki. Az első és az ötödik másodperc között 4 s telt el, és az autó ez alatt 150 m − 30 m = 120 m utat tett meg:

$$\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{120\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

A matematikus azt mondaná, hogy az út az idő lineáris függvénye. A lineáris függvényeket az y = m · x + b hozzárendelési szabállyal adjuk meg, és a grafikonjuk mindig egyenes. Az m szám azt mondja meg, mennyivel nő az y, ha az x eggyel nő, ezt meredekségnek nevezzük. A b szám azt határozza meg, milyen magasan metszi az egyenes a függőleges tengelyt. Az s = v · t képletünk olyan lineáris függvény, amelyben az x helyén az idő, az y helyén az út áll, a meredekség a sebesség, és b = 0, így az egyenes átmegy az origón. Az ilyen összefüggés egyenes arányosság: kétszer annyi idő alatt az autó kétszer akkora utat tesz meg, háromszor annyi idő alatt háromszorosat.

Gyorsabb autó, meredekebb grafikon

A hídon a tempomattal haladó autónk megelőz egy kamiont, amely 72 km/h sebességgel megy, vagyis

$$72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Az időt és az utat is a hídtól mérjük, és mindkét grafikont egy ábrára rajzoljuk.

Az autó piros egyenese meredekebb, mint a kamion kék egyenese, mert az autó minden másodpercben többet tesz meg. Minél meredekebb az út grafikonja, annál gyorsabb a mozgás. Ha a kamion állna, a grafikonja vízszintes lenne, nulla meredekséggel.

A grafikonról értékeket is le lehet olvasni, ezért rajzoltunk bele rácsot. Hová jut el a kamion 3 s alatt? A vízszintes tengelyen megkeressük a hármast, és a szaggatott vonal mentén felfelé haladunk, amíg a kék egyenesbe nem ütközünk. Onnan balra indulunk a függőleges tengelyhez, és leolvassuk a 60 m értéket. Fordítva: mikor lesz az autó a hídtól 120 m távolságra? A függőleges tengelyen megkeressük a 120-at, jobbra megyünk a piros egyeneshez, majd le az időtengelyre: 4 s múlva. Mindkettőt számolással is ellenőrizhetjük:

$$20\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 3\mathrm{s}=60\mathrm{m},\frac{120\mathrm{m}}{30\mathrm{m}/\mathrm{s}}=4\mathrm{s}$$

Az egyenesek közötti függőleges távolság megmutatja, mennyivel van az autó a kamion előtt. Hat másodperc után ez 180 m − 120 m = 60 m. Az előny minden másodpercben 10 m értékkel nő, ami pontosan a két sebesség különbsége, 30 m/s − 20 m/s = 10 m/s.

Amikor az autó nem nulláról indul

Eddig az utat attól a helytől mértük, ahol elindítottuk a stoppert. A stoppert azonban gyakran csak akkor indítjuk, amikor a testnek már van mögötte egy darab út. Az M6-os autópálya mentén kilométerkövek állnak, számozott oszlopok, amelyek megmutatják, hány kilométerre vagyunk az autópálya kezdetétől Budapesten. Érdnél az autó a 21. kilométerkő mellett halad el, és attól a pillanattól 90 km/h állandó sebességgel megy. Hányadik kilométernél lesz két óra múlva?

Két óra alatt 90 km/h · 2 h = 180 km utat tesz meg. A kilométerkövön azonban nem a 180 fog állni, mert az autó nem nulláról indult. Úgy számolunk, mintha már abban a pillanatban, amikor elindítottuk a stoppert, 21 km lett volna mögötte, mert a kilométerkő az autópálya kezdetétől mér. Ezt az utat kezdeti útnak nevezzük, és s₀ a jele. Az utat a t időpontban úgy kapjuk meg, hogy a kezdeti úthoz hozzáadjuk, amennyit az autó a stopper elindítása óta megtett:

$$s=s_0+v\cdot t$$

Behelyettesítünk:

$$\begin{array}{rl}s& =21\mathrm{km}+90\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 2\mathrm{h}\\ & =21\mathrm{km}+180\mathrm{km}=201\mathrm{km}\end{array}$$

Két óra múlva az autó a 201. kilométernél lesz. Ha a kezdeti út nulla, visszakapjuk az eredeti s = v · t képletet.

A grafikon már nem az origóból indul, hanem a függőleges tengelyen az s₀ = 21 km magasságból, amelyet a kék szakasz mutat. A meredekség továbbra is a sebesség, a grafikon óránként 90 km értékkel emelkedik. A szürke szaggatott egyenes egy olyan autó grafikonja, amely ugyanilyen gyorsan megy, de az autópálya kezdetéről indult. A két egyenes párhuzamos, mert ugyanolyan meredekek. A piros csak s₀ értékkel van följebb. Az y = m · x + b lineáris függvény nyelvén az m a sebesség, a b a kezdeti út.

Fordítsuk meg: mikor ér az autó a 156. kilométerhez? Csábító a 156-ot elosztani kilencvennel, de azzal azt tudnánk meg, mennyi idő alatt érne oda az autópálya kezdetéről. A képletből indulunk ki, és belőle fejezzük ki az időt:

$$\begin{array}{rcl}{s}_0+v\cdot t& =& s/-s_0\\ v\cdot t& =& s-s_0/:v\\ t& =& \frac{s-s_0}{v}\end{array}$$

Behelyettesítünk:

$$t=\frac{156\mathrm{km}-21\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\frac{135\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}}=1,5\mathrm{h}$$

A 156. kilométerhez az autó másfél óra alatt ér, vagyis 1 h és 30 min múlva.

A kilométerkő száma pontosan véve nem azt mondja meg, mekkora utat tett meg az autó, hanem hogy hol van az autópályán. Amíg az autó csak előre megy, ez ugyanaz, mint az az út, amelyet az autópálya kezdetétől megtett volna. Hogy miért számít ez, a cikk végén látjuk.

A sebesség grafikonja

A grafikonba a sebességet is berajzolhatjuk. A tempomattal haladó autó mindig 30 m/s sebességgel megy, bármennyi is az idő, ezért a sebességének grafikonja vízszintes vonal a 30 magasságában.

Az utat ennek a grafikonnak egyik tengelyén sem találjuk meg. A grafikon alatti területben rejtőzik. A vonal alatt az első tíz másodpercre piros téglalap keletkezett, amely 10 s széles és 30 m/s magas. A területe, a szélesség szorozva a magassággal:

$$30\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 10\mathrm{s}=300\mathrm{m}.$$

Ez pontosan az s = v · t út, amelyet az autó tíz másodperc alatt megtesz. A terület itt nem négyzetméterben jön ki, hanem méterben, mert a téglalap oldalai nem hosszak, hanem a sebesség és az idő. A fehér vonalak a téglalapot tíz csíkra osztják, másodpercenként egyre. Mindegyik területe 30 m/s · 1 s = 30 m, éppen úgy, mint a harminc méter a szomszédos jelek között az úton a bevezető animációban.

Minek foglalkozni a területtel, ha elég szorozni? Mert a sebesség grafikonja alatti terület akkor is az utat jelenti, ha a grafikon nem vízszintes. Ha eljutunk a gyorsuló mozgáshoz, a sebesség grafikonja emelkedni fog, és alatta téglalap helyett háromszög vagy trapéz lesz. Az utat ekkor a területük adja, és ehhez elég a háromszög és a téglalap területének képlete, a trapéz pedig felbontható ezekre.

Áll, vagy visszafelé megy?

Bence reggel kerékpárral elindul otthonról egy egyenes úton. Két órán át állandó 20 km/h sebességgel megy, aztán egy órát ebédel a vendéglőben, végül ugyanilyen sebességgel visszamegy haza.

A függőleges tengelyen ezúttal nem az út van, hanem a hely. Az út mentén kifeszítünk egy x tengelyt, az origót Bence otthonához tesszük. Az x hely ekkor azt mondja meg, milyen messze van Bence otthonról az úton, ahogy a kilométerkő megmutatja, hol van az autó az úton. A szürke szaggatott vonal az út, amelyet Bence megtett, és amelyet a kormányon lévő kilométeróra mutat. Az ebéd végéig egybeesik a hellyel. A piros szakaszt már ismerjük. Két óra alatt Bence 40 km utat tesz meg, és a grafikon 20 km/h meredekséggel emelkedik.

A kék szakasz vízszintes. Az idő telik, de Bence 40 km távolságra marad otthonról, tehát áll. A vízszintes grafikon nyugalmat jelent, a meredekség nulla, és a sebesség is.

A zöld szakasz lefelé tart. Bence visszamegy, és az x helye óránként 20 km értékkel csökken. A lefelé tartó grafikon visszafelé mozgást jelent. Hogy milyen gyorsan megy Bence, azt abból látjuk, mennyit csökken a grafikon óránként, itt 20 km értékkel, tehát 20 km/h sebességgel megy. A sebességének most ellentétes az iránya, mint reggel. Ezért a fizikusok néha mínuszjelet adnak neki, amely azt jelzi, hogy az x hely az idővel csökken.

Most látszik, miért különböztettük meg a kilométerkőnél, hol van a test, és mekkora utat tett meg. A kilométeróra az utat méri, az pedig az idővel soha nem csökken. A szaggatott vonal ezért az ebéd után tovább emelkedik, és este 80 km értéknél ér véget, míg a hely grafikonja nullánál végződött, mert Bence megint otthon van. Egy irányba haladva a hely és az út csak a kezdeti értékben különbözik, ezért a kilométerkőnél elég volt az s = s₀ + v · t útképlet. Ha a test megfordul, a hellyel kell számolnunk.

Bence egész útja nem egyenletes, három egyenletes darabból áll. Az átlagsebesség az egész napra az egész megtett út osztva az egész idővel, az ebéddel együtt. Az egész megtett út nem a végső hely, az nulla. Hanem 80 km, ahol a szaggatott grafikon végződik, vagyis 40 km + 0 km + 40 km:

$$v_{\mathrm{á}\mathrm{tl}}=\frac{80\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=16\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Függőleges szakasz a grafikonon soha nem lesz. Azt jelentené, hogy Bence nulla idő alatt átkerült valamivel távolabbra. A balra hajló grafikon pedig azt jelentené, hogy Bencének visszafelé fut az idő. Egyik sem sikerült eddig senkinek.

Számológép

Az első számológép a sebességből és az időből kiszámolja az utat, a második az útból és a sebességből az időt. Az előre kitöltött értékek a cikk példáiból származnak: tíz másodperc a 108 km/h sebességre állított tempomattal, és az út Budapestről Pécsre állandó százas tempóval.

Az s = s₀ + v · t képlettel és az út grafikonjával szöveges feladatokat is meg lehet oldani, amelyekben az egyik autó utoléri a másikat, vagy két vonat egymás felé megy. Minden járműnek megvan a saját egyenese a grafikonon, és ahol találkoznak, az az egyenesek metszéspontja. Az ilyen feladatokhoz még eljutunk.

Mielőtt nekilátunk, a Hogyan oldjuk meg a kinematikai és dinamikai feladatokat cikkben végigmegyünk azon az eljáráson, amely minden fizikai feladatnál megéri: az adatok felírása, a mértékegységek átváltása, a vázlat és az általános megoldás.