Skaláris és vektoriális mennyiségek

„Kint 20 °C van.” Ennél többet nem is kell mondani, mindenki tudja, vegyen-e kabátot. A hőmérsékletet egy szám és egy mértékegység leírja. De próbálj meg valakinek útbaigazítást adni így: „Menj 100 m utat.” Rögtön megkérdezi: merre? Egyenesen, balra, vissza? Száz méter északra a vasútállomásra viszi, száz méter délre egyenesen a tóba. Az ilyen mennyiségnek nem elég a szám, kell hozzá irány is.

Skalár vagy vektor?

Azokat a mennyiségeket, amelyeket egy szám és egy mértékegység teljesen leír, skalároknak nevezzük. Skalár a hőmérséklet, az idő, a tömeg vagy a megtett út. Ha azt mondod, hogy a táska tömege 5 kg, vagy hogy a film 2 h ideig tart, nem kell hozzátenned semmit. A tömeg nem mutat se balra, se felfelé.

Azokat a mennyiségeket, amelyeknél az irány is számít, vektoroknak hívjuk. Tipikus vektor az erő. Aki már tolt arrébb szekrényt, tudja, hogy a falnak tolni egészen más, mint a faltól elfelé. Vektor a sebesség is: az az autó, amely 90 km/h sebességgel megy Pécs felé, és az az autó, amely 90 km/h sebességgel jön Pécsről, egyforma nagyságú sebességgel halad, mégis mindegyik máshová tart.

A vektort a jel fölötti nyíl mutatja. Az erőt mint vektort így írjuk: $\overrightarrow{F}$. Néha azonban az irány nem érdekel minket, csak azt akarjuk tudni, mekkora az erő. Ezt a részét a vektor nagyságának hívjuk, és vagy függőleges vonalakkal jelöljük, vagy egyszerűen nyíl nélküli jellel:

$$|\overrightarrow{F}|=F$$

Az erő nagysága skalár, például F = 300 N. A newton N az erő mértékegysége, többet egyelőre nem is kell róla tudnunk. Az erő itt főleg a vektor példájaként szolgál.

A vektor mint nyíl

A vektort nyíllal rajzoljuk meg. Arra mutat, amerre a vektor, és a hossza a vektor nagyságának felel meg. Hogy meg tudjuk rajzolni a nyilat, választunk egy léptéket, például azt, hogy a papíron egy centiméter 100 N erőt jelent. A 300 N erő ekkor három centiméter hosszú nyíl, az 50 N erő csak fél centiméter hosszú.

Az ábrán három piros nyilat látunk. Mind ugyanolyan hosszú és ugyanarra mutat, tehát ugyanazt a vektort ábrázolják, az $\overrightarrow{u}$ vektort, csak három különböző helyen lerajzolva. A vektort csak a nagysága és az iránya határozza meg, azon nem múlik, hol kezdődik a nyíl. A nyilat ezért tetszőlegesen eltolhatjuk, csak elforgatni, megrövidíteni vagy meghosszabbítani nem szabad. Ez rögtön jól jön az összeadásnál.

A kék $\overrightarrow{w}$ nyíl ugyanolyan hosszú, mint a pirosak, de máshová mutat, ezért ez másik vektor. A két vektor nagysága egyenlő, $|\overrightarrow{u}|=|\overrightarrow{w}|$, és mégis $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{w}$.

Vektorok összeadása

Péter elindul a turistaháztól, és 3 km utat tesz meg keletre. Aztán befordul, és még 4 km utat tesz meg északra. Milyen messze van a háztól?

Rajzoljuk le. Az ábrán észak felül, kelet jobbra van, és egy négyzet egy kilométert jelent. A narancssárga pont a ház, a piros nyíl az első szakasz, a kék nyíl a második.

A kék nyíl nem a háztól indul, hanem a piros végéből. Péter ugyanis onnan indult északra, ahová kelet felé haladva eljutott. A vektorokat így adjuk össze: a második nyilat eltoljuk úgy, hogy az első végén kezdődjön. Az összeg az a nyíl, amely az első nyíl kezdetétől a második végéig vezet. Az ábrán ez a zöld, és megmutatja, hol ért véget Péter útja. Az animáció lépésről lépésre bemutatja: a kék nyíl először ugyanabból a pontból indul, mint a piros, aztán átkerül a piros végére, és csak azután jelenik meg a zöld.

Ha vektorok helyett közönséges számokat adunk össze, 3 km + 4 km = 7 km jön ki. Hét kilométert Péter tényleg megtett, de a háztól nincs ilyen messze. Kerülő úton ment, a zöld nyíl levágja a kerülőt, ezért rövidebb, mint a két szakasz együtt.

Milyen hosszú a zöld nyíl? A piros, a kék és a zöld együtt derékszögű háromszöget alkot, vagyis olyan háromszöget, amelynek egyik szöge derékszög. A két oldalt, amely a derékszöget zárja közre, befogóknak hívjuk, a harmadikat, a leghosszabbat, amely a derékszöggel szemben van, átfogónak. A derékszögű háromszögre érvényes a Pitagorasz-tétel: az átfogó négyzete egyenlő a befogók négyzetének összegével. A befogók 3 km és 4 km hosszúak, tehát az átfogó hosszát c-vel jelölve

$$c^2=(3\mathrm{km}{)}^2+(4\mathrm{km}{)}^2.$$

Négyzetre emelünk. A mértékegységet is négyzetre emeljük, kilométerszer kilométer egyenlő négyzetkilométer:

$$c^2=9{\mathrm{km}}^2+16{\mathrm{km}}^2=25{\mathrm{km}}^2$$

Majd gyököt vonunk:

$$c=\sqrt{25{\mathrm{km}}^2}=5\mathrm{km}$$

Péter a háztól 5 km távolságra van. Azt a nyilat, amely a kiindulási pontból a végpontba vezet, a fizikában elmozdulásnak nevezzük. A megtett kilométerekkel ellentétben ez vektor: az öt kilométeren kívül azt is megmondja, merre van a ház. Az iránnyal a cikk végén foglalkozunk újra.

Az összeget ugyanúgy leírhatjuk, mint a számoknál, csak nyilakkal. Ha az $\overrightarrow{u}$ és a $\overrightarrow{w}$ vektort összeadjuk, új vektort kapunk, az $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}$ vektort. Vigyázat, az összeg nagysága általában nem a nagyságok összege. Ha Péter első szakaszát $\overrightarrow{u}$-val, a másodikat $\overrightarrow{w}$-vel jelöljük, az összeg nagysága

$$|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}|=5\mathrm{km},$$

a nagyságok összege viszont

$$|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{w}|=3\mathrm{km}+4\mathrm{km}=7\mathrm{km}.$$

A paralelogramma-módszer

Egy kutyasétáltatónak két kutya van a pórázon. Mindegyik másfelé húz, az egyik ${\overrightarrow{F}}_1$, a másik ${\overrightarrow{F}}_2$ erővel, és mindkét erő arra a kézre hat, amelyben a pórázokat tartja. Merre húzza őt a két kutya együtt?

Az erők ugyanabban a pontban hatnak, ezért a nyilakat a legtermészetesebb közös kezdőpontból rajzolni. Az eredő erőt a paralelogramma-módszerrel keressük meg. Mindegyik nyíl végéből szaggatott vonallal párhuzamost húzunk a másikkal. Így paralelogramma keletkezik, és a közös pontból induló átlója a keresett összeg, $\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2$.

Miért működik ez? A paralelogramma jobb oldali szaggatott oldala ugyanolyan hosszú, mint a kék nyíl, és párhuzamos vele. Ez tehát a kék ${\overrightarrow{F}}_2$ nyíl, csak eltolva a piros ${\overrightarrow{F}}_1$ végére. Ezt már ismerjük az előző részből: a második nyilat az első végére toltuk. Mindkét eljárás, a paralelogramma és a nyilak egymás után fűzése, mindig ugyanarra az eredményre vezet. A nyilak egymás után fűzése a fokozatosan lezajló folyamatokhoz illik (előbb keletre, aztán északra), a paralelogramma az ugyanabban a pontban egyszerre ható erőkhöz.

A zöld nyíl megmutatja, merre húzza a kutyasétáltatót a két kutya. A kapott erőt eredő erőnek is nevezzük. Mivel mindegyik kicsit máshová húz, az eredő erő kisebb, mint ha mindkettő ugyanabba az irányba húzna. A nagyságát az ábráról a lépték alapján mérjük le. Kiszámolni egyelőre csak két esetben tudjuk: ha az erők merőlegesek egymásra, mint Péter két szakasza, vagy ha egy egyenesen fekszenek (erről rögtön szó lesz).

Egy egyenesen fekvő vektorok

A legkönnyebb számolni, ha a vektorok egy egyenesen fekszenek. Két barát egy lerobbant autót tol. Az egyik 300 N, a másik 250 N erővel tol, mindketten előre. A nyilakat egymás után tesszük, és olyan nyilat kapunk, amelynek a hossza egyszerűen az összeg:

$$F=300\mathrm{N}+250\mathrm{N}=550\mathrm{N}$$

A piros és a kék nyíl a két barát ereje, a zöld az eredő erő.

Másik helyzet: kötélhúzás. Az egyik csapat jobbra húz 300 N erővel, a másik balra 250 N erővel. Mindkét erő a kötél közepén lévő csomóra hat, és pontosan egymással szemben mutat. A nyilak a csomótól ellentétes irányba indulnak, ezért az eredő erő a különbség:

$$F=300\mathrm{N}-250\mathrm{N}=50\mathrm{N}$$

Az első csapat ereje az ábrán piros, a másodiké kék, az eredő erő zöld. Az 50 N nagyságú eredő erő jobbra mutat, az erősebb csapat oldalára. Ha mindkét csapat egyformán erősen húzna, az eredő erő nulla lenne, és az erők kiegyenlítenék egymást. Csak akkor adódnak össze és vonódnak ki a vektorok nagyságai közönséges számokként, ha azonos vagy pontosan ellentétes irányba mutatnak.

Ellentett vektor és szorzás számmal

Azt a vektort, amelynek ugyanakkora a nagysága, mint az $\overrightarrow{u}$ vektornak, de pontosan ellenkező irányba mutat, ellentett vektornak hívjuk, és így írjuk: $-\overrightarrow{u}$. Az alábbi ábrán kék. Ha egy vektorhoz hozzáadjuk az ellentettjét, visszajutunk oda, ahonnan elindultunk, és a nullvektort kapjuk:

$$\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}$$

Így végződik két egyformán erős csapat kötélhúzása. Az ellentett vektornak köszönhetően kivonni is lehet: a $\overrightarrow{w}$ kivonása a $-\overrightarrow{w}$ hozzáadását jelenti, tehát $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{w})$.

A vektort meg is szorozhatjuk számmal. A zöld $2\overrightarrow{u}$ vektor ugyanarra mutat, mint az $\overrightarrow{u}$, de kétszer olyan hosszú. Ez ugyanaz, mint az $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}$, két egyforma nyíl egymás után. Ha negatív számmal szorzunk, a vektor ráadásul irányt vált: a narancssárga $-2\overrightarrow{u}$ vektor kétszer olyan hosszú, és ellenkező irányba mutat. Az ellentett vektor, a $-\overrightarrow{u}$ tulajdonképpen az $\overrightarrow{u}$ vektor megszorozva −1-gyel.

A fizikában ez azt jelenti: ha megduplázzuk az erőt, és ugyanabba az irányba hagyjuk hatni, $2\overrightarrow{F}$ erőt kapunk. A nagysága megduplázódik, az iránya marad.

Szinusz és koszinusz

A ferde vektort gyakran érdemes két merőlegesre bontani, például egy vízszintesre és egy függőlegesre. Ehhez be kell vezetnünk két új fogalmat, a szinuszt és a koszinuszt. Mindkettő a derékszögű háromszögből indul ki.

Az ábrán látható háromszögben a derékszög a C csúcsnál van, az átfogó a fekete c oldal. Nézzük az A csúcsnál lévő α szöget. A piros a befogó szemben van vele, ezért szemközti befogónak hívjuk. A kék b befogó az átfogóval együtt zárja közre az α szöget, ezt melletti befogónak hívjuk.

Az α szög szinusza a szemközti befogó és az átfogó hányadosa, a koszinusza a melletti befogó és az átfogó hányadosa:

$$\sin \alpha =\frac{a}{c},\cos \alpha =\frac{b}{c}$$

Mire jó egy ilyen hányados? Nagyítsd fel az egész háromszöget kétszeresére. Minden oldal kétszer olyan hosszú lesz, de a szögek ugyanazok maradnak. Az $\frac{a}{c}$ hányados nem változik, mert a számláló és a nevező is kétszeresére nő. A szinusz és a koszinusz ezért nem a lerajzolt háromszög méretétől függ, hanem csak az α szög nagyságától. A 30° nagyságú szög szinusza mindig ugyanaz, akár a füzetbe rajzolod a háromszöget, akár az iskolai sportpályára.

Az átfogó a derékszögű háromszög leghosszabb oldala, ezért mindkét hányados mindig kisebb egynél. Hegyesszög szinusza és koszinusza soha nem haladja meg az egyet.

Bármely szög szinuszát és koszinuszát kiszámolja a számológép, megtalálod rajta a sin és a cos gombot. Ügyelj viszont arra, hogy a számológép fokban számoljon. Ha a kijelzőn nem DEG, hanem RAD vagy GRAD látszik, akkor a szögnek más mértékegységében számol, és értelmetlen eredmények jönnek ki. Ez az egyik leggyakoribb hiba a dolgozatokban. Az oldalon használhatod a szinusz-számológépet vagy a koszinusz-számológépet, a két függvény további tulajdonságait pedig a szinusz, koszinusz, tangens és kotangens tulajdonságai cikkben találod.

Három szög számológép nélkül

A 30°, 45° és 60° nagyságú szögek szinuszát és koszinuszát számológép nélkül is ki tudjuk számolni. Elég hozzá egy szabályos háromszög és egy négyzet.

Balra egy 2 oldalú szabályos háromszöget látunk. Minden szöge 60°. A szaggatott magasság két egybevágó derékszögű háromszögre osztja. A piros háromszög átfogója 2, alsó befogója 1, mert az oldal fele, és a szögei 60° lent és 30° fent, mert a magasság felezi a felső szöget. A magasság hosszát a Pitagorasz-tételből számoljuk ki: $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$. Már csak a definíciókba kell behelyettesíteni. A 30° nagyságú szöggel szemben az 1 hosszú befogó van, tehát

$$\sin 30°=\frac{1}{2},\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866.}$$

A 60° nagyságú szögnél fordítva van, vele szemben a $\sqrt{3}$ hosszú magasság áll:

$$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866},\cos 60°=\frac{1}{2}.$$

Jobbra egy 1 oldalú négyzet van, átlóval kettéosztva. Az átló felezi a derékszöget, így a kék háromszög szöge 45°, mindkét befogója 1 hosszú, az átfogója pedig $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. A szinusz és a koszinusz egyenlő lesz:

$$\sin 45°=\cos 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx \mathrm{0,707}$$

Az egész együtt:

Érdekes, hogy a 30° szinusza a 60° koszinusza, és fordítva. Ez nem véletlen: az egyik hegyesszög szemközti befogója a másik hegyesszög melletti befogója.

A vektor felbontása komponensekre

Józsi a kishúgát húzza a szánkón. A kötelet a kezében tartja, ezért az nem vízszintesen, hanem ferdén felfelé vezet, és a talajjal 30° nagyságú szöget zár be. Józsi 100 N erővel húzza. A szánkó azonban a talajon halad, nem ferdén a levegőbe. Ebből az erőből mennyi hat valóban előre?

A ferde $\overrightarrow{F}$ erőt két erővel helyettesítjük, egy vízszintessel és egy függőlegessel. Ezeket komponenseknek nevezzük, és az x és y tengelyek szerint ${\overrightarrow{F}}_x$ és ${\overrightarrow{F}}_y$ a jelük. Úgy választjuk meg őket, hogy az összegük pontosan az eredeti erő legyen:

$$\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_x+{\overrightarrow{F}}_y$$

Az ábrán a zöld $\overrightarrow{F}$ erő és a komponensei láthatók, a piros vízszintes és a kék függőleges. Szaggatott vonallal téglalap egészíti ki. A szaggatott jobb oldal a kék komponens, eltolva a piros végére, így a piros és a kék nyíl egymás után valóban a zöldet adja. Ez a paralelogramma-módszer fordítva: ott két erőből csináltunk egyet, itt egyből kettőt. A paralelogramma ebben az esetben téglalap, mert a komponensek merőlegesek egymásra.

A piros komponens, a szaggatott jobb oldal és a zöld erő derékszögű háromszöget alkot. Az átfogó az $\overrightarrow{F}$ erő, amelynek nagysága F. A vízszintes komponens az α szög melletti befogó, a függőleges komponens pedig ugyanolyan hosszú, mint a szemközti befogó. A szinusz és a koszinusz definíciójából

$$\cos \alpha =\frac{F_x}{F},\sin \alpha =\frac{F_y}{F}.$$

Mindkét egyenletet megszorozzuk az erő F nagyságával, és megkapjuk a komponensek nagyságának képleteit:

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =F\cdot \cos \alpha \\ F_y& =F\cdot \sin \alpha \end{array}$$

Helyettesítsük be Józsi adatait. A vízszintes komponens

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 30°\\ & \approx 100\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,866}=86,6\mathrm{N}\end{array}$$

a függőleges pedig

$$\begin{array}{rl}{F}_y& =100\mathrm{N}\cdot \sin 30°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

A száz newtonból tehát csak körülbelül 86,6 N húzza előre a szánkót. A maradék, függőleges 50 N kissé megemeli a szánkót, így az kevésbé nyomja a havat.

Figyeld meg, hogy 86,6 N + 50 N több, mint 100 N. Ez nem hiba, a komponensek vektorok, és nem úgy adódnak össze, mint a számok. Összeadni csak a nyilakat lehet, egymás után, és azok az eredeti 100 N erőt adják vissza.

Mi történik, ha Józsi följebb emeli a kötelet 60° nagyságú szögre? Akkor

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 60°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

Az erő felével húzná csak előre. Minél meredekebben vezet a kötél, annál kisebb része hat előre, és annál jobban emeli a szánkót.

Összerakás komponensekből

Eddig az erőt bontottuk fel. Gyakran az ellenkezőjére van szükség: ismerjük a két merőleges komponenst, és az egész vektort keressük. A komponensek egy derékszögű háromszög befogói, a vektor pedig az átfogója, tehát a nagyságát a Pitagorasz-tétellel számoljuk ki:

$$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$$

Ellenőrizzük a szánkón. Behelyettesítjük a komponenseket:

$$F=\sqrt{(86,6\mathrm{N}{)}^2+(50\mathrm{N}{)}^2}$$

Négyzetre emelünk:

$$\begin{array}{rl}F& =\sqrt{7499,56{\mathrm{N}}^2+2500{\mathrm{N}}^2}\\ & =\sqrt{9999,56{\mathrm{N}}^2}\end{array}$$

Majd gyököt vonunk:

$$F\approx 100,0\mathrm{N}$$

Visszakaptuk az eredeti erőt. A gyökjel alatti apró eltérés abból ered, hogy a koszinuszt 0,866-ra kerekítettük.

Most visszatérhetünk Péterhez és a sétájához. Az elmozdulásának komponensei 3 km keletre és 4 km északra, a nagyságát pedig már ismerjük, 5 km. Az irány még hátravan. Jelöljük α-val azt a szöget, amelyet a zöld nyíl a pirossal, vagyis a keleti iránnyal bezár. A 4 km hosszú északi komponens vele szemben van, az átfogó pedig 5 km hosszú:

$$\sin \alpha =\frac{4\mathrm{km}}{5\mathrm{km}}=0,8$$

A kilométerek kiesnek, a szinusz mértékegység nélküli közönséges szám. Azt a szöget, amelynek a szinusza 0,8, a számológép a sin⁻¹ gombbal találja meg (általában a sin gomb fölött van, az oldalon az arkusz szinusz számológép is segít):

$$\alpha \approx 53°$$

Péter elmozdulása tehát 5 km olyan irányban, amely a keleti iránytól 53° nagyságú szöggel fordul észak felé. Nagyság és irány, többre a vektornak nincs szüksége. Ha Péter a legrövidebb úton vissza akarna menni, az ellentett vektor mentén indulna: 5 km ellenkező irányban, vagyis délnyugatra, valamivel inkább dél, mint nyugat felé.

Az elmozdulás végigkísér minket az egész kinematikán. A következő cikkben, a Mozgás és nyugalom cikkben szembeállítjuk az úttal, és megmutatjuk, miért nem mozdult el sehová a futó, aki egy teljes kört megtett a pálya körül.